第九章平面解析幾何高考文數考點一定點與定值問題1.定點問題解析幾何中證明直線過定點,一般是先選擇一個參數建立直線系方程,

然后再根據直線系方程過定點時方程的成立與參數沒有關系得到一個

關于x,y的方程組,以這個方程組的解為坐標的點就是直線所過的定點.2.定值問題(1)解析幾何中的定值問題的證明可運用函數的思想方法.證明過程可

總結為“變量?函數?定值”,具體操作步驟如下:§9.6圓錐曲線的綜合問題知識清單(i)變量——選擇適當的量為變量;(ii)函數——把要證明為定值的量表示成上述變量的函數;(iii)定值——把得到的函數解析式化簡,消去變量得到定值.(2)求定值問題常見的方法(i)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.(ii)直接推理、計算,并在推理、計算的過程中消去變量,從而得到定值.考點二參變量的取值范圍與最值問題1.求最值問題常見的方法(1)①幾何法

:若題中給出的條件有明顯的幾何特征,則考慮用圖

象、性質來解決.(2)②代數法

:若題中給出的條件和結論的幾何特征不明顯,則可以

建立目標函數,再求這個函數的最值.求函數的最值常見的方法有配方

法、判別式法、基本不等式法、單調性法、三角換元法等.2.求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的四重視(1)重視定義在解題中的作用;(2)重視平面幾何知識在解題中的作用;(3)重視根與系數的關系在解題中的作用;(4)重視曲線的幾何特征與方程的代數特征在解題中的作用.3.求參數的取值范圍根據已知條件建立關于參數的等式或不等式,再求參數的范圍.考點三存在性問題1.存在性問題的解題步驟(1)先假設存在,引入參變量,根據題目條件列出關于參數的方程或不等

式(組).(2)解此方程或不等式(組),若有解,則存在,若無解,則不存在.2.解答此類問題要充分注意解題的規范性.知識拓展求有關圓錐曲線的最值問題時應注意以下幾點:(1)圓錐曲線上本身存在最值問題,如(i)橢圓上兩點間最大距離為2a(長

軸長);(ii)雙曲線上兩點間最小距離為2a(實軸長);(iii)橢圓的焦半徑的取

值范圍為[a-c,a+c],a-c與a+c分別表示橢圓焦點到橢圓上點的最短與最長距離;(iv)拋物線的頂點與拋物線的準線距離最近.(2)圓錐曲線上的點到定點的距離的最值問題,常把兩點間的距離轉化

為區間上的二次函數的最值問題,有時也用圓錐曲線的參數方程轉化為

三角函數的最值問題解決.(3)圓錐曲線上的點到定直線的距離的最值問題解法同上或用平行切線

法.(4)當點在圓錐曲線上時,求相關式子(目標函數)的取值范圍,常把參數

方程代入轉化為三角函數的最值問題,或根據平面幾何知識,或引入一

個參數(有幾何意義)轉化為函數進行處理.(5)由直線(系)和圓錐曲線(系)的位置關系,求直線方程中或圓錐曲線方

程中某個參數(系數)滿足的范圍,解決方法是把所求參數轉化為關于另一變元的函數求解.

圓錐曲線中的定點、定值問題的求解方法1.圓錐曲線中的定點、定值問題往往與圓錐曲線中的“常數”有關,如

橢圓的長、短軸的長,雙曲線的虛、實軸的長,拋物線的焦參數等,可通

過直接計算求解,也可用“特殊位置法”和“相關曲線系數”求解.2.解決定點、定值問題常用的思想有兩種:①從特殊入手,求含參變量的

定點、定值,再證明這個定點、定值與變量無關;②直接推理計算,并在

計算的過程中消去變量,從而得到定點、定值.例1

(2016北京,19,14分)已知橢圓C:

+

=1過A(2,0),B(0,1)兩點.(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB

與x軸交于點N.求證:四邊形ABNM的面積為定值.方法技巧方法1解題導引

(1)由點A,B的坐標得a,b的值

得橢圓C的方程與離心率(2)設出點P的坐標,寫出直線PA和直線PB的方程

分別求出M,N兩點的縱、橫坐標,寫出BM與AN的長度

表示出四邊形的面積S

化簡,確定S的值為定值解析(1)由題意得,a=2,b=1.所以橢圓C的方程為

+y2=1.

(3分)又c=

=

,所以離心率e=

=

.

(5分)(2)證明:設P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則

+4

=4.

(6分)又A(2,0),B(0,1),所以,直線PA的方程為y=

(x-2).令x=0,得yM=-

,從而|BM|=1-yM=1+

.

(9分)直線PB的方程為y=

x+1.令y=0,得xN=-

,從而|AN|=2-xN=2+

.

(12分)所以四邊形ABNM的面積S=

|AN|·|BM|=

=

=

=2.從而四邊形ABNM的面積為定值.

(14分)例2(2017山西臨汾一中月考,20)已知橢圓C:

+y2=1(a>0),過橢圓C的右頂點和上頂點的直線與圓x2+y2=

相切.(1)求橢圓C的方程;(2)設M是橢圓C的上頂點,過點M分別作直線MA,MB交橢圓C于A,B兩點,

設這兩條直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=2,證明:直線AB過定點.解題導引

(1)由(a,0)和(0,1)直線方程

利用直線與圓相切求得a2

得橢圓C的方程(2)當直線AB的斜率不存在時,求出A,B兩點的橫坐標

當直線AB的斜率存在時,設出直線AB的方程

設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立橢圓方程,得x1+x2與x1x2

利用斜率公式表示出k1+k2=2,從而得出k與m的關系

代入直線AB的方程

得出直線AB過的定點解析(1)∵直線過點(a,0)和(0,1),∴直線的方程為x+ay-a=0,∵直線與

圓x2+y2=

相切,∴

=

,解得a2=2,∴橢圓C的方程為

+y2=1.(2)證明:當直線AB的斜率不存在時,設A(x0,y0),則B(x0,-y0),由k1+k2=2得

+

=2,解得x0=-1.當直線AB的斜率存在時,設AB的方程為y=kx+m(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),由

?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2=

,x1·x2=

,由k1+k2=2?

+

=2?

=2,即(2-2k)x1x2=(m-1)(x1+x2)?(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),即(1-k)(m2-1)=-km

(m-1),由m≠1,得(1-k)(m+1)=-km?k=m+1,所以y=kx+m=(m+1)x+m?m(x+1)=y-x,故直線AB過定點(-1,-1).綜上,直線AB過定點(-1,-1).

圓錐曲線中的最值和范圍問題的求解方法1.幾何法:若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義,則考慮利用

圖形性質來解決,此法稱為幾何法.2.代數法:根據題目構造關于變量的等式或不等式,從而采用方程思想或

函數思想求解最值或范圍的方法稱為代數法.利用代數法解決最值和范

圍問題的常見思路:①利用判別式來構造不等關系,從而確定參數的范

圍;②利用已知參數范圍,求新參數的范圍,解決這類問題的核心為構建

所求變量與已知變量的函數關系式;③利用隱含的不等關系建立不等

式,從而求出所需要的參數范圍;④利用已知的不等關系構造不等式,從

而求出參數的取值范圍;⑤利用函數的值域,確定參數的取值范圍.方法2例3

(2017浙江,21,15分)如圖,已知拋物線x2=y,點A

,B

,拋物線上的點P(x,y)

.過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解題導引

(1)設直線AP的斜率為k

由斜率公式及拋物線方程表示斜率k

由x的范圍得k的取值范圍(2)解法一:聯立直線AP與直線BQ的方程得Q點的橫坐標

利用距離公式表示出|PA|與|PQ|

利用函數思想及導數有關知識求得|PA||PQ|的最大值解法二:連接BP,將|AP|·|PQ|轉化為

·

-?

利用坐標表示出

·

與?,從而將|AP|·|PQ|轉化為關于x的函數

利用導數的相關知識求得|AP|·|PQ|的最大值解析(1)設直線AP的斜率為k,k=

=x-

,因為-

<x<

,所以直線AP斜率的取值范圍是(-1,1).(2)解法一:聯立直線AP與BQ的方程

解得點Q的橫坐標是xQ=

.因為|PA|=

=

(k+1),|PQ|=

(xQ-x)=-

,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因為f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在區間

上單調遞增,在

上單調遞減,因此當k=

時,|PA|·|PQ|取得最大值

.解法二:如圖,連接BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ=

·(

-

)=

·

-?.

易知P(x,x2)

,則

·

=2x+1+2x2-

=2x2+2x+

,

=

+

=x2+x+

+x4-

x2+

=x4+

x2+x+

.∴|AP|·|PQ|=-x4+

x2+x+

.設f(x)=-x4+

x2+x+

,則f'(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,∴f(x)在

上為增函數,在

上為減函數,∴f(x)max=f(1)=

.故|AP|·|PQ|的最大值為

.

方法總結在解析幾何中,遇到求兩線段長度之積的最值或取值范圍時,一般用以下方法進行轉化.1.直接法:求出各點坐標,用兩點間的距離公式,轉化為某個參變量(如直

線斜率、截距、點的橫、縱坐標等)的函數,再求函數的最值或值域.2.向量法:三點共線時,轉化為兩向量的數量積,再轉化為動點的橫(或縱)

坐標的函數,最后求函數的最值或值域.3.參數法:把直線方程化為參數方程,與曲線方程聯立,由韋達定理轉化

為直線的斜率(或直線的截距)的函數,最后求函數的最值或值域.

圓錐曲線中存在性問題的求解方法此類問題一般分為探究條件、探究結論兩種,若探究條件,則可先假設

條件成立,再驗證結論是否成立,成立則存在,否則不存在.若探究結論,則

應先求出結論的表達式,再針對其表達式進行討論,往往涉及對參數的

討論.例4(2017湘中名校聯考,20)如圖,曲線C由上半橢圓C1:

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1與C2的公共點為A,B,

其中C1的離心率為

.(1)求a,b的值;(2)過點B的直線l與C1,C2分別交于點P,Q(均異于點A,B),是否存在直線l,方法3使得以PQ為直徑的圓恰好過點A?若存在,求出直線l的方程;若不存在,

請說明理由.

解題導引

(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得出b的值→由e=

=

及a2-c2=b2可得a的值(2)設出直線l的方程→分別與兩曲線方程聯立,并消元,用l的斜率k表示點P,Q的坐標→利用

·