30.2.1二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如

（a≠0）的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).（2）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與性質(zhì)：

圖像是一條直線；

當(dāng)k>0時，直線通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k<0時，直線通過二、四象限，y隨x的增大而減?。?）研究函數(shù)時，了解函數(shù)性質(zhì)的主要工具是：函數(shù)的圖像．（4）畫函數(shù)圖像的主要步驟：①列表;②描點(diǎn);③連線.活動1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究一：畫出二次函數(shù)

的圖像合作探究1.實(shí)踐操作：用描點(diǎn)法畫

的圖像解：（1）列表：列表時應(yīng)注意什么問題？①數(shù)據(jù)的代表性（正、負(fù)、0都要包含）;②數(shù)據(jù)的簡單性（盡量選擇整數(shù)和較小的數(shù)據(jù)）;③數(shù)據(jù)的多樣性（至少選擇5個數(shù)據(jù)進(jìn)行描點(diǎn)）.

...-3-2-10123.........4109419活動1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究一：畫出二次函數(shù)

的圖像（2）描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)時應(yīng)以哪些數(shù)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)？一組x和y的對應(yīng)值就是一個點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo).合作探究12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2（3）連線：連線時應(yīng)注意什么？用光滑曲線順次連接各點(diǎn)，得到函數(shù)

的圖像.活動1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究一：畫出二次函數(shù)

的圖像合作探究2、觀察探究：觀察

的圖像，它有什么特點(diǎn)?（1）你能描述圖像的形狀嗎?12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2y=x2的圖像形如物體拋射時所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線.（2）圖像是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么?（3）圖像有最低點(diǎn)嗎？如果有,坐標(biāo)是什么?（4）當(dāng)x<0時,隨著x值的增大,y的值如何變化？當(dāng)x>0呢？（5）當(dāng)x取什么值時,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？這條拋物線關(guān)于y軸對稱,y軸就是它的對稱軸.

對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).拋物線y=x2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn).拋物線y=x2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn),開口向上,并且向上無限伸展;當(dāng)x=0時,函數(shù)y的值最小,最小值是0.在對稱軸的左側(cè)時,y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側(cè)時,y隨著x的增大而增大.活動1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲合作探究二次函數(shù)的圖像特點(diǎn)：(1)圖像是一條拋物線，開口向上；(2)原點(diǎn)（0,0）是圖像的頂點(diǎn)，也是最低點(diǎn)，當(dāng)x=0時，函數(shù)y有最小值0；(3)圖像是軸對稱圖形，對稱軸是y軸（直線x=0）；在對稱軸的左側(cè)，拋物線從左到右下降，y隨x的增大而減??；在對稱軸右側(cè)，拋物線從左到右上升，y隨x的增大而增大.探究一：畫出二次函數(shù)

的圖像活動1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究二：二次函數(shù)

的圖像及性質(zhì)自主探究1.畫出函數(shù),的圖像：（1）列表：x...-2-1012...............20282028活動1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究二：二次函數(shù)

的圖像及性質(zhì)自主探究（2）在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)：（3）用光滑曲線順次連接各點(diǎn)，便得到函數(shù)

，

的圖像.12345x12345678910yo-1-2-3-4-5活動1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究二：二次函數(shù)

的圖像及性質(zhì)自主探究相同點(diǎn)：圖像都是拋物線,都開口向上,頂點(diǎn)都是原點(diǎn)而且是拋物線的最低點(diǎn),對稱軸是y軸,當(dāng)x=0時,y的最小值是0；在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減小,在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大.不同點(diǎn)：a.（a＞0）越大，拋物線的開口越?。?2345x12345678910yo-1-2-3-4-52.思考?xì)w納.函數(shù)

，

的圖像與函數(shù)

的圖像相比，有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10活動2重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究二：二次函數(shù)

的圖像及性質(zhì)類比探究1.畫出函數(shù)

，

，

的圖像，并考慮這些拋物線有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)．相同點(diǎn)：圖像都是拋物線,都開口向下,頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線的最高點(diǎn),對稱軸是y軸,當(dāng)x=0時,y的最大值是0；在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大,在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而減小.不同點(diǎn)：|a|越大,拋物線的開口越?。顒?重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究二：二次函數(shù)

的圖像及性質(zhì)類比探究

思考：二次函數(shù)的開口方向是由什么決定的？開口大小的程度又是由什么決定的？開口大小：由a的大小（絕對值）決定——|a|越大，拋物線的開口越小.開口方向：由a的正負(fù)決定——正，開口向上；負(fù)，開口向下.活動2重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究二：二次函數(shù)

的圖像及性質(zhì)類比探究2.歸納慨括：二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)是什么？圖像開口對稱性頂點(diǎn)增減性最值開口向上開口向下│a│越大，開口越小關(guān)于y軸對稱（或直線x=0）對稱頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)

頂點(diǎn)是最低點(diǎn)頂點(diǎn)是最高點(diǎn)在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小當(dāng)x=0時，函數(shù)y有最大值，為0當(dāng)x=0時，函數(shù)y有最小值，為0活動3重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究二：二次函數(shù)

的圖像及性質(zhì)性質(zhì)應(yīng)用1.拋物線

開口向______，對稱軸是

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

；在對稱軸

側(cè)，y隨著x的增大而增大，在對稱軸

側(cè)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x=

時，函數(shù)y的值最小，最小值是

；拋物線

在x軸的

方（除頂點(diǎn)外）.2.拋物線

在x軸的

方（除頂點(diǎn)外），在對稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而

，在對稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而

；當(dāng)x=0時，函數(shù)y的值最大，最大值是

；當(dāng)x

0時，y<0.活動4重點(diǎn)、難點(diǎn)知識★▲探究二：二次函數(shù)

的圖像及性質(zhì)對比探究猜想：

與的圖像有什么關(guān)系？與圖像關(guān)于x軸對稱.對比：觀察拋物線

與

，思考它們有什么關(guān)系？活動1探究三：拓展應(yīng)用二次函數(shù)

解析式的確定例1.已知拋物線

經(jīng)過點(diǎn)A（-3，-18）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）判斷點(diǎn)B（-2，-6）是否在此拋物線上.

（3）求出此拋物線上縱坐標(biāo)為-10的點(diǎn)的坐標(biāo).解:（1）把（-3，-18）代入y=ax2,-18=a·(-3)2,解出a=-2.

所求拋物線解析式為y=-2x2.（2）因為

，所以點(diǎn)B（-2,-6）不在此拋物線上.（3）由-10=-2x2,得x2=5,∴.所以縱坐標(biāo)為-10的點(diǎn)有兩個，它們分別是探究三：拓展應(yīng)用【思路點(diǎn)撥】由于

中只有一個待定系數(shù)a,所以只需一個條件(圖像上一個點(diǎn)的坐標(biāo)或一對對應(yīng)值)，利用待定系數(shù)法就可以確定其解析式.判定一個點(diǎn)是否在拋物線上，只需把這個點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式看左右兩邊是否相等就可判定.探究三：拓展應(yīng)用練習(xí).一個拋物線形涵洞如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)水位在EF位置時，水面寬度為12m，此時水面到橋拱的距離是4m，則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（）A.B.C.D.【思路點(diǎn)撥】用待定系數(shù)法設(shè)函數(shù)解析式，再根據(jù)題意找到點(diǎn)E、F的坐標(biāo)代入即可.C【解題過程】根據(jù)a的符號分類,a>0時,在A,B中判斷一次函數(shù)的圖像是否相符,a<0時,在C,D中進(jìn)行判斷.活動2探究三：拓展應(yīng)用二次函數(shù)

的圖像與一次函數(shù)的圖像共存同一坐標(biāo)系的問題例2.在同一坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=ax+a和二次函數(shù)

的大致圖像正確的是(

)②當(dāng)a<0時,二次函數(shù)

的圖像開口向下,一次函數(shù)y=ax+a的圖像經(jīng)過第二、三、四象限,排除C,D.B①當(dāng)a>0時,二次函數(shù)

的圖像開口向上,一次函數(shù)y=ax+a的圖像經(jīng)過第一、二、三象限,排除A;探究三：拓展應(yīng)用【思路點(diǎn)撥】解答這類問題,一般用排除法,首先根據(jù)拋物線的開口方向,確定二次函數(shù)二次項系數(shù)a的符號,然后再根據(jù)一次函數(shù)確定a的符號,如果相同,說明可能正確;如果不同,直接排除.按照這種方法逐一判斷,直至找出正確答案為止.特別注意個別問題需要再結(jié)合一次函數(shù)與拋物線的公共點(diǎn)的位置才能確定最后答案.探究三：拓展應(yīng)用練習(xí).二次函數(shù)

與一次函數(shù)

在同一坐標(biāo)系中的圖像大致是()當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)

的圖像開口向上，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過二、四象限；當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)

的圖像開口向下，一次函數(shù)

圖像經(jīng)過一、三象限，故選B.B活動3探究三：拓展應(yīng)用與

的圖像和一次函數(shù)圖像交點(diǎn)有關(guān)的問題例3.如圖,已知拋物線(a≠0)與直線AB交于點(diǎn)P(4,-4),連接OP,OP=AP,求二次函數(shù)的解析式及拋物線與直線AB另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo).解：設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,將A,P坐標(biāo)代入直線解析式,得,解得∴直線AB解析式為y=x-8,將P（4，-4）代入

中，得-4=16a，∴拋物線解析式為探究三：拓展應(yīng)用【思路點(diǎn)撥】解答求二次函數(shù)與一次函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)問題時,把兩函數(shù)的解析式聯(lián)立組成方程組,方程組的解就是兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo),然后再結(jié)合其他條件解答相關(guān)問題.聯(lián)立直線與拋物線解析式得消去y得x2=-4x+32，即x2+4x-32=0，得(x-4)(x+8)=0，解得x=4或x=-8.當(dāng)x=-8時,y=-8-8=-16,則拋物線與直線AB另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-8,-16).探究三：拓展應(yīng)用練習(xí).已知拋物線

經(jīng)過點(diǎn)（-2，8），將拋物線沿x軸對折后與直線

交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長.解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-2，8），∴

，a=2，∴.拋物線

沿x軸對折后的拋物線為.∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，得由，解得或探究三：拓展應(yīng)用活動4與

有關(guān)的綜合題例4.如圖,拋物線

與直線y=2x在第一象限內(nèi)有一個交點(diǎn)A.(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使△AOP是以O(shè)P為底的等腰三角形?若存在,請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解:(1)解方程組得或所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).探究三：拓展應(yīng)用(2)存在.作AB⊥x軸于B點(diǎn),如圖所示,當(dāng)PB=OB時,△AOP是以O(shè)P為底的等腰三角形,因為A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).【思路點(diǎn)撥】解答這類問題,先由函數(shù)解析式求得交點(diǎn)的坐標(biāo),然后結(jié)合幾何知識確定是否存在,如果存在,再確定點(diǎn)的坐標(biāo).探究三：拓展應(yīng)用練習(xí)：如圖，已知拋物線y=ax2(a≠0)與直線y=kx-3相交于E、F兩點(diǎn)，其中E（-1,-1.5），求△EOF的面積.解：∵點(diǎn)E（-1，-1.5）在拋物線y=ax2(a≠0)上，也在直線y=kx-3上，∴-1=a·(-1.5)2，-1.5=k·(-1)-3，

解得a=-1.5，k=-1.5.∴兩函數(shù)的解析式分別為y=-1.5x2,y=-1.5x-3.∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，-6).∵y=-1.5x-3與y軸交于點(diǎn)G，則G(0,-3).∴S△EOF=S△OEG+S△OFG

=×(1+2)×3=4.5.探究三：拓展應(yīng)用【思路點(diǎn)撥】求二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)三角形的面積問題，關(guān)鍵是聯(lián)立兩函數(shù)解析式形成方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段長，再利用分割或補(bǔ)形法求出三角形面積.（1）二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.（2）二次函數(shù)y=ax2性質(zhì):①開口方向：當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下.②對稱軸：對稱軸是直線x=0（或y軸）.③頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)是原點(diǎn)，即（0,0）.④增減性：當(dāng)a>0時，在對稱軸左側(cè)(即x<0時)，y隨x