/專題04反比例函數【考點1：】反比例函數【考點2：】反比例圖象與性質【考點3：】用反比例函數解決問題一、反比例函數的定義如果兩個變量的每一組對應值的乘積是一個不等于零的常數，那么就說這兩個變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數.一般地，形如(為常數，)的函數稱為反比例函數，其中是自變量，是函數，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數.二、確定反比例函數的關系式確定反比例函數關系式的方法仍是待定系數法，由于反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要知道一對的對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數法求反比例函數關系式的一般步驟是：（1）設所求的反比例函數為：()；（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入關系式，得到關于待定系數的方程；（3）解方程求出待定系數的值；（4）把求得的值代回所設的函數關系式中.三、反比例函數的圖象和性質1、反比例函數的圖象特征：反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數的圖象關于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.2、畫反比例函數的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應以O為中心，在0的兩側取三對（或三對以上）互為相反數的值，填寫值時，只需計算右側的函數值，相應左側的函數值是與之對應的相反數；（2）描點：描出一側的點后，另一側可根據中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；（4）反比例函數圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內．3、反比例函數的性質（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，值隨值的增大而增大；四：反比例函數()中的比例系數的幾何意義過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.五、利用反比例函數解決實際問題1.基本思路：建立函數模型，即在實際問題中求得函數解析式，然后應用函數的圖象和性質等知識解決問題.2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據常量、變量之間的關系，設出函數解析式，待定的系數用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數.（3）寫出函數解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數解析式、函數的圖象和性質等去解決問題.六、反比例函數在其他學科中的應用當圓柱體的體積一定時，圓柱的底面積是高的反比例函數；當工程總量一定時，做工時間是做工速度的反比例函數；在使用杠桿時，如果阻力和阻力臂不變，則動力是動力臂的反比例函數；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數.考點剖析【考點1：】反比例函數1．若反比例函數的圖象經過點和，則的值為（

）A． B． C．3 D．122．已知：三點，反比例函數的圖像經過，三點中的兩個點，則（

）A．12 B．24 C．20 D．3．點在反比例函數的圖象上，點A關于x軸對稱的點在反比例函數的圖象上，且，則的值為．4．如圖反比例函數的圖象在第一象限，已知點，，在函數圖象上，軸，．

（1）；（2）．5．已知，與成正比例，與成反比例，當時，，當時，．(1)求y的表達式；(2)求當時的值．6．小星根據學習反比例函數的經驗，探究函數的圖象與性質．(1)下面是畫函數圖象的步驟：列表：x…－4－2－1124…y…12ab21…其中，______，______，描點、連線：把圖象補充完整；(2)觀察函數的圖象，當時，直接寫出自變量x的取值范圍．【考點2：】反比例圖象與性質1．已知點，，在反比例函數（a為常數）的圖象上，則，，，的大小關系是（

）A． B． C． D．2．對于平面直角坐標系中的任意一點，我們把點稱為點的“和差點”．如圖，的直角邊在軸上，點，若點在反比例函數的圖象上，點為點的“和差點”，且點在的直角邊上，則的面積為（）A．2 B． C．1 D．3．如圖，點A、B在反比例函數（k為常數，，）的圖象上，軸于點D，軸于點C，，連接，若，則k的值為．4．在直角坐標系中，點A是反比例函數的圖象在第一象限上的點，點A關于直線的對稱點B在x軸上，且，以為邊作菱形，若點D也在反比例函數第一象限的圖象上，則點C的坐標是．5．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點A與點．

(1)求反比例函數的關系式；(2)若點P是第二象限內雙曲線上的點（不與點A重合），連接，且過點P作y軸的平行線，與直線相交于點C，連接，若的面積為3，求點P的坐標．6．探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．數學興趣小組的同學們準備結合已有的學習函數的經驗，畫出函數的圖象并探究該函數的性質，x01234y…36ab(1)【圖象初探】列表，寫出表中的值：______，______；并觀察表格中數據的特征，在所給的平面直角坐標系中補全該函數的圖象．(2)【性質再探】觀察函數圖象，下列關于函數的結論正確的是_______．①函數的圖象關于y軸對稱．②函數的圖象不經過第三、四象限．③當時，函數有最大值，最大值為6．④在自變量的取值范圍內，函數y的值隨自變量x的增大而增大．(3)【學以致用】寫出直線與函數有兩個交點時，a的取值范圍，并說明理由．【考點3：】用反比例函數解決問題1．小亮新買了一盞亮度可調節的臺燈，他發現調節的原理是：當電壓為時，通過調節電阻控制電流的變化從而改變燈光的明暗．臺燈的電流是電阻的反比例函數,其圖像如圖所示．下列說法正確的是（

）A．電流隨電阻的增大而增大B．電流與電阻的關系式為C．當電阻為時，電流為D．當電阻時，電流的范圍為2．如圖，綜合實踐小組的同學們用自制“密度計”測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度（單位：）是液體的密度（單位：）的反比例函數，當密度計懸浮在密度為的水中時，，當密度計懸浮在另一種液體中時，，則該液體的密度為（

）A． B． C． D．3．如圖，取一根長100cm的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來．在中點O的左側距離中點處掛一個重的物體，在中點O右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態，彈簧秤與中點O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數F（單位：N）滿足若彈簧秤的示數F不超過，則L的值至少為cm．4．為了響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設生態文明，某工廠自2019年1月開始限產進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖象的一部分，治污完成后是一次函數圖象的一部分，下列結論正確的是．（填寫編號即可）①4月份的利潤為50萬元②治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元③治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元④9月份該廠利潤達到200萬元

5．第31屆世界大學生運動會于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉寶”系列產品深受人們喜愛．據某電商平臺統計，某款蓉寶公仔自7月發售以來，其銷售量呈直線上升趨勢；大運會期間熱度增大，日銷售量較前段時間增大；大運會結束后，銷售量與時間呈反比例關系．日銷售量（萬件）隨時間（天）變化的函數圖象如圖所示，大運會前為線段，大運會期間為線段，大運會后曲線．(1)求線段和反比例函數的表達式并寫出自變量的取值范圍；(2)已知日銷售量不低于4萬件時，為暢銷期，請求出暢銷期持續的天數．6．王老師外出學習入住賓館的房間后立即打開空調，將最高溫度調至，入住一段時間后關閉空調．已知空調關閉后，室內的溫度與時間近似于反比例關系，下列圖象反映了王老師入住房間后一段時間內，室內的溫度y（）與時間t（）的關系，請根據圖象解答下列問題：(1)王老師入住多長時間關閉的空調？(2)分別求室內的溫度上升和下降兩個階段y與t之間的函數表達式(3)室內溫度保持不低于的時間是多少分鐘？過關檢測1．已知反比例函數的圖象經過點，若該反比例函數的圖象也經過點，則的值為（

）A． B． C． D．2．下列函數中，函數值隨的增大而減小的是（

）A． B． C． D．3．如圖，點是反比例函數圖象上一點，過點作軸于點，連接，已知，則的值為（）A． B． C． D．4．小明根據已有的函數學習經驗，利用繪圖軟件繪制了函數的圖象如圖所示，以下判斷錯誤的是（

）A． B．圖象與直線無交點C．圖象關于點成中心對稱 D．當時，y隨x的增大而減小5．如圖．已知雙曲線經過斜邊的中點，且與直角邊相交于點．若點A的坐標為，則的面積為（

）A．12 B．9 C．6 D．4.56．一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，，則不等式的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或7．如圖，將矩形放在直角坐標系中，其中頂點的坐標為，是邊上一點，將沿折疊，點剛好與邊上點重合，過點的反比例函數的圖象與邊交于點則線段的長為（

）A． B．1 C． D．8．已知在平面直角坐標系中，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點和點在函數的圖象上(且)，點和點在函數的圖象上．當與的積為負數時，t的取值范圍是(

)A．或 B．或C．或 D．或9．已知反比例函數（m為常數，）圖象的兩個分支分布在第二、四象限，則m的取值范圍是．10．如圖，過反比例函數的圖象上一點A，作軸于點B，C是y軸上的一點，連接，，若，則k的值為．11．如圖，在平行四邊形中，點在軸正半軸上，點是的中點，若反比例函數的圖象經過，兩點，且的面積為，則．

12．如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形，，頂點，在軸上，頂點，分別在反比例函數和的圖象上．若四邊形的面積為，，則的值為．13．如圖，正方形與反比例函數在第一象限內的圖象交于P，Q兩點，上的點滿足．若的面積為，則實數的值為．14．對于平面直角坐標系xOy內的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉得到點Q，點Q落在圖形M上或圖形M圍成的區域內，那么稱點P是圖形M關于原點O的“伴隨點”．已知點，，，如果M是雙曲線和線段、圍成的封閉區域（含邊界線），點是M關于原點O的“伴隨點”，則a的取值范圍是．15．如圖，直線與雙曲線相交于，兩點，與軸相交于點，與軸相交于點．(1)求反比例函數與一次函數解析式；(2)連接，，求的面積．16．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，，交軸于，交軸于．(1)求m、n的值及反比例函數的表達式；(2)求的面積：(3)將直線向下平移個單位，若直線與反比例函數的圖象有唯一交點，求的值．17．小莉在學習完反比例函數之后遇到一個新函數：，她按照探究反比例函數的過程對其進行探究：繪制圖象：列表：n(1)_______，_______；(2)①在平面直角坐標系中描點并連線，補全該函數的圖象；②小莉通過圖象得到了以下性質，其中不正確的是____________；A．當時，隨的增大而增大B．此函數的圖象關于原點中心對稱C．函數圖象經過原點且位于第一、三象限D．此函數有最小值，是當時，最小值為(3)若正比例函數與函數的圖象交于，兩點，則的值為_____．18．綜合與實踐：函數復習課后，數學興趣小組的同學們對函數的圖象與性質進行探究，過程如下．請完成探究過程：(1)初步感知：函數的自變量取值范圍是__________；(2)作出圖象①列表：x…0123…y…234m60…填空：表中__________，__________；②描點，連線：在平面直角坐標系中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，并根據描出的點，可畫出該函數的圖象如下所示；(3)研究性質小明觀察圖象，發現這個圖象為雙曲線，結合反比例函數的知識，小明將函數轉化為，他判斷該函數圖象就是反比例函數通過某種平移轉化而來．已知反比例函數是中心對稱圖形，對稱中心為，結合小明的分析，可知函數的對稱中心為__________；(4)拓展應用已知當時，關于的方程有實數解，請直接寫出k的取值范圍是__________．

專題04反比例函數【考點1：】反比例函數【考點2：】反比例圖象與性質【考點3：】用反比例函數解決問題一、反比例函數的定義如果兩個變量的每一組對應值的乘積是一個不等于零的常數，那么就說這兩個變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數.一般地，形如(為常數，)的函數稱為反比例函數，其中是自變量，是函數，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數.二、確定反比例函數的關系式確定反比例函數關系式的方法仍是待定系數法，由于反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要知道一對的對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數法求反比例函數關系式的一般步驟是：（1）設所求的反比例函數為：()；（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入關系式，得到關于待定系數的方程；（3）解方程求出待定系數的值；（4）把求得的值代回所設的函數關系式中.三、反比例函數的圖象和性質1、反比例函數的圖象特征：反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數的圖象關于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.2、畫反比例函數的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應以O為中心，在0的兩側取三對（或三對以上）互為相反數的值，填寫值時，只需計算右側的函數值，相應左側的函數值是與之對應的相反數；（2）描點：描出一側的點后，另一側可根據中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；（4）反比例函數圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內．3、反比例函數的性質（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，值隨值的增大而增大；四：反比例函數()中的比例系數的幾何意義過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.五、利用反比例函數解決實際問題1.基本思路：建立函數模型，即在實際問題中求得函數解析式，然后應用函數的圖象和性質等知識解決問題.2.一般步驟如下：（1）審清題意，根據常量、變量之間的關系，設出函數解析式，待定的系數用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數.（3）寫出函數解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數解析式、函數的圖象和性質等去解決問題.六、反比例函數在其他學科中的應用當圓柱體的體積一定時，圓柱的底面積是高的反比例函數；當工程總量一定時，做工時間是做工速度的反比例函數；在使用杠桿時，如果阻力和阻力臂不變，則動力是動力臂的反比例函數；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數.考點剖析【考點1：】反比例函數1．若反比例函數的圖象經過點和，則的值為（

）A． B． C．3 D．12【答案】A【分析】本題主要考查了求反比例函數值，根據反比例函數圖象上的點的橫縱坐標的乘積相等進行求解即可．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點和，∴，∴，故選：A．2．已知：三點，反比例函數的圖像經過，三點中的兩個點，則（

）A．12 B．24 C．20 D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，明確反比例函數圖象上點的橫坐標與縱坐標的積等于是解題的關鍵．根據反比例函數的系數即可得到結論．【詳解】解：，，三點，反比例函數的圖象經過，，三點中的兩個點，，反比例函數的圖象經過，兩點，．故選：B．3．點在反比例函數的圖象上，點A關于x軸對稱的點在反比例函數的圖象上，且，則的值為．【答案】3【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，關于x軸對稱的點的坐標特征，解二元一次方程組，熟知圖象上點的坐標滿足解析式是解題的關鍵．先求得點A關于x軸對稱的點的坐標為，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征即可求得，則，再解二元一次方程組，進而可求解．【詳解】解：點在反比例函數的圖象上，點A關于x軸對稱的點在反比例函數的圖象上，點關于x軸對稱的點為，，由，解得，故答案為：3．4．如圖反比例函數的圖象在第一象限，已知點，，在函數圖象上，軸，．

（1）；（2）．【答案】54【分析】本題考查了求反比例函數的函數值．熟練掌握求反比例函數的函數值是解題的關鍵．（1）由，，在函數的圖象上，可得，，，，然后代值求解即可；（2）由（1）可知，，，則，，然后代值求解即可．【詳解】（1）解：∵，，在函數的圖象上，∴，，，，∴，故答案為：5；（2）解：由（1）可知，，，∴，，∴，故答案為：4．5．已知，與成正比例，與成反比例，當時，，當時，．(1)求y的表達式；(2)求當時的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據題意得出，，根據，當時，，當時，得出、的函數關系式即可；（2）把代入（1）中的函數關系式，求出的值即可．本題考查的是反比例函數及正比例函數的定義，能根據題意得出與的函數關系式是解答此題的關鍵．【詳解】（1）解：與成正比例，與成反比例，，，，當時，，當時，．，，，；（2）解：當，．6．小星根據學習反比例函數的經驗，探究函數的圖象與性質．(1)下面是畫函數圖象的步驟：列表：x…－4－2－1124…y…12ab21…其中，______，______，描點、連線：把圖象補充完整；(2)觀察函數的圖象，當時，直接寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)4，4，圖見解析(2)或【分析】本題考查了反比例函數的圖象和性質，熟練掌握反比例函數圖象的畫法是解答本題的關鍵．（1）將和代入解析式，可知、值，畫出函數圖象即可；（2）根據函數圖象可直接寫出時自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）當時，，當時，，故答案為：4；4．圖象如圖示：（2）根據圖像，當時，自變量的取值范圍為或．【考點2：】反比例圖象與性質1．已知點，，在反比例函數（a為常數）的圖象上，則，，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平方的非負性，反比例函數的圖像分布與性質，根據可得反比例函數的圖象在一、三象限，在各象限，y隨x的增大而減小，進而可得答案．準確判定圖像的分布，活用反比例函數的性質比較大小是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴反比例函數的圖象在一、三象限，在各象限，y隨x的增大而減小，∵，∴，，∴，故選：D．2．對于平面直角坐標系中的任意一點，我們把點稱為點的“和差點”．如圖，的直角邊在軸上，點，若點在反比例函數的圖象上，點為點的“和差點”，且點在的直角邊上，則的面積為（）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根據題意設出點的坐標，即可得出點的坐標，根據點在的直角邊上求出的值，從而求出的面積．本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，關鍵是由新定義求出點Q的坐標．【詳解】解：根據題意可設點的坐標為，且，則點的坐標為，，點在線段上，則，解得：，（舍，此時點的坐標為，，此時，的面積，故選：B．3．如圖，點A、B在反比例函數（k為常數，，）的圖象上，軸于點D，軸于點C，，連接，若，則k的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征是關鍵．根據題意可得，，再利用得到點坐標，繼而求出值即可．【詳解】解：軸于點，軸于點，，，，，，，點在反比例函數圖象上，．故答案為：．4．在直角坐標系中，點A是反比例函數的圖象在第一象限上的點，點A關于直線的對稱點B在x軸上，且，以為邊作菱形，若點D也在反比例函數第一象限的圖象上，則點C的坐標是．【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數與菱形的綜合，求得反比例函數的解析式成為解題的關鍵．如圖：，設，則的中點坐標為，然后根據題意可得、，進而得到，即,；設，根據列方程求得或，和，然后分情況解答即可．【詳解】解：如圖：，設，則的中點坐標為，∵點A關于直線的對稱點B在x軸上，∴①∵，∴②①②聯立可得：，∴反比例函數的解析式為,,∵菱形，∴,設，則，解得：或，和當時，與點A重合，不符題意舍棄；當時，，的中點坐標為,設點C的坐標為，則有，解得：，∴點C的坐標為；當或時，點D不在第一象限，不符合題意．故答案為：．5．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點A與點．

(1)求反比例函數的關系式；(2)若點P是第二象限內雙曲線上的點（不與點A重合），連接，且過點P作y軸的平行線，與直線相交于點C，連接，若的面積為3，求點P的坐標．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數和一次函數綜合，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求解函數表達式的方法和步驟．（1）先求出點B的坐標，再把點B的坐標代入，求出k的值，即可得出反比例函數解析式；（2）設點，則，得出．進而得出．然后進行分類討論①當時，即，②當時或，即可解答．【詳解】（1）解：由題可知，∴，∴．又點在上，∴．∴反比例函數為．（2）解：如圖，

設點，則，∴．∴．①當時，即，∴，∴，∴或2，又，∴此種情況不存在．②當時或，，∴或．又，∴．綜上，．6．探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．數學興趣小組的同學們準備結合已有的學習函數的經驗，畫出函數的圖象并探究該函數的性質，x01234y…36ab(1)【圖象初探】列表，寫出表中的值：______，______；并觀察表格中數據的特征，在所給的平面直角坐標系中補全該函數的圖象．(2)【性質再探】觀察函數圖象，下列關于函數的結論正確的是_______．①函數的圖象關于y軸對稱．②函數的圖象不經過第三、四象限．③當時，函數有最大值，最大值為6．④在自變量的取值范圍內，函數y的值隨自變量x的增大而增大．(3)【學以致用】寫出直線與函數有兩個交點時，a的取值范圍，并說明理由．【答案】(1)，，補全該函數的圖象見解析(2)①②③(3)，理由見解析【分析】本題考查了函數的圖象，會畫函數的圖象和識別圖象是解題的關鍵．（1）分別將，代入函數解析式求解即可，再根據表格中數據即可補全函數圖象；（2）根據圖象的增減性和最值及對稱性求解；（3）仿照函數，作出圖象，結合圖象可知函數的函數值的取值范圍為，進而結合圖象即可求解．【詳解】（1）當時，，當時，，即：，，補全該函數的圖象如下：故答案為：，；（2）由表格中的數據知：圖象關于軸對稱，故①是正確的；∵，∴，∴圖象不經過三、四象限，故②是正確的；∵，∴，∴的最大值為6；由圖象得，當時，隨的增大而減小，故④是錯誤的；故答案為：①②③；（3）類比函數，作出的圖象如圖所示，由圖象可知，函數的函數值的取值范圍為，結合圖象可知，直線與函數有兩個交點時，．【考點3：】用反比例函數解決問題1．小亮新買了一盞亮度可調節的臺燈，他發現調節的原理是：當電壓為時，通過調節電阻控制電流的變化從而改變燈光的明暗．臺燈的電流是電阻的反比例函數,其圖像如圖所示．下列說法正確的是（

）A．電流隨電阻的增大而增大B．電流與電阻的關系式為C．當電阻為時，電流為D．當電阻時，電流的范圍為【答案】D【分析】本題考查了反比例函數的應用，直接利用反比例函數圖象得出函數解析式，進而利用反比例函數的性質分析得出答案．【詳解】解：A、由圖象知，電流隨電阻的增大而減小，故此選項不符合題意；B、設反比例函數解析式為：，把代入得，則故此選項不符合題意；C、把代入得，，故此選項不合題意；D、當電阻時，電流I的范圍為，故此選項符合題意，故選：D．2．如圖，綜合實踐小組的同學們用自制“密度計”測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度（單位：）是液體的密度（單位：）的反比例函數，當密度計懸浮在密度為的水中時，，當密度計懸浮在另一種液體中時，，則該液體的密度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數的應用，設關于的函數解析式為，把，代入求出解析式，再把代入解析式即可得到結論．正確地求出反比例函數的解析式是解題的關鍵．【詳解】解：設關于的函數解析式為，把，代入解析式，得：，∴關于的函數解析式為，當時，得：，解得：，經檢驗，是原方程的解且符合題意，∴該液體的密度為．故選：C．3．如圖，取一根長100cm的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來．在中點O的左側距離中點處掛一個重的物體，在中點O右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態，彈簧秤與中點O的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數F（單位：N）滿足若彈簧秤的示數F不超過，則L的值至少為cm．【答案】35【分析】本題主要考查了反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數的圖像與性質是解題關鍵．根據題意確定彈簧秤的示數F關于L的函數解析式，再結合圖像即可獲得答案．【詳解】解：根據題意，，∴彈簧秤的示數F關于L的函數解析式為，且該函數圖像在第一象限，F隨L的增大而減小，當時，可有，∵L越大，彈簧秤的示數F越小，∴當時，，即彈簧秤的示數F不超過，則L的值至少為35cm．故答案為：35．4．為了響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設生態文明，某工廠自2019年1月開始限產進行治污改造，其月利潤y（萬元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數圖象的一部分，治污完成后是一次函數圖象的一部分，下列結論正確的是．（填寫編號即可）①4月份的利潤為50萬元②治污改造完成后每月利潤比前一個月增加30萬元③治污改造完成前后共有4個月的利潤低于100萬元④9月份該廠利潤達到200萬元

【答案】①②④【分析】此題主要考查了一次函數與反比函數的應用，正確得出函數解析是解題關鍵．直接利用已知點求出一次函數與反比例函數的解析式進而分別分析得出答案即可．【詳解】解：①、設反比例函數的解析式為，把代入得，，∴反比例函數的解析式為：，當時，，∴4月份的利潤為50萬元，故正確，符合題意；②、治污改造完成后，從4月到6月，利潤從50萬到110萬，故每月利潤比前一個月增加30萬元，故正確，符合題意；③、當時，則，解得：，則只有3月，4月，5月共3個月的利潤低于100萬元，故錯誤，不符合題意．④、設一次函數解析式為：，則，解得：，故一次函數解析式為：，故時，，則9月份該廠利潤達到200萬元，故正確，符合題意．故答案為：①②④．5．第31屆世界大學生運動會于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉寶”系列產品深受人們喜愛．據某電商平臺統計，某款蓉寶公仔自7月發售以來，其銷售量呈直線上升趨勢；大運會期間熱度增大，日銷售量較前段時間增大；大運會結束后，銷售量與時間呈反比例關系．日銷售量（萬件）隨時間（天）變化的函數圖象如圖所示，大運會前為線段，大運會期間為線段，大運會后曲線．(1)求線段和反比例函數的表達式并寫出自變量的取值范圍；(2)已知日銷售量不低于4萬件時，為暢銷期，請求出暢銷期持續的天數．【答案】(1)，(2)天【分析】本題主要考查了求一次函數與反比例函數的解析式以及求函數值，熟練掌握待定系數法求一次函數和反比例函數是解題的關鍵．（1）根據待定系數法求解即可；（2）把分別代入，，求出對應的值即可求解．【詳解】（1）解：設線段的解析式為：，把，代入得：，解得：，一次函數解析式為：，設反比例函數解析式為，把代入得：，解得：，反比例函數解析式為，（2）解：把代入得，，解得：，把代入得，解得：，由圖象可知，當時，，∴暢銷期持續的天數是天．6．王老師外出學習入住賓館的房間后立即打開空調，將最高溫度調至，入住一段時間后關閉空調．已知空調關閉后，室內的溫度與時間近似于反比例關系，下列圖象反映了王老師入住房間后一段時間內，室內的溫度y（）與時間t（）的關系，請根據圖象解答下列問題：(1)王老師入住多長時間關閉的空調？(2)分別求室內的溫度上升和下降兩個階段y與t之間的函數表達式(3)室內溫度保持不低于的時間是多少分鐘？【答案】(1)王老師入住時關閉空調(2)上升階段；下降階段(3)室內溫度保持不低于的時間是【分析】本題考查了一次函數的應用，反比例函數的應用，正確理解圖中的信息是解題的關鍵．（1）根據圖形可知，當時，，故知王老師入住時關閉空調；（2）當時，設y與t之間函數關系為，將點和的坐標分別代入中，解方程組求得和b的值，即得答案；當時，設y與t之間函數關系為，將點的坐標代入，即可求得的值，即得答案；（3）將分別代入和，求出所對應的t的值，再求出它們的差，即得答案．【詳解】（1）由圖象可知，王老師入住時關閉空調；（2）當時，即溫度上升階段，設y與t之間函數關系為，將點和的坐標分別代入中，得，解得，；當時，即溫度下降階段，設y與t之間函數關系為，將點的坐標代入，得，∴；（3）將代入，得，解得；將代入，得，解得；（），室內溫度保持不低于20℃的時間是．過關檢測1．已知反比例函數的圖象經過點，若該反比例函數的圖象也經過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了用待定系數法求反比例函數的解析式．設反比例函數的解析式為把點代入即可求出的值，然后把代入解析式即可求出的值．【詳解】解：設反比例函數的解析式為，把點代入得，，故此反比例函數的解析式為，當，，故選：．2．下列函數中，函數值隨的增大而減小的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數的性質，正比例函數的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．根據反比例函數的性質和正比例函數的性質分別判斷即可．【詳解】解：A．的函數值隨著增大而增大，故本選項不符合題意；B．的函數值隨著增大而減小，故本選項符合題意；C．在每一個象限內，的函數值隨著增大而減小，故本選項不符合題意；D．在每一個象限內，的函數值隨著增大而增大，故本選項不符合題意；故選B．3．如圖，點是反比例函數圖象上一點，過點作軸于點，連接，已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數比例系數的幾何意義，根據反比例函數比例系數的幾何意義解答即可求解，掌握反比例函數比例系數的幾何意義是解題的關鍵．【詳解】解：∵軸，，∴，∴，故選：．4．小明根據已有的函數學習經驗，利用繪圖軟件繪制了函數的圖象如圖所示，以下判斷錯誤的是（

）A． B．圖象與直線無交點C．圖象關于點成中心對稱 D．當時，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】根據所給函數圖象，對四個選項中的內容依次進行判斷即可．本題考查坐標與圖形變化-旋轉及函數的圖象，能根據所給函數圖象得到函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解∶由函數圖象可知，，所以選項不符合題意．因為，即，所以函數圖象與直線無交點．所以B選項不符合題意．因為，所以函數的圖象可由函數的圖象向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到．因為函數的圖象關于點成中心對稱，所以函數的圖象關于點成中心對稱．故選項不符合題意．由函數圖象及上述過程可知，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而減小，所以選項符合題意．故選∶．5．如圖．已知雙曲線經過斜邊的中點，且與直角邊相交于點．若點A的坐標為，則的面積為（

）A．12 B．9 C．6 D．4.5【答案】D【分析】此題主要考查線段的中點坐標、待定系數法求反比例函數解析式、反比例函數的比例系數k的幾何意義，熟練掌握反比例函數的比例系數k的幾何意義是解題關鍵．先根據線段的中點坐標公式得到D點坐標，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到k，根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到，然后利用的面積進行計算，進而求出結論．【詳解】解：∵點A的坐標為，點D為的中點，∴D點坐標為，∴，即反比例函數解析式為，∴，∴的面積，∵點D為的中點，∴的面積．故選：D．6．一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，，則不等式的解集是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象與反比例函數圖象的交點問題，先求出點坐標，再畫出函數圖象，根據函數圖象得到一次函數圖象在反比例函數的圖象上方時的取值即可求解，利用數形結合思想解答是解題的關鍵．【詳解】解：∵反比例函數的圖象過點，，∴，∴，∴，畫出函數圖象如下：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數的圖象上方時，的取值范圍是或，∴不等式的解集是或，故選：．7．如圖，將矩形放在直角坐標系中，其中頂點的坐標為，是邊上一點，將沿折疊，點剛好與邊上點重合，過點的反比例函數的圖象與邊交于點則線段的長為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了反比例函數圖象上的點，圖形的折疊變換及性質，矩形的性質，勾股定理等，設，根據矩形的性質得，，，再由折疊的性質得，，則，利用勾股定理求出，則，進而在中由勾股定理求出，從而得點，則反比例函數的表達式為，然后根據點的縱坐標為4得點，據此可得的長,理解反比例函數圖象上的點滿足反比例函數的表達式，熟練掌握圖形的折疊變換及性質，矩形的性質，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．【詳解】解：設，四邊形為矩形，點，，，，由折疊的性質得：，，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，，，由勾股定理得：，即，解得：，，點的坐標為，點在反比例函數的圖象上，，反比例函數的表達式為：，反比例函數的圖象與邊交于點，點的縱坐標為4，對于，當時，，點，．故選：A．8．已知在平面直角坐標系中，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點和點在函數的圖象上(且)，點和點在函數的圖象上．當與的積為負數時，t的取值范圍是(

)A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】將交點的橫坐標1代入兩個函數，令二者函數值相等，得．令，代入兩個函數表達式，并分別將點A、B的坐標和點C、D的坐標代入對應函數，進而分別求出與的表達式，代入解不等式并求出t的取值范圍即可．【詳解】解：∵的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，∴．令，則，．將點和點代入，得；將點和點代入，得．∴，，∴，∴．∵，∴，∴．①當時，，∴不符合要求，應舍去；②當時，，∴符合要求；③當時，，∴不符合要求，應舍去；④當時，，∴符合要求；⑤當時，，∴不符合要求，應舍去．綜上，t的取值范圍是或．故選：D．【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點，解不等式是本題的關鍵．9．已知反比例函數（m為常數，）圖象的兩個分支分布在第二、四象限，則m的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了反比例函數的圖象性質，根據的k值小于0，反比例函數在第二、四象限，據此即可作答．【詳解】解∶∵反比例函數（m為常數，）圖象的兩個分支分布在第二、四象限，∴，解得，故答案為：．10．如圖，過反比例函數的圖象上一點A，作軸于點B，C是y軸上的一點，連接，，若，則k的值為．【答案】8【分析】本題考查了反比例函數的幾何意義，平行線間的距離處處相等，熟練掌握值幾何意義是關鍵．連接，由，得到，再根據反比例函數值幾何意義解得即可．【詳解】解：如圖，連接，軸，∴，∴，∴，∴同底等高，，點在反比例函數圖象上，根據值幾何意義得，．故答案為：8．11．如圖，在平行四邊形中，點在軸正半軸上，點是的中點，若反比例函數的圖象經過，兩點，且的面積為，則．

【答案】【分析】此題考查了反比例函數的圖象和性質、平行四邊形的性質，數形結合是解題的關鍵．延長交點軸于，由的面積，可求，設點坐標為，可得，進而求解坐標，由中點坐標公式得到坐標，由都在反比例函數圖象上列等式，即可求解．【詳解】解：如圖，

延長交點軸于，的面積為，點是的中點，設點坐標為，，，，根據中點坐標公式可得，都在反比例函數圖象上，，解得，．故答案為：．12．如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形，，頂點，在軸上，頂點，分別在反比例函數和的圖象上．若四邊形的面積為，，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數點的坐標特征是關鍵．設點，則，根據，求出值即可．【詳解】解：設點，則，∴，∵．∴，∴，解得：．故答案為：．13．如圖，正方形與反比例函數在第一象限內的圖象交于P，Q兩點，上的點滿足．若的面積為，則實數的值為．【答案】3【分析】本題考查了正方形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、反比例函數與幾何圖形綜合．正確地作出輔助線是解題的關鍵．過作于，即由證明，，最后利用的面積列方程求解即可．【詳解】解：過作于，則四邊形是矩形，，，．，，，．．，，，，，，，解得：或（不合題意，舍去）實數的值為3．故答案為：3．14．對于平面直角坐標系xOy內的點P和圖形M，給出如下定義：如果點P繞原點O順時針旋轉得到點Q，點Q落在圖形M上或圖形M圍成的區域內，那么稱點P是圖形M關于原點O的“伴隨點”．已知點，，，如果M是雙曲線和線段、圍成的封閉區域（含邊界線），點是M關于原點O的“伴隨點”，則a的取值范圍是．【答案】【分析】將繞點逆時針旋轉得到，根據是雙曲線和線段、圍成的封閉區域（含邊界線），點是關于原點的“伴隨點”，得到點在反比例函數時有最大值，當點在線段時有最小值，即可得解．【詳解】解：如圖，過點A作軸，軸，垂足分別為M，N，則，由題意得：，，∴，∴，∴，∴，∴，同理，繞點逆時針旋轉得到，則，，設直線的表達式為：，代入，得：，解得：，直線為，設經過點的雙曲線為：，代入得：，∴經過點的雙曲線為，是雙曲線和線段、圍成的封閉區域（含邊界線），點是關于原點的“伴隨點”，把代入得，，解得，把代入得，，解得，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形，旋轉的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求一次函數，反比例函數解析式，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解并掌握“伴隨點”的定義，利用數形結合的思想進行求解．15．如圖，直線與雙曲線相交于，兩點，與軸相交于點，與軸相交于點．(1)求反比例函數與一次函數解析式；(2)連接，，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）待定系數法求