/7.1-7.2正切、正弦、余弦【推本溯源】B1.認(rèn)識(shí)正切的概念B斜邊C在Rt▲ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對(duì)邊與斜邊C對(duì)邊a鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，對(duì)邊a即C鄰邊bC鄰邊b（1）那么tanB等于什么呢？有tanC這個(gè)值嗎？（2）那么tanA與tanB是什么關(guān)系呢？因此，如果有兩個(gè)角，那么這兩個(gè)數(shù)的正切值。B斜邊CB斜邊C對(duì)邊a2.在Rt▲ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對(duì)邊與 對(duì)邊a斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即CA鄰邊bCA鄰邊b我們把∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即（1）那么sinB和cosB等于什么呢？有sinC和cosC這個(gè)值嗎（2）那么sinA與cosB有什么關(guān)系？sinB與cosA呢？因此，如果兩個(gè)角，那么其中一個(gè)數(shù)的等于另一個(gè)數(shù)的。（3）觀察一下sinA、cosA、tanA的結(jié)果，總結(jié)它們的關(guān)系。（4）根據(jù)sinA與cosA的值，求出sin2A+cos2A。【解惑】例1：在中，，，則（

）A． B． C． D．例2：的值為（

）A．1 B． C．2 D．例3：如圖，中，，則．

例4：如圖，，A、分別是直線、上的點(diǎn)，，，則直線與之間的距離為.

例5：如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)M處，為折痕，，．

（1）當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，；（2）設(shè)的長(zhǎng)為t，用含有t的式子表示四邊形的面積是．【摩拳擦掌】1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是銳角的內(nèi)角，，則的值是（

）.A． B． C． D．2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）如圖，在中，，，，等于（

）

A． B． C． D．3．（2023·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）在中，∠B=90°，的余弦是（

）A． B． C． D．4．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）在中，，已知，，那么的余弦值為（）A． B． C． D．5．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，若已知a，b，則．6．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，中，，則．7．（2023·廣東茂名·校聯(lián)考三模）如圖，的頂點(diǎn)都是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的正切值為．

8.（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為．9．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖中確定點(diǎn)C，點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)你連接CA，CB，BC＝4；（2）在（1）確定點(diǎn)C后，在網(wǎng)格內(nèi)確定點(diǎn)D，點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)你連接CD，BD，CD∥AB，△CDB的面積為6，直接寫出∠CBD的正切值．10．（2021秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知矩形ABCD（AB＜AD）．（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：①以點(diǎn)A為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE；②在線段CD上作一點(diǎn)F，使得∠EFC＝∠BEA；③連接EF．（2）在（1）作出的圖形中，若AB＝4，AD＝5，求tan∠DAF的值．11．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，求tanA與tanB的值．【知不足】1．（2023·廣東汕頭·汕頭市金禧中學(xué)校考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，D在格點(diǎn)上，以為直徑的圓過C，D兩點(diǎn)，則的值為（）

A． B． C． D．2．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，，，，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．5.（2023·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)校考三模）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的的圓心O在格點(diǎn)上，則．6．（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于．（用含的三角函數(shù)值表示）

7．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將等邊三角形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，邊放在軸上，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，記點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

8．（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)在y軸左側(cè)，以為位似中心，畫出，使它與的相似比為；(2)根據(jù)（1）的作圖，．9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．求的長(zhǎng)及的值．10．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）11．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）在中，，，求、、和．【一覽眾山小】1．（2023·云南文山·統(tǒng)考一模）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹頂B的仰角為a，米，則樹高為（

）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）以下是某數(shù)學(xué)興趣小組開展的課外探究活動(dòng)，探究目的：測(cè)量小河兩岸的距離，探究過程：在河兩岸選取相對(duì)的兩點(diǎn)P、A，在小河邊取的垂線上的一點(diǎn)C，測(cè)得米，，則小河寬等于（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第二十九中學(xué)校考三模）如圖，在中，，過的中點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)FE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DF，則DF的長(zhǎng)為．

6．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則．7．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，已知，，如果點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，那么．8．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E是矩形中邊上一點(diǎn)，沿折疊得到對(duì)應(yīng)的，且點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在上．若，，則．

9．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．10．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．11．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，D、C、E三點(diǎn)共線．

(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．12．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．

(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中y軸右側(cè)作△ABC的位似圖形，使△ABC與的相似比為；(2)作關(guān)于y軸對(duì)稱后的圖形；(3)．13．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．14．（2020春·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖2是小明鍛煉時(shí)上半身由位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的位置時(shí)的示意圖．已知米，米，．（參考數(shù)據(jù)：，，）

(1)求的長(zhǎng)．(2)若測(cè)得米，試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的路徑的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留）15．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明與小穎在的小正方形網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（格點(diǎn)指小正方形的頂點(diǎn)）小正方形的邊長(zhǎng)為1．此時(shí)，細(xì)心的小穎發(fā)現(xiàn)利用網(wǎng)格可以提出下列問題，請(qǐng)你幫助小明解答小穎提出的問題：

(1)求和的值；(2)在網(wǎng)格中存在格點(diǎn)．且與不全等，同一位置的格點(diǎn)只算一個(gè)，則符合條件的格點(diǎn)一共有______個(gè)．16．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，是切線，是上一點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)若，，求的值．

7.1-7.2正切、正弦、余弦【推本溯源】B1.認(rèn)識(shí)正切的概念B斜邊C在Rt▲ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對(duì)邊與斜邊C對(duì)邊a鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，對(duì)邊a即C鄰邊bC鄰邊b（1）那么tanB等于什么呢？有tanC這個(gè)值嗎？c無鄰邊，所以tanc無意義（2）那么tanA與tanB是什么關(guān)系呢？互為倒數(shù)因此，如果有兩個(gè)角互余，那么這兩個(gè)數(shù)的正切值互為倒數(shù)。B斜邊CB斜邊C對(duì)邊a2.在Rt▲ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對(duì)邊與 對(duì)邊a斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即CA鄰邊bCA鄰邊b我們把∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即（1）那么sinB和cosB等于什么呢？有sinC和cosC這個(gè)值嗎sinc=1cosc=0（2）那么sinA與cosB有什么關(guān)系？sinB與cosA呢？相等因此，如果兩個(gè)角互余，那么其中一個(gè)數(shù)的正弦值等于另一個(gè)數(shù)的余弦值。（3）觀察一下sinA、cosA、tanA的結(jié)果，總結(jié)它們的關(guān)系。（4）根據(jù)sinA與cosA的值，求出sin2A+cos2A。sin2A+cos2A=1【解惑】例1：在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)正切的定義即可得到答案．【詳解】解：在中，，，設(shè)，則，∴，∴，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．例2：的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】直接求解即可．【詳解】故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答的關(guān)鍵．例3：如圖，中，，則．

【答案】【分析】根據(jù)正弦的定義即可得．【詳解】解：在中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求角的正弦值，熟記正弦的定義是解題關(guān)鍵．例4：如圖，，A、分別是直線、上的點(diǎn)，，，則直線與之間的距離為.

【答案】2【分析】過點(diǎn)A作，根據(jù)即可求出．【詳解】解：過點(diǎn)A作，如圖所示：

∵，，∴，∴，∴直線與之間的距離為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)正弦值的定義，熟記概念是關(guān)鍵．例5：如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)M處，為折痕，，．

（1）當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，；（2）設(shè)的長(zhǎng)為t，用含有t的式子表示四邊形的面積是．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，然后在中利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可；（2）連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，設(shè)，則,由勾股定理得出，可得，然后證得，由銳角三角函數(shù)的定義得出，求出，再根據(jù)梯形的面積公式可得答案．【詳解】解：（1）∵，，M為的中點(diǎn)，∴，又∵，且，∴，∴，故答案為：；（2）解：連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，

設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴，∵折疊矩形紙片，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)M處，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是銳角的內(nèi)角，，則的值是（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，，設(shè)，其中，則，由銳角三角函數(shù)定義即可得到答案．【詳解】解：如圖，是銳角的內(nèi)角，于點(diǎn)D，

則，設(shè)，其中，則，∴，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）如圖，在中，，，，等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：在中，，，，∴,∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）在中，∠B=90°，的余弦是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在中，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，理解銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的前提．4．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）在中，，已知，，那么的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用銳角三角函數(shù)求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，

在中，，，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫做該銳角的正弦是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，，若已知a，b，則．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形中銳角的正切值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中銳角的正切值等于對(duì)邊與相鄰直角邊之比．6．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，中，，則．【答案】【分析】根據(jù)正切值等于對(duì)邊比鄰邊，直接得到結(jié)果．【詳解】在中，，根據(jù)正切的定義知：；故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了求角的正切值，正確掌握公式是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東茂名·校聯(lián)考三模）如圖，的頂點(diǎn)都是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的正切值為．

【答案】/【分析】過點(diǎn)B作，再利用銳角三角函數(shù)的定義求解，即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)B作，則是直角三角形，由圖形可知，，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．8.（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為．9．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖中確定點(diǎn)C，點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)你連接CA，CB，BC＝4；（2）在（1）確定點(diǎn)C后，在網(wǎng)格內(nèi)確定點(diǎn)D，點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)你連接CD，BD，CD∥AB，△CDB的面積為6，直接寫出∠CBD的正切值．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）BC＝4=，故BC應(yīng)是4方格的對(duì)角線；（2）由三角形面積公式可求CD的長(zhǎng)度，結(jié)合，可確定D點(diǎn)的位置，作DH⊥BC于點(diǎn)H，再由三角形面積公式可求DH，由勾股定理可求BH，從而可求∠CBD的正切值．【詳解】解：（1）BC＝4=，故BC應(yīng)是4方格的對(duì)角線，作圖如下；（2）∵，∴CD=3，∵，∴可確定D點(diǎn)位置如圖所示，∴，∵作DH⊥BC于點(diǎn)H，又∵，BC＝4∴，∵，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖、三角形的面積、勾股定理、銳角三角函數(shù)及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)．10．（2021秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知矩形ABCD（AB＜AD）．（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：①以點(diǎn)A為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE；②在線段CD上作一點(diǎn)F，使得∠EFC＝∠BEA；③連接EF．（2）在（1）作出的圖形中，若AB＝4，AD＝5，求tan∠DAF的值．【答案】（1）①見解析；②見解析；③見解析；（2）【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可；②作∠DAE的平分線即可；③根據(jù)要求作出圖形即可；（2）利用勾股定理求出BE，EC，再利用相似三角形的性質(zhì)求出CF，DF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，圖形即為所求．∵AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，∴△AEF≌△ADF，∴∠AEF=∠D=90°，∴∠DAE+∠DFE=180°，∵∠DFC+∠DFE=180°，∴∠EFC=∠DAE，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE，∴∠EFC＝∠BEA；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，∵AE＝AD＝5，∴BE＝＝＝3，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，∵∠B＝∠C＝90°，∠AEB＝∠EFC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴＝，∴CF＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴tan∠DAF＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-基本作圖，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，求tanA與tanB的值．【答案】，【分析】由題意直接根據(jù)正切的定義即銳角的對(duì)邊與鄰邊的比進(jìn)行分析計(jì)算即可.【詳解】解：∵在RtABC中，∠C=90°，BC=1，，∴，.【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，注意掌握正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．【知不足】1．（2023·廣東汕頭·汕頭市金禧中學(xué)校考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，D在格點(diǎn)上，以為直徑的圓過C，D兩點(diǎn)，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)圓周角定理得到，，根據(jù)正弦的定義解答即可．【詳解】解：連接、，

∵是圓的直徑，∴，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形、圓周角定理，熟記正弦的定義、掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用勾股定理得出的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)得出答案．【詳解】解：如圖所示：

∵，，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，解題的關(guān)鍵是理解三角函數(shù)的定義．3．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵在中，，∴，，，，∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有A選項(xiàng)符合題意，故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)正弦的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，在中，，∴，故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的定義的理解和記憶．5.（2023·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)校考三模）如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的的圓心O在格點(diǎn)上，則．【答案】【分析】首先要用勾股定理計(jì)算直角三角形斜邊的長(zhǎng)．一般情況下，為了減小計(jì)算量，把小正方形的邊長(zhǎng)設(shè)為1，再由正弦函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：利用網(wǎng)格構(gòu)造出直角三角形，如圖所示：

的對(duì)邊為4，相鄰直角邊為4，斜邊為，則故答案為．【點(diǎn)睛】本題在網(wǎng)格中考查銳角的正弦的意義，掌握正弦的定義以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于．（用含的三角函數(shù)值表示）【答案】【分析】由，可知是等腰三角形，由點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，可得，即，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴是等腰三角形，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，正弦．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．7．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將等邊三角形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，邊放在軸上，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，記點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】或【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可知，，再根據(jù)三角形函數(shù)可得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，∴，∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，∴，∴，，∴，同理可知：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)或；故答案為點(diǎn)的坐標(biāo)或．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形函數(shù)，坐標(biāo)系與幾何圖形，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)在y軸左側(cè)，以為位似中心，畫出，使它與的相似比為；(2)根據(jù)（1）的作圖，．【答案】(1)畫圖見詳解(2)【分析】（1）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）利用，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：在y軸左側(cè)，以為位似中心，相似比為，∴如圖所示，∴即為所求圖形．（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作于，∵，，，∴，點(diǎn)到的距離（高）是，∴，且，∴，即，在中，，∴，∵是的相似圖形，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換以及解直角三角形，正確將已知角轉(zhuǎn)化到直角三角形是解題關(guān)鍵．9．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．求的長(zhǎng)及的值．【答案】，【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，中，勾股定理求得的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】在菱形中，．∵，∴．在中，∵為中點(diǎn)，∴．∵．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)角的正切值可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)角的正切值可進(jìn)行求解【詳解】（1）解：由題意得：；故答案為；（2）解：由題意得：，；故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握“直角三角形中一個(gè)銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切（）”是解題的關(guān)鍵．11．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）在中，，，求、、和．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接計(jì)算即可．【詳解】∵，，∴．【點(diǎn)睛】考查銳角的三角函數(shù)的定義即，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵【一覽眾山小】1．（2023·云南文山·統(tǒng)考一模）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，熟練掌握正切三角函數(shù)的定義：是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹頂B的仰角為a，米，則樹高為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】利用三角函數(shù)值中正切，可得到與的關(guān)系，計(jì)算即可．【詳解】在中，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的應(yīng)用，注意區(qū)分三邊對(duì)應(yīng)關(guān)系．3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）以下是某數(shù)學(xué)興趣小組開展的課外探究活動(dòng)，探究目的：測(cè)量小河兩岸的距離，探究過程：在河兩岸選取相對(duì)的兩點(diǎn)P、A，在小河邊取的垂線上的一點(diǎn)C，測(cè)得米，，則小河寬等于（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)解答即可.【詳解】在直角三角形中，∵，∴，∵米，，∴米；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)的應(yīng)用，熟知正切的定義是關(guān)鍵.4．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出所在的直角三角形，然后根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式即可．【詳解】由圖得，，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第二十九中學(xué)校考三模）如圖，在中，，過的中點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)F，延長(zhǎng)FE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DF，則DF的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，，過的中點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)F得，，根據(jù)得，根據(jù)證明得，，根據(jù)，，得，則，在中，根據(jù)勾股定理得，則，在中，，，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：在中，，∴，，，∵過的中點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)F，∴，，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，，，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，銳角將函數(shù)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．6．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則．【答案】/0.6【分析】如圖所示，過點(diǎn)A作于D，根據(jù)題意和網(wǎng)格的特點(diǎn)得到，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)正弦的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作于D，∵頂點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求角的正弦值，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，已知，，如果點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，那么．【答案】5【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E是矩形中邊上一點(diǎn)，沿折疊得到對(duì)應(yīng)的，且點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在上．若，，則．

【答案】2【分析】先證明，再由，設(shè)，則，從而可以求出各線段的長(zhǎng)，最后作差即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)，可得：，，，∴，∴，∵，∴可設(shè)，則在中，∴，，，∴，∵，∴，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及用勾股定理求線段長(zhǎng)，嚴(yán)格的邏輯思維和嚴(yán)密的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．9．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出，根據(jù)等面積法得出，設(shè)，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，，∵，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，是的角平分線，∴∵∴設(shè)，則，∴解得：或（舍去）∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】15【分析】由，可設(shè)，由勾股定理得到，由直角角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到，再證，求得，據(jù)此求解即可得到答案．【詳解】解：，∴設(shè)，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、三角函數(shù)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)，直角三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，D、C、E三點(diǎn)共線．

(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由得，根據(jù)等邊對(duì)等角得，則，由圓周角定理得到，則，即可得到結(jié)論；（2）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，證明，得到，，則，證明是的垂直平分線，則，，由，可設(shè)，則，得到，代入比例式得到，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，

∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，，∴是的垂直平分線，∴，，∵，設(shè)，則，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．

(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中y軸右側(cè)作△ABC的位似圖形，使△ABC與的相似比為；(2)作關(guān)于y軸對(duì)稱后的圖形；(3)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意找到點(diǎn)，再連線即可．（2）根據(jù)題意找到點(diǎn)，再連線即可．（3）運(yùn)用勾股定理求出，再求即可．【詳解】（1）如圖，即為所求作；

（2）如上圖，即為所求作；（3）∵∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-位似變換、軸對(duì)稱變換、求三角函數(shù)值