數學的理論與應用

TheoryandApplicationsofMathematics

數學的基礎1

數學的質量2身邊的數學3數學的基數4數學的道理5數學的電影6目錄/contentsPart1數學的基礎數學的基礎1.1多與少顧名思義，數學就是數的學問。談到數，一是數數，二是多少。數數既有“識數”的含義，也有知道“多少”的作用。比較多與少有兩種辦法。

1、數一數。比方說有兩個小組，數數，看哪個小組的人數多。

2、建立對應關系。也就是建立函數或映射。映射數學的基礎數數。A組=

B組=

1234567899人123455人9－5>0所以A組人數多于B組人數數學的基礎建立對應關系。也就是建立函數或映射。0少1多因此，如果有一個映射：是一個1-1映射。即對任意有唯一的x,使得那么x與y就是一一對應的。我們就說A與B的元素是一樣多的。顯然，這種方法比“數一數”要先進數學的基礎定義1假設A,B是兩個集合，f:A→B是一個映射。稱f是一個1-1映射，如果

1.f(A)=B,即B恰好是f的值域。此時稱f是一個滿射。

2.此時稱f是一個單射。換言之，f是一個1-1映射當且僅當f既是一個單射，又是一個滿射。數學的基礎定義2假設A,B是兩個集合，f:A→B是一個1-1映射。我們稱A,B兩個集合“具有同樣多的元素”或者稱A,B兩個集合具有同樣的“基數”，記為數學的基礎例1數列正的偶數與自然數一樣“多”部分=整體數學的基礎例2同心圓點數一樣“多”

鐘表無論大小時間一樣多！

短的=長的數學的基礎例3

圓周比直線恰好多一“點”

圓周恰好比直線”多”一個點.而圓周是有限長,直線是無限長!!!!●數學的基礎例4運動轉換出完美

在直線上無論x是趨于，還是趨于，反映在圓周上顯示的是，點沿著圓周分別按逆時針和順時針都趨于一個共同的點——頂點！直線的無限運動與圓周有限運動是可以互相轉換的！這個運動表明：當x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應的點按逆時針方向趨于頂點這個運動表明：當x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應的點按順時針方向趨于頂點數學的基礎例5最小的無窮多是多少？無窮多!最小的無窮多是自然數N!數學的基礎出了什么問題？問題出在了數或者點的“個數”不是有限的，而是有“無窮多！”無窮是數學的基礎和本質，是數學味道的精髓。無窮多是自然界的一部分，必須研究它。通過對無窮多的研究，就構建了我們的數學基礎。這方面的奠基性工作當屬Cantor.數學的基礎演示還表明：我們處理問題要從多種角度去想方設法。數學上就是用函數來表示“想方設法”：任何一個1-1對應：函數y=f(x)(x是原來的表示，y是現在的表示)（映射）x=f1(s,t),y=f2(s,t)(s,t是原來的表示，x,y是現在的表示)

映射（函數）就是提供了看問題的不同角度。數學的基礎例6旅館問題：你可以接待所有的客人。假設你有一個100個房間的旅館，來了100個客人，正好客滿。如果這時又來了一位客人，你只能抱歉地對他說，已經客滿，請您去別的旅館。如果你有一個無窮多個房間的旅館，也已經客滿。這時有來了一位客人，你能安排他住下嗎？不然任何出現在眼前的金錢跑掉！新客人數學的基礎例7任何數列的基數≦a.設有數列作為集合，如果是有限集，于是其基數<a.如果是無限集，首先，自然數集是最小的無窮集合，所以另一方面，由知道，的元素個數不會比自然數更多，所以也有基數為a的集合稱為可數集.集合A為可數當且僅當A是一個無窮集，且可以排成一個數列。數學的基礎例8有理數基數是a.

排列如下：數學的基礎例9[0,1]的基數>a.

顯然區間[0,1]基數≧a.如果等號成立，那么，[0,1]可數，從而可以排成一個數列.用十進制來表示，我們有取那么，x*與所有的都不同，但是，x*ε[0,1].矛盾.Part2數學的質量數學的質量維數問題我們來介紹Peano曲線。Peano（1858-1932），意大利數學家、符號邏輯奠基人。他構造的Peano曲線既是對經典維數提出挑戰，又具有分形結構。下面是Peano曲線的構造過程。數學的質量4等分方格數學的質量16等分方格數學的質量64等分方格256等分方格數學的質量1024等分方格數學的質量4096等分方格數學的質量數學的質量數學的質量簡單的規則孕育了如此驚人的結論：將有一條曲線充滿了整個正方形！一般地，曲線是1維的，正方形是2維的。一條1維曲線填滿了2維區域！那么我們的數學到底出了什么問題？這方面的研究促使人們正視現實，究其根源。推動了“維數”（即空間復雜度）的研究，孕育出現代數學的極具活力的分支——分形幾何和混沌。這是由1條紅色的連續曲線充滿后的正方形數學的質量什么叫維數呢？維數是刻畫空間復雜度的一個數字特征。將一個單位長度等分，得到了同等長度的2個完全相同的小部分。我們有2=21，所以，直線是1維的.將一個單位正方形的邊長等分，邊長被分為同等長度的2個完全相同的小線段。而正方形被分為4個完全相同的小正方形.我們有4=22，所以，平面是2維的.將一個單位正立方體形的邊長等分，邊長被分為同等長度的2個完全相同的小線段。而立方體被分為8個完全相同的小正立方體.我們有8=23，所以，空間是3維的.數學的質量于是，如果在空間V中，將一個單位長度等分為a份，空間V的正方體被等分為b份，則V的維數定義為即例如，直線有2=21，平面有4=22，空間有8=23，四維16=24。于是我們可以定義任意維數有許多定義維數的方法分形（Fractal），又稱碎形，通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質。數學的質量Peano曲線雪花曲線數學的質量海岸線的分形結構數學的質量樹與樹葉的分形結構數學的質量河流的分形結構亞馬遜河流的位數是1.85數學的質量宇宙的分形結構數學的質量人體的分形結構藥物在人體中的作用許多也具有分形性質數學的質量閃電、云彩的分形結構數學的質量蔬菜的分形結構數學的質量花卉的分形結構數學的質量森林的分形結構數學的質量團體操的分形結構數學的質量分形藝術數學的質量Part3身邊的數學永遠不能撫平的椰子

想象一個表面長滿毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭發一樣的旋嗎？拓撲學（Topology）告訴你，這是辦不到的。毛球定理（hairyballtheorem），它是由布勞威爾（LuitzenBrouwer，荷蘭）首先證明的。用數學語言來說就是，在一個球體表面，不可能存在連續的單位向量場。這個定理可以推廣到更高維的空間：對于任意一個偶數維的球面，連續的單位向量場都是不存在的。L.Brouwer三、身邊的數學——為什么頭頂有旋毛球定理解釋了有毛動物表面存在旋的道理。以人體為例，人的頭發上至少存在一個旋。實際上，人的頭發與頭的表面不是垂直的，它按照頭發與頭具有一定角度排列的。用數學語言來說就是：頭發構成了一個向量場，它不是連續的，有幾個不連續點就有幾個旋。實際上，人體（有毛動物）身上還有許多旋，只不過毛發太短或太長而被忽視了。三、身邊的數學——為什么頭頂有旋毛球定理在氣象學上有一個有趣的應用：由于地球表面的風速和風向都是連續的，因此由毛球定理，地球上總會有一個風速為0的地方，也就是說氣旋和風眼是不可避免的。三、身邊的數學——臺風為什么會有風眼定理：在任意時刻，地球上總存在對稱的兩點，他們的溫度和大氣壓的值正好都相同。假設地球表面各地的溫度差異和大氣壓差異是連續變化的。把溫度值和大氣壓值所有可能的組合看成平面直角坐標系上的點，于是地球表面各點的溫度和大氣壓變化情況就可以看作是二維球面到二維平面的函數，由博蘇克-烏拉姆定理便可推出，一定存在兩個函數值相等的對稱點。S.M.UlamBorsuk–Ulam定理任意給定一個從n維球面到n維空間的連續函數，總能在球面上找到兩個與球心相對稱的點，他們的函數值是相同的。三、身邊的數學——氣候完全相同的對稱點三、身邊的數學——氣候完全相同的對稱點10°20°15°15°20°10°只考慮氣溫。我們用一個非常直觀的證明方法來說明：假設地球大圓上有兩個人，他們站在關于球心對稱的位置上。如果此時他們所在地方的溫度相同，問題就已經解決了。下面我們只需要考慮他們所在地點的溫度一高一低的情況。不妨假設，A所在的地方是10度，B所在的地方是20度吧。現在，讓兩人以相同的速度相同的方向沿著大圓旅行，保持兩人始終在對稱的位置上。假設在此過程中，各地的溫度均不變。那么必有一個時刻兩人所處地點的溫度相同。AB現在考慮一個喝醉的酒鬼，他在街道上隨機游走。假設整個城市的街道呈網格狀分布，酒鬼每走到一個十字路口，都會概率均等地選擇一條路（包括自己來時的那條路）繼續走下去。那么他最終能夠回到出發點的概率是多少呢？答案也還是100%。假設醉鬼從某個酒店出發，每次有50%的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。按照這種方式無限地隨機游走下去，最終能回到出發點的概率是100%。在一維隨機游走過程中，只要時間足夠長，我們最終總能回到出發點。因為三、身邊的數學——回家定理（隨機游動）不過，醉酒的小鳥就沒有這么幸運了。假如一只小鳥飛行時，每次都從上、下、左、右、前、后中概率均等地選擇一個方向，那么它很有可能永遠也回不到出發點了。事實上，在三維網格中隨機游走，最終能回到出發點的概率只有大約34%。這個定理是著名波蘭數學家波利亞（GeorgePólya）在1921年證明的。隨著維度的增加，回到出發點的概率將變得越來越低。在四維網格中隨機游走，最終能回到出發點的概率是19.3%，而在八維空間中，這個概率只有7.3%。GeorgePólya三、身邊的數學——回家定理（隨機游動）三、身邊的數學——符號的用途桌上放著8只茶杯。全部杯口朝上，每次翻轉其中的4只，只要翻轉兩次，就把它們全都翻成杯口朝下。

如果將問題中的8只改為6只，每次仍然翻轉其中的4只，能否經過若干次翻轉把它們全部翻成杯口朝下？我們發現經過三次翻轉就達目的。

三、身邊的數學——符號的用途實驗發現，7個杯子時就做不到了！是你的“翻轉”能力差，還是根本無法完成？更進一步，n個杯子呢？我們用數學來描寫6只杯子這個過程。用+1表示杯口朝上，-1表示杯口朝下，這三次翻轉過程可以簡單地數字化表示如下：初始狀態+l,+l,+l,+l,+l,+l第一次翻轉-1,-1,-1,-l,+l,+1第二次翻轉-1,+1,+1,+1,-1,+1第三次翻轉-1,-1,-1,-1,-1,-1由于每次翻轉的符號改變都是偶數次，所以-1，+1的乘積永遠等于不變（1），而最終結果的乘積是1。7個杯子時，杯口朝上的數字表示為+1，其乘積為1；杯口朝下的數字表示為-1.其乘積為-1.而每次翻轉偶數個，即符號改變偶數次，乘積永遠為+1，從而當有7只水杯時，每次翻轉4次是不可能全部翻過來的。我們來玩一個魔術：

從5x5排列的25張牌中找出觀眾選擇的牌張。準備：把魔術師捆綁起來裝進袋子里。第一步：請一位觀眾將16張牌擺成4×4的形狀。三、身邊的數學——魔術

第二步：增加難度，請第二位觀眾把牌張增加9張，構成一個5×5的排列，如圖。三、身邊的數學——魔術

第三步：再請一位觀眾把其中的一張牌翻開，并保密（本例是方片5）。第四步：魔術師出來，立即拿起第三位觀眾翻過來的方片5。三、身邊的數學——魔術誰是托兒呢？來看看差別：4×4→5×5三、身邊的數學——魔術把這個結果數字化：紙牌背面朝上記為0，正面朝上記為1，那么上述兩個圖形就可以表示為奇奇奇奇奇奇奇奇偶奇奇奇奇奇奇奇偶奇奇奇第3位觀眾第2位觀眾第2位觀眾是托！三、身邊的數學——魔術

信息學中傳輸數據使用的奇偶校驗法也源于此原理。在電子通信上，這些1和0就可以用來傳遞聲音、文字、圖片、視頻等各種東西，不過數據的傳遞過程中很可能會出差錯，發生某一個數字正好弄反了的情況(相當于第三位觀眾的操作)。如果給原始信息(第一位觀眾的撲克牌陣)加上了校驗碼(第二位觀眾的做法)，接受這些數字信號的一方(相當于魔術師)不但能知道數據有沒有傳錯，還能自己把傳錯的地方給糾正過來。不過，如果有不止一個數字被傳錯，這種自糾錯方案就無能為力了。好在，數學家們還發明了一些更強大的自糾錯校驗編碼，可以用于通訊信號更惡劣的場合中。三、身邊的數學——魔術你會系鞋帶嗎？這個問題似乎應該問幼兒園的小朋友。可是有的時候，系鞋帶也是一項技術含量很高的工作，選出一種最好鞋帶系發并非易事。啥樣的系鞋帶的方法叫好呢？在座的同學中肯定喜歡最靚、最帥的那款。可是我們把這個問題看作一個優化問題：哪一種系鞋帶的方法最節省鞋帶，所需要的鞋帶長度最短。三、身邊的數學——巧系鞋帶三、身邊的數學——巧系鞋帶

常見的鞋帶系法有三種美式系法、歐式系法和鞋店式系法（也就是鞋店賣鞋的為了圖省事的一種簡單系法）。這3種方法那一種更好呢？也就是說，哪種系法最省鞋帶呢？美式系法歐式系法鞋店快速系法我們先來確定這個“鞋帶工程”,設：鞋上鞋孔對數：n:相鄰兩個鞋孔之間的距離：g兩行鞋孔之間的距離：d根據勾股定理和一些簡單的幾何知識，我們可以很輕松的算出這3種系鞋帶方法所需要的鞋帶長度（只考慮穿過鞋孔的長度，不考慮系蝴蝶結所需要的長度）分別為：三、身邊的數學——巧系鞋帶三、身邊的數學——巧系鞋帶

假設鞋有8對鞋孔(n=8)，鞋孔間距離是1厘米(g=1)，左右鞋孔間的距離是2厘米(d=2)，這3種系法所需要的鞋帶長度分別是：

美式系法：38厘米（省錢不省事）歐式系法：40厘米（省錢不省事）鞋店系法：42厘米（省事不省錢）三、身邊的數學——巧系鞋帶三、身邊的數學——巧系鞋帶最優鞋帶系法和光線傳播之間的聯系：其實，最短系鞋帶問題和光線反射與折射問題有著很巧妙的聯系。光在傳播的時候總是“抄近道”，選擇走最短的路徑。我們就知道光的入射角等于反射角，其更深層的原因是：可以保證光線總能以最短的路徑達到目的地。比如右面的圖中，A點在入射光線上，B點在反射光線上，AB兩點之間相當于有一條直線連接，“兩點之間，線段最短”，運動最快。更省鞋帶的非主流系法剛剛的最短系法只是在鞋帶每次都是在左右鞋孔之間來回穿梭的假設之下的進行的。去掉這個假設，還有許多其它的系鞋帶方法。例如右圖所示。美國北卡羅萊納大學的JohnH.Halton教授給出了更短的系攜帶方法。如果n是偶數，需要的鞋帶長度只有(n–1)(g+2d)。據說加拿大皇家海軍和皇家空軍曾用這種方式系鞋帶，原因倒不是為了節省鞋帶，而是鞋帶很容易從中間用刀一下子劃開，這樣在遇到危急情況，比如溺水的時候，便于脫掉鞋子逃生。看來，系鞋帶這件技術活也不是那么容易的。三、身邊的數學——巧系鞋帶¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤Part4數學的技術18世紀的法國物理學家、數學家傅立葉（JosephFourier）建立一種以他的名字命名的數學理論：Fourier分析（Fourier級數和Fourier變換）。毫不夸張地說，這是對數學理論發現最廣泛的應用：量子物理、射電天文學、MP3和JPEG壓縮、X-射線晶體學、語音識別、PET或MRI掃描,DNA雙螺旋結構。可以說，無論你能聽MP3格式的歌曲，能在網頁上瀏覽圖片，能向SIRI提問，最應該感謝的就是Fourier!四、數學技術之一：傅里葉變換數字時代的功臣JosephFourier那么，什么是傅里葉理論呢，為什么他的這個理論如此有用？如果你在鋼琴鍵盤上敲響一個音符。當四、數學技術之一：傅里葉變換數字時代的功臣你按下琴鍵的時候，鋼琴中有一個小錘來來回回地敲擊一根琴弦（對于音準do大約是440次每秒）。隨著琴弦振動，它周圍的空氣分子也來回震動，從而創造了一波震動的空氣分子，我們稱之為聲。如果你能看空氣中進行的這種有規律的舞蹈，你會發現一系列平穩，起伏的，無休止的重復。這就是所謂的正弦波曲線，或正弦波。現在，我們考慮由三個按鍵同時發出的和弦聲。和弦的聲波并不漂亮——它看起來雜亂無章。但是，在這混亂的背后有一個簡單的模型。畢竟，和弦只是三個音符的相互融合與碰撞，因此這樣混亂的聲波，實際上只是三種音符（正弦曲線）的和而已。四、數學技術之一：傅里葉變換數字時代的功臣傅里葉認為這不僅僅音樂和弦的特殊屬性，而可以推廣應用到一切重復的波形中，無論這個波形是方形，圓形，波浪，三角形或是其它形狀。傅里葉變換像是一種數學棱鏡——你輸入一個波形并且將這種波形分解為不同成分——這些音符（正弦曲線）會相互疊加而形成新的重建波形。njnj分解合成壓縮傳輸：去掉音調很高或很低的音符：某些sinnx,cosnx系數為0分解成簡諧波：sinnx,cosnx，無窮和四、數學技術之一：傅里葉變換數字時代的功臣原波（WAV，BMP,...）近似：sinnx,cosnx的有限和MP3,JPEG,MP4,....數值特征:坐標這不僅僅是數學花招。傅里葉變換出現在幾乎所有存在波形的地方。對于每個音頻片段，傅里葉變換將音頻波形分解為它的成分音符并且保存下來，從而代替存儲原始波形。傅里葉變換還可以告訴你在一首歌中每個音符所占的比例，你可以知道哪些音符是這首歌的基本元素。音調很高或很低的音符并不重要（我們的耳朵幾乎不能聽見），因此，MP3格式放棄保存這些音符，從而取得了更高的數據壓縮率。這正是高保真音響愛好者不喜歡MP3格式的原因——它不是一種無損的音頻格式，高保真愛好者可以聽出其中的差別。四、數學技術之一：傅里葉變換數字時代的功臣四、數學技術之一：傅里葉變換數字時代的功臣這也是智能手機的應用程序Shazam怎樣識別一首歌的原理。它將音樂分割成塊，利用傅里葉變換算出每一塊中的音符成分。然后它搜索數據庫，來尋找這樣的“音符指紋”與他們已有文件中的一首歌相匹配。語音識別同樣使用“傅里葉指紋”的思想，將你的聲音與已知單詞列表進行比較。傅里葉變換已經被用于通過破譯油畫中的化學物質，來識別假冒的杰克遜·波洛克繪畫。四、數學技術之一：傅里葉變換數字時代的功臣傅里葉變換的其它應用研究不同的潛水器結構與水流的相互作用試圖預測即將到來的地震識別距離遙遠的星系的組成部分尋找熱量大爆炸殘余物中的新物理成分為NASA分析數字信號研究樂器的聲學原理改進水循環的模型尋找脈沖星（自轉的中子星）用核磁共振研究分子結構四、數學技術之二：代數學——GPS定位四、數學技術之二：代數學——GPS定位將前三個方程化簡得下列線性方程組：可求得唯一解（x,y,z），從而得到點A的位置。但是，點A通常能夠捕獲4顆以上的衛星。那么上述方程組可能會變成四、數學技術之二：代數學——GPS定位

這是一個未知量個數少于方程個數的方程組，稱為矛盾方程組，一般來說是無解的。三顆衛星是不可能覆蓋整個地球，對地球的無縫覆蓋至少需要24顆衛星。但是：這些方程中每三個方程構成的方程組都有唯一解。此時，我們將用最小二乘法來確定A點的位置。四、數學技術之二：代數學——GPS定位實際上，由于衛星和地面物體可能同時運動，并且發送頻率就有間歇性。以美國的GPS為例，民用C/A碼頻率1.023MHz，重復周期一毫秒，碼間距1微秒，相當于300m；軍用P碼頻率10.23MHz，重復周期266.4天，碼間距0.1微秒，相當于30m。這就造成了300m/30m的誤差，不符合"精確定位"的要求。所以人們在上述方程組的基礎上，還要加上一項與時間有關的量，以彌補此誤差，從而可以實現GPS授時，進一步還可以用于“精確制導。”四、數學技術之二：代數——動畫制作圖形陰影的制作(動畫制作，幾何變換)合成圖四、數學技術之二：代數——動畫制作圖1圖2圖3圖4湖南省大學生數學競賽考題如圖所示，圖2-圖4是由圖1經過下列矩陣變換逐步得到的。1.請在下列括號內填上對應的變換矩陣。圖2(),圖3(),圖4()2。如果圖1的圖形面積為S,給出圖4的面積。BAC實際上，圖4的面積=圖3的面積。根據二元積分變換公式，四、數學技術之二：代數——動畫制作Part5數學的道理五、數學的道理之一：積少成多從上述不等式你能得到什么樣的人生啟示？莫以惡小而為之，勿以善小而不為。積少成多！五、數學的道理之二：一分耕耘一分收獲五、數學的道理之二：一分耕耘一分收獲大學四年的耕耘收獲如下：五、數學的道理之二：微分——舍得回憶導數的定義：a是一個任意常數，一定不會有特殊的意義。差異大差異小五、數學的道理之二：微分——舍得從導數定義出發。趨于0的量記為五、數學的道理之二：微分——舍得于是考慮主要因素，獲得了微分定義：提供了一個新的思想和方法。五、數學的道理之二：微分——舍得動態坐標系：其表示不隨坐標系的選擇而變化。是一個不變量。相比靜態坐標系而言，具有形式上的簡潔性，易于抓住本質。五、數學的道理之二：微分——舍得靜態動態五、數學的道理之二：微分——舍得意義:舍與得復雜的微小部分可以忽略：抓住了問題的本質，簡化的解決問題的方法。積分告訴我們這種舍的確是正確的。提供了思考、觀察、解決問題的新思路：動態坐標系，產生了微分幾何。舍去了無窮小，得到了一片天。舍需要勇氣，得需要智慧。吵架。爭論五、數學的道理之二：微分——舍得五、數學的道理之三：一技之長

設某個小組3名同學需要排名。五、數學的道理之三：一技之長五、數學的道理之三：一技之長有一點可以肯定：如果a11<a21,a11<a31,a12<a22,a12<a32,a13<a23,a13<a33,a14<a24,a14<a34,也就是說，第一個學生的每一科成績都墊底，那么，無論如何調整權重pi,也不可能使ta“名列前茅”。因此，你如果希望得到別人的幫助，就必須有一技之長，這才是生存之道！五、數學的道理之四——像河流般努力

河流是自然界的最基本現象，它們奔流不息，百折不饒，最終匯集到了大海——水的最高境界！五、數學的道理之四——像河流般努力為什么河流為什么不走直路？

最根本的原因就是，走彎路是自然界的一種常態，走直路而是一種非常態。因為河流在前進的過程中，會遇到各種各樣的障礙，有些障礙是無法逾越的。所以，它只有取彎路，繞道而行，也正因為走彎路，讓它避開了一道道障礙，最終抵達了遙遠的大海。”河流的重要特點就是：當遇到阻礙時，河水不斷積攢力量，不斷尋找突破口，待到時機成熟，它就會噴發而行，勢不可擋！五、數學的道理之四——像河流般努力“其實，人生也是如此，當人們遇到坎坷、挫折時，也要把曲折的人生看做是一種常態，不悲觀失望，不長吁短嘆，不停滯不前，把走彎路看成是前行的另一種形式、另一條途徑，這樣你就可以像那些走彎路的河流一樣，抵達那遙遠的人生大海。”把走彎路看成是一種常態，懷著平常心去看待前進中遇到的坎坷和挫折，您會像河流一樣，抵達到人生的目標。

五、數學的道理之四——像河流般努力數學的向量運算恰恰是河流的一個模型！

向量的加法實現目標五、數學的道理之四——像河流般努力數學的向量詮釋人生也是十分形象的！

向量：有方向有大小的量。方向的選取意味著決策是否正確大小的差異意味著付出是否足夠向量的相等只取決于方向的大小意味著時空是不可能幫助你作出決定和付出的五、數學的道理之四——像河流般努力數學的向量詮釋人生也是十分形象的！向量的加法（減法）意味著意見接近（相左）時，形成了正（負）能量。向量的內積意味著兩者之間的關系相關度。向量的外積意味著不同優勢的適當交叉能夠產生新的優勢。五、數學的道理之四——像河流般努力數學的向量詮釋人生也是十分形象的！向量的加法（減法）意味著意見接近（相左）時，形成了正（負）能量。五、數學的道理之四——像河流般努力數學的向量詮釋人生也是十分形象的！向量的內積意味著兩者之間的關系相關度。的符號是一致的。大于零：表示正相關，等于零：表示不相關，小于零：表示負相關。五、數學的道理之四——像河流般努力數學的向量詮釋人生也是十分形象的！向量的外積意味著不同優勢的適當交叉能夠產生新的優勢。

交叉同類優勢不可能產生新的優勢！五、數學的道理之五——快樂數字特征

我們從一個例子開始。你和朋友有個約會，你有兩種選擇方式精確時間（2:10:37:71）模糊時間（2:10左右）精確時間（2:10:37:71）的數學表示是

2.模糊時間（2:10左右）的數學表示是死定了差不多五、數學的道理之五——快樂數字特征

的意義是什么呢？其意義就是“包容度”、“容忍度”。就是“死定了”的情況。我們來看看的情況。

就是“零容忍”就是“常態容忍”就是“極度容忍”五、數學的道理之五——快樂數字特征我們可以定義快樂指數

痛苦在等著你。

快樂程度取決于包容度大小。

不存在極樂世界。五、數學的道理之五——快樂數字特征有兩種情況，數學上稱為不定式，其值不定，可以是任何值

1.

2.五、數學的道理之五——快樂數字特征p

值的不確定性告訴我們，即使你們之間親密無間，當容忍度變成0時，也將會出現不可控的局面。而這僅僅是考慮了兩種因素。當兩人存在的因素多的時候，一旦"刻薄"出現，局面將更為復雜。這就應了老祖宗的話：清官難斷家務事!五、數學的道理之五——快樂數字特征q值的不確定性告訴我們，我們對與自己無關的人采取了極度寬厚的容忍，因為或者所發生的事與我們毫無關系，或者我們之間毫無聯系，完全是陌路人。那為什么q的值還是具有不確定性呢？這種不確定性又蘊含了什么意義呢？這里我們來說說社會學上的一個有趣的實驗——“六度分隔理論”，也稱為“小世界現象”。五、數學的道理之五——快樂數字特征五、數學的道理之五——快樂數字特征

六度分隔(SixDegreesofSeparation)理論描繪的是一個連結人與社區的人際連系網。簡單地說：“你和任何一個陌生人之間所間隔的人不會超過六個，也就是說，最多通過六個人你就能夠認識任何一個陌生人。”“六度分隔”說明了社會中普遍存在的“弱紐帶”，但是卻發揮著非常強大的作用。有很多人在找工作時會體會到這種弱紐帶的效果。通過弱紐帶人與人之間的距離變得非常“相近”。六度分隔理論(SixDegreesofSeparation)由美國著名社會心理學家米爾格倫(StanleyMilgram)于20世紀60年代最先提出。1967年，哈佛大學的心理學教授StanleyMilgram(1933-1984)做過一次連鎖信實驗，結果發現了“六度分隔”現象。五、數學的道理之五——快樂數字特征JonKleinberg把這個問題變成了一個可以評估的數學模型，并發表在自己的論文“TheSmall-WorldPhenomenon”中。人們經常在與新朋友碰面的時候說“世界真小”，因為往往可能大家有共同認識的人。Jon的研究實證了這個觀點。若每個人平均認識260人，其六度就是260^6=308,915,776,000,000(約300萬億)。消除一些節點重復，那也幾乎覆蓋了整個地球人口若干多多倍。公式可以進一步抽象成：n=log(N)/log(W)，其中n表示復雜度，N表示人的總數，W表示每個人的聯系寬度。人類社會真小。人與人之間“距離不超過6”五、數學的道理之五——快樂數字特征社會屬性“距離”.我們通常會說：“大爺”、“大媽”、“學生”、“教師”……這是社會屬性。在社會屬性下，人與人的“距離”可能變成0例如“老年人訛人”。“廣場舞大媽”、“中國游客”、“富二代”、“官二代”……都把人與人之間劃分了“集合”。在這種意義上說，屬性距離就是0.五、數學的道理之五——快樂數字特征此時出現兩種情況一是對“陌生人”的無限寬容（a→∞），此時d→∞。并無所謂快樂。二是因為社會屬性，導致d→0。但是，如果人們的容忍度a→0時，你的快樂也是無法確定的。關愛、友善、包容、理解是人類社會必須具備的基本內容。Part6數學的電影數學的電影英文名稱：π別名：3USA)發行時間：1998年07月10日科幻驚栗手法描寫一名天才數學家觸目驚心的經歷。才華蓋世的數學家馬斯在過去十年來，發現股票市場在混亂波動背后原來由一套數學模式操控，于是致力研究尋出該數學模式。沒想到，主宰金融市場的一家華爾街財團，以及不擇手段要釋破圣經密碼的一個卡巴拉宗教組織均同時派員追緝他，馬斯既要保護一己安全，同時亦要盡快找出這些影響世界金融市場的密碼。1、死亡密碼數學的電影英文名稱：ABeutifulMind發行時間：2001年出品(UniversalPictures,USA)故事的原型是數學家小約翰-福布斯-納什(Jr.JohnForbesNash)。英俊而又十分古怪的納什早年就作出了驚人的數學發現，開始享有國際聲譽。但納什出眾的直覺受到了精神分裂癥的困擾，使他向學術上最高層次進軍的輝煌歷程發生了巨大改變。面對這個曾經擊毀了許多人的挑戰，納什在深愛著的妻子艾麗西亞(Alicia)的相助下，毫不畏懼，頑強抗爭。經過了幾十年的艱難努力，他終于戰勝了這個不幸，并于1994年獲得諾貝爾獎。2、美麗心靈數學的電影英文名稱：GoodWillHunting別名：驕陽似我發行時間：1997一個麻省理工學院的數學教授，在他系上的公布欄寫下一道他覺得十分困難的題目，希望他那些杰出的學生能解開答案，可是卻無人能解。結果一個年輕的清潔工(麥特戴蒙飾)卻在下課打掃時，發現了這道數學題并輕易的.3、心靈捕手數學的電影英文名稱：Fermat'sLastTheorem發行時間：2005年本片從證明了費瑪最后定理的安德魯懷爾斯（AndrewWiles）開始談起，描述了Fermat'sLastTheorm的歷史始末，往前回溯來看，1994年正是我在念大學的時候，當時完全沒有一位教授在課堂上提到這件事，也許他們認為，一位真正的研究者，自然而然地會被數學吸引，然而對一位不是天才的學生來說，他需要的是老師的指引，引導他走向更高深的專業認知，而指引的道路，就在科普的精神上。4、費馬最后定理數學的電影英文名稱：Decartes發行時間：2006年勒奈·笛卡爾（RenéDescartes?，常作笛卡兒，1596年3月31日生于法國安德爾-盧瓦爾省笛卡爾-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥爾摩），法國哲學家、數學家、物理學家。他對現代數學的發展做出了重要的貢獻，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西方現代哲學思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者提出了“普遍懷疑”的主張。他的哲學思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學。5、笛卡兒數學的電影英文名稱：Newton'sDarkSecrets發行時間：2005年1643年1月4日，在英格蘭林肯郡小鎮沃爾索浦的一個自耕農家庭里，牛頓誕生了。牛頓是一個早產兒，出生時只有三磅重，接生婆和他的親人都擔心他能否活下來。誰也沒有料到這個看起來微不足道的小東西會成為了一位震古爍今的科學巨人，并且竟活到了85歲的高齡。6、牛頓探索數學的電影英文名稱：HakaseNoAishitaSushiki發行時間：2006年電影導演：小泉堯史語言：日語一次交通意外，令天才數學博士只剩下80分鐘的記憶，時間一到，所有回憶自動歸零，重新開始。遇上語塞的時候，他總會以數字代替語言，以獨特的風格和別人交流。他身上到處都是以夾子夾著的紙條，用來填補那只有80分鐘的記憶。這次，新來的管家杏子帶著10歲的兒子照顧博士的起居，對杏子來說，每天也是和博士的新開始。博士十分喜愛杏子的兒子，并稱呼他作「根號」，因為根號能容納所有人和事，他讓母子倆認識數學算式內美麗且光輝的世界。因為只有短短80分鐘，三人相處的每一刻都顯得非常珍貴。7、博士熱愛的算式數學的電影英文名稱：InfiniteSecrets:TheGeniusofArchimedes發行時間：2005年阿基米德(Archimedes，約公元前287～212)是古希臘物理學家、數學家，靜力學和流體靜力學的奠基人。除了偉大的牛頓和偉