/第20講正切、正弦、余弦模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．掌握正切、正弦、余弦的概念，知道銳角三角函數；2．會運用公式求邊長或角度。1.認識正切的概念在Rt▲ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對邊與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，即（1）那么tanB等于什么呢？有tanC這個值嗎？（2）那么tanA與tanB是什么關系呢？因此，如果有兩個角，那么這兩個數的正切值。2.在Rt▲ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對邊與 斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即我們把∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即（1）那么sinB和cosB等于什么呢？有sinC和cosC這個值嗎（2）那么sinA與cosB有什么關系？sinB與cosA呢？因此，如果兩個角，那么其中一個數的等于另一個數的。（3）觀察一下sinA、cosA、tanA的結果，總結它們的關系。（4）根據sinA與cosA的值，求出sin2A+cos2A。考點一：正切、正弦、余弦的概念理解例1．如圖，在中，，為邊上一點，過點作，垂足為，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】如圖，在中，于點，下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】如圖，在中，．（1）斜邊；（2）的對邊；（3）的鄰邊；（4）．【變式1-3】如圖，在中，，，，，的對邊分別是，，．(1)利用銳角三角函數的定義求證：；(2)若，求的值．考點二：求正切、正弦、余弦的值例2．如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式2-1】如圖，在中，延長斜邊到點D，使，連接，若，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2-2】如圖，在中，的垂直平分線交于點D，連接，若，則的長是．【變式2-3】如圖，在中，．(1)求作分別與，相切，使得圓心O落在上，（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，已知，，求的值．考點三：由正切、正弦、余弦的值求邊長例3.如圖，的半徑為5，切于點B，連接交于點C，交于點D，連接，若，則的長為（

）A．5 B． C． D．【變式3-1】如圖是等邊三角形，點是邊的三等分點，連接．若的周長為9，則點到的距離為（

）A． B． C． D．【變式3-2】如圖，在正方形中，，將繞點順時針旋轉得到，此時與交于點，則的長度為．

【變式3-3】如圖，在矩形中，為邊上一點，連結．若，過點作于點．(1)求證：．(2)若，，求的長．1．在中，，，，那么的長為（

）A． B． C． D．2．在中，，，，則的值為（）A．8 B．9 C．10 D．7.53．如圖，在中，，是邊上的中線，，，則的正弦值為（

）A． B． C． D．4．如圖，點在正方形網格的格點上，則是（

）A． B． C． D．5．如圖，在正方體中，的正切值為（

）

A． B． C．1 D．6．如圖，、、是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則的值為（）A． B． C． D．27．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則的值為（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，，，點是的中點，將繞著點順時針旋轉至，連接，交于點，交于點，則的值是（

）A． B． C． D．9．如圖，在矩形中，，，與的平分線相交于點．直線是邊AD的垂直平分線，連接AE交直線于點，則，線段PE的長為．10．在中，，，，則的值是．11．如圖，半徑為6的扇形中，，C，D分別是半徑的中點，連接，則圖中陰影部分面積為．（用含的式子表示）12．6個全等的小正方形如圖放置在中，則的值是．13．如圖，在矩形中，，，點在上，將矩形沿折疊，點恰好落在邊上的點處，那么．

14．如圖，的頂點是正方形網格的格點，則的值等于．15．如圖，在中，，求的值．16．如圖，在中，，點在邊上，，．

(1)求的長；(2)求的值．17．如國，在中，，點是邊的中點，點在邊上，經過點，且與邊相切于點，與相切于點．(1)求證：；(2)若，，求的直徑．18．給出一個新定義：有兩個等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點互相重合且其中一個等腰三角形的一個底角頂點在另一個等腰三角形的底邊上，那么這兩個等腰三角形互為“友好三角形”．(1)如圖①，和互為“友好三角形”，點D是邊上一點（不與點B重合），，，，連接，則________（填“<”或“=”或“>”），________°；(2)如圖②，和互為“友好三角形”，點D是邊上一點，，，，M、N分別是底邊的中點，請探究與的數量關系，并說明理由；(3)如圖③，和互為“友好三角形”，點D是邊上一動點，，，，M、N分別是底邊的中點，請直接寫出與的數量關系（用含的式子表示）

第20講正切、正弦、余弦模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．掌握正切、正弦、余弦的概念，知道銳角三角函數；2．會運用公式求邊長或角度。1.認識正切的概念在Rt▲ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對邊與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，即（1）那么tanB等于什么呢？有tanC這個值嗎？c無鄰邊，所以tanc無意義（2）那么tanA與tanB是什么關系呢？互為倒數因此，如果有兩個角互余，那么這兩個數的正切值互為倒數。2.在Rt▲ABC中，∠C=90°，我們把∠A的對邊與 斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即我們把∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即（1）那么sinB和cosB等于什么呢？有sinC和cosC這個值嗎sinc=1cosc=0（2）那么sinA與cosB有什么關系？sinB與cosA呢？相等因此，如果兩個角互余，那么其中一個數的正弦值等于另一個數的余弦值。（3）觀察一下sinA、cosA、tanA的結果，總結它們的關系。（4）根據sinA與cosA的值，求出sin2A+cos2A。sin2A+cos2A=1考點一：正切、正弦、余弦的概念理解例1．如圖，在中，，為邊上一點，過點作，垂足為，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，關鍵是掌握銳角三角函數定義．由銳角的三角函數定義，即可判斷．【詳解】解：，，、，故不符合題意；、結論正確，故符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意．故選：B．【變式1-1】如圖，在中，于點，下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查銳角三角函數，根據銳角三角函數的定義，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴∴，故A選項錯誤；，故B選項錯誤；，故C選項正確；，故D選項錯誤；故選C．【變式1-2】如圖，在中，．（1）斜邊；（2）的對邊；（3）的鄰邊；（4）．【答案】cba【分析】根據各邊名稱定義寫出每邊的代號即可．【詳解】（1）直角三角形的斜邊為最長邊c（2）∠B的對邊是∠B正對的邊b（3）∠B的鄰邊是a，（4）∠B的對邊比斜邊即等于b÷c=故答案為①c②b③a④【點睛】本題考查直角三角形各邊名稱，熟記這些名稱是解題關鍵．【變式1-3】如圖，在中，，，，，的對邊分別是，，．(1)利用銳角三角函數的定義求證：；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了三角函數的定義；（1）根據三角函數的定義進行證明即可；（2）根據（1）中的結論得出，即，然后代入求值即可．解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義，在一個中，，則，，．【詳解】（1）證明：∵在中，，，，，的對邊分別是，，，∴，，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∴．考點二：求正切、正弦、余弦的值例2．如圖，在菱形中，對角線，相交于點O，，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了菱形的性質、勾股定理以及銳角三角函數的定義等知識；熟練掌握菱形的性質和銳角三角函數的定義是解題的關鍵．先由菱形的性質得，再由勾股定理求出，然后由銳角三角函數的定義即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，且，，，，故選：C．【變式2-1】如圖，在中，延長斜邊到點D，使，連接，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，正切函數的計算，熟練掌握相似三角形的判定和性質和正切的定義是解題關鍵，過點C作交于點E計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作交于點E．∵，，∴．∵，∴設，．∵，∴，∴．∵，∴，∴．故選：D．【變式2-2】如圖，在中，的垂直平分線交于點D，連接，若，則的長是．【答案】【分析】此題考查三角函數，勾股定理，根據，設，求出，再根據勾股定理求出．【詳解】在中，，∴，設，∵垂直平分，∴，∴，解得，∴，∴，故答案為．【變式2-3】如圖，在中，．(1)求作分別與，相切，使得圓心O落在上，（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，已知，，求的值．【答案】(1)畫圖見解析(2)【分析】（1）作的角平分線，過作的垂線，垂足為，以為圓心，為半徑畫圓，則即為所求；（2）由（1）得：，，，結合，，由面積可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，作的角平分線，過作的垂線，垂足為，以為圓心，為半徑畫圓，作于M，由角平分線的性質可得：到的距離為圓的半徑，∴是的切線，即，由作圖可得：是的切線，∴即為所求．（2）解：由（1）得：，，，∵，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查的是作角平分線，作垂線，作圓，切線的判定，角平分線的性質，銳角的正切的含義，熟練的作圖是解本題的關鍵．考點三：由正切、正弦、余弦的值求邊長例3.如圖，的半徑為5，切于點B，連接交于點C，交于點D，連接，若，則的長為（

）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了切線的性質，圓周角定理，平行線的性質，正切等知識．熟練掌握切線的性質，圓周角定理，平行線的性質，正切的定義是解題的關鍵．如圖，連接，則，由，可得，由圓周角定理得，根據，求解作答即可．【詳解】解：如圖，連接，∵切于點B，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【變式3-1】如圖是等邊三角形，點是邊的三等分點，連接．若的周長為9，則點到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的性質和正弦的定義，先過點D作于點E，由題意得到，，在中，利用正弦定義求即可．【詳解】解：過點D作于點E，∵是等邊三角形且周長為9，∴，，∵點是邊BC的三等分點，∴，在中，，∴，∴點到AC的距離為．故選：A【變式3-2】如圖，在正方形中，，將繞點順時針旋轉得到，此時與交于點，則的長度為．

【答案】/【分析】本題主要考查了正方形的性質、旋轉的性質、勾股定理、解直角三角形等知識，根據正方形的性質、勾股定理求出，根據旋轉的性質，得出得出，根據計算，最后根據得出答案即可，熟練掌握解直角三角形、數形結合是解題的關鍵．【詳解】解：∵在正方形中，，將繞點順時針旋轉得到，∴，，，∴，，∴，∴，∴在中，，故答案為：．【變式3-3】如圖，在矩形中，為邊上一點，連結．若，過點作于點．(1)求證：．(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）利用即可證明；（）由設，，則，由勾股定理得，進而得，再根據可得，求出即可求解；本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，三角函數，勾股定理，掌握矩形的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴；（2）解：∵，∴設，，∴，∴，∵，，∴，解得，∴．1．在中，，，，那么的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解直角三角形，根據已知條件，利用正切定義求解即可．【詳解】解：如圖，∵，，，∴，故選：D．2．在中，，，，則的值為（）A．8 B．9 C．10 D．7.5【答案】C【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，解決本題的關鍵是掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．根據正弦函數的定義即可直接求解．【詳解】解：∵，設，，∴，∴，解得，∴．故選：C．3．如圖，在中，，是邊上的中線，，，則的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，根據是邊上的中線得到，再根據銳角的正弦值列式計算即可得解．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴，∴．故選：C．4．如圖，點在正方形網格的格點上，則是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解直角三角形、勾股定理，解題的關鍵是構造直角三角形，計算出和的長度．設于，小正方形邊長為1，然后根據正方形的性質和勾股定理，可以得到和的長，然后即可計算出的值，從而可以得到的值．【詳解】解：如圖，設于，設小正方形邊長為1，，，是等腰直角三角形，，，，在中，．的值是，故選：D．5．如圖，在正方體中，的正切值為（

）

A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理、正切的定義，由題意得，，設，則，再由正切的定義計算即可得解．【詳解】解：由題意得：，，設，則，∴，故選：A．6．如圖，、、是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查了勾股定理和求三角函數值，作于點D，由勾股定理可得，再用三角形等面積法，求出的長，從而求出答案．【詳解】解：如圖，作于點D，每個小正方形邊長為1，，由三角形等面積法可得：，即，，，故選：B．7．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，三角函數等知識點，利用黃金比例表示各線段的長是解題的關鍵．設寬，根據比例表示長，證明，在中，利用勾股定理即可求得結果．【詳解】解：設寬為，∵寬與長的比是，∴長為：，由折疊的性質可知，，在和中，，∴，∴，∴，設，在中，，變形得：，，，∴，故選A．8．如圖，在中，，，點是的中點，將繞著點順時針旋轉至，連接，交于點，交于點，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質，全等三形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數的計算方法，掌握全等三角形的判定和性質，銳角三角函數的計算方法，合理構造三角形全等是解題的關鍵．過點作于點，過點作于點，可證，可得，再證，可得，設，則，，，，，在中，運用勾股定理可得，根據等面積法，可求出的值，在中，可求出的值，再根據正切值的計算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，過點作于點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵點是中點，∴，∴∴，∵，，∴，且，∴，∴，∴，∴，∴設，則，，∴，，在中，，∴，在中，，∵，∴，在中，，∴．故選：D．9．如圖，在矩形中，，，與的平分線相交于點．直線是邊AD的垂直平分線，連接AE交直線于點，則，線段PE的長為．【答案】【分析】本題考查了矩形性質、解三角形、相似三角形的判定和性質．過點E作，垂足為H，過點E作，垂足為N，可得、都是等腰直角三角形，從而求出，，進而可得，，再由正切定義和平行線分線段成比例定理求解．【詳解】解：過點E作，垂足為H，過點E作，垂足為N，∵在矩形中，，，，∴，，∴、都是等腰直角三角形，∴∴，∴，∴在中，，，又∵直線是邊AD的垂直平分線，∴，，∵，，∴，∴，即：，∴，故答案為：；．10．在中，，，，則的值是．【答案】【分析】本題考查求角的余弦值，根據余弦值等于角度鄰邊與斜邊的比值，進行計算即可．【詳解】解：∵，，，

∴；故答案為：．11．如圖，半徑為6的扇形中，，C，D分別是半徑的中點，連接，則圖中陰影部分面積為．（用含的式子表示）【答案】/【分析】本題考查了銳角三角函數，扇形面積；過點C作于E，求出，則可求得面積，再利用扇形面積減去面積，即得陰影部分面積．【詳解】解：如圖，過點C作于E，C，D分別是半徑的中點，，，，則；故；故答案為：．12．6個全等的小正方形如圖放置在中，則的值是．【答案】【分析】本題考查解直角三角形，設小正方形的邊長為，依題意可得，，，繼而得到，進而得，根據正切的定義可求出答案．解題的關鍵是準確識圖，熟練掌握正方形的性質、平行線的判定及性質和正切的定義是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵有個大小相同的小正方形，恰好如圖放置在中，設小正方形的邊長為，∴，，，∴，∴，∴．故答案為：．13．如圖，在矩形中，，，點在上，將矩形沿折疊，點恰好落在邊上的點處，那么．

【答案】/【分析】先根據矩形的性質得，，再根據折疊的性質得，，在中，利用勾股定理計算出，則，設，則，然后在中根據勾股定理得到，解方程即可得到x，進一步得到的長，再根據正切數的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，∵矩形沿直線折疊，頂點恰好落在邊上的處，∴，，∴在中，，∴，設，則∵在中，，∴，解得，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質和勾股定理，正切的定義．14．如圖，的頂點是正方形網格的格點，則的值等于．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，過點C作于D，先求出，再利用等面積法求出，利用勾股定理求出，最后根據余弦的定義求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點C作于D，由網格的特點和勾股定理可得，∵，∴，∴，∴，故答案為：．15．如圖，在中，，求的值．【答案】【分析】由勾股定理得，，根據，計算求解即可．【詳解】解：由勾股定理得，，∴，∴．【點睛】本題考查了勾股定理，正弦、余弦、正切．熟練掌握是解題的關鍵．16．如圖，在中，，點在邊上，，．

(1)求的長；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質與判定，三角形的外角的性質；（1）利用三角形外角的性質，結合等角對等邊即可解決問題．（2）過點作的垂線構造出直角三角形即可解決問題．【詳解】（1）解：，，又，．又，，．，，．（2）過