/4.3實數教材知識總結教材知識總結有理數與無理數有限小數和無限循環小數都稱為有理數.無限不循環小數又叫無理數.【點撥】（1）無理數的特征：無理數的小數部分位數無限.無理數的小數部分不循環，不能表示成分數的形式.（2）常見的無理數有三種形式：①含類.②看似循環而實質不循環的數，③帶有根號的數，但根號下的數字開方開不盡。（3）注意是一個有理數，因為它是一個分數，所有的分數都是有理數.=3.1428571428571……，切不可因為它的值接近，就說它是無理數.實數：有理數和無理數統稱為實數.1.實數的分類①按定義分：實數②按與0的大小關系分：實數2.實數與數軸上的點一一對應數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.3.無理線段的作法無理線段可以在數軸上表示出來，一般是把被開方數拆成m2+n2的形式，例如：①，特點是被開方數可化為一個完全平方數+1的形式；②，特點是被開方數可以化成兩個平方數的和的形式；③，特點是被開方數可以化成幾個平方數的和的形式.實數大小的比較對于數軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數總是比左邊的點表示的實數大.正實數大于0，負實數小于0，兩個負數，絕對值大的反而小.實數的運算有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適合于實數.當數從有理數擴充到實數以后，實數之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數不為0）、乘方運算，而且正數及0可以進行開平方運算，任意一個實數可以進行開立方運算.在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質同樣適用.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】把下列各數填入相應的大括號里．π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．(1)整數集：{…}；(2)有理數集：{…}；(3)無理數集：{…}．【例題2】計算：(1)；(2)求的值：．【例題3】已知：的立方根是，的算術平方根是3，是的整數部分．求的值．【例題4】一個數值轉換器，如圖所示：(1)當輸入的x為9時，輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值，并說明你的理由；(3)若輸出的y是，請寫出兩個滿足要求的x值：．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．下列各數中，比2大比3小的無理數是（

）A． B． C． D．2．在四個實數，0，，中，最小的實數是（

）A． B．0 C． D．3．在實數：3.14159，，1.010010001，，，中，無理數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．比較和的大小，下面結論正確的是A． B． C． D．無法比較5．已知實數的小數部分為a，的小數部分為b，則7a＋5b的值為（

）A． B．0.504 C．2﹣ D．6．已知x滿足條件，若x為整數，則滿足條件的整數x的個數為（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個二、填空題7．比較大小：__．8．若，且a、b為兩個連續的整數，c為這四個數，，，中的唯一有理數，則__________．9．對于任何實數a，可用[a]表示不超過a的最大整數，如[4]＝4，[]＝1．現對72進行如下操作：72[72]＝8[]＝2[2]＝1，類似地，只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是__________．10．將1、、、按如圖方式排列．若規定（m，n）表示第m排從左向右第n個數，則（5，4）與（12，3）表示的兩數之和是_____．三、解答題11．計算：（1）．（2）＋（）2﹣12．計算下列各題．(1)；(2)﹣16﹣4；(3)|﹣|﹣；(4)×﹣2（﹣π）013．已知5a-2的立方根是-3，2a+b﹣1的算術平方根是4，c是的整數部分，求3a+b+c的平方根．14．因為，即，所以的整數部分為1，小數部分為．類比以上推理解答下列問題：（1）求的整數部分和小數部分．（2）若m是的小數部分，n是的小數部分，且，求x的值．15．閱讀下面的文字后回答問題：我們知道無理數是無限不循環小數，例如，的小數部分我們無法全部出來，但可以用來表示．請解答下列問題：(1)的整數部分是，小數部分是；(2)若的小數部分是，的整數部分是，求的值．16．（1）已知與互為相反數，求的立方根．（2）已知，的平方根是，是的整數部分，求的算術平方根．17．數學課上，老師出了一道題：比較與的大小．小華的方法是：因為＞4，所以﹣2_____2，所以_____（填“＞”或“＜”）；小英的方法是：﹣＝，因為19＞42＝16，所以﹣4____0，所以____0，所以_____（填“＞”或“＜”）．（1）根據上述材料填空；（2）請從小華和小英的方法中選擇一種比較與的大小．18．數學閱讀是學生個體根據已有的知識經驗，通過閱讀數學材料建構數學意義和方法的學習活動，是學生主動獲取信息，汲取知識，發展數學思維，學習數學語言的途徑之一．請你先閱讀下面的材料，然后再根據要求解答提出的問題：問題情境：設a，b是有理數，且滿足，求的值．解：由題意得，∵a，b都是有理數，∴也是有理數，∵是無理數，∴，∴，∴解決問題：設x，y都是有理數，且滿足，求的值．/

4.3實數教材知識總結教材知識總結有理數與無理數有限小數和無限循環小數都稱為有理數.無限不循環小數又叫無理數.【點撥】（1）無理數的特征：無理數的小數部分位數無限.無理數的小數部分不循環，不能表示成分數的形式.（2）常見的無理數有三種形式：①含類.②看似循環而實質不循環的數，③帶有根號的數，但根號下的數字開方開不盡。（3）注意是一個有理數，因為它是一個分數，所有的分數都是有理數.=3.1428571428571……，切不可因為它的值接近，就說它是無理數.實數：有理數和無理數統稱為實數.1.實數的分類①按定義分：實數②按與0的大小關系分：實數2.實數與數軸上的點一一對應數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.3.無理線段的作法無理線段可以在數軸上表示出來，一般是把被開方數拆成m2+n2的形式，例如：①，特點是被開方數可化為一個完全平方數+1的形式；②，特點是被開方數可以化成兩個平方數的和的形式；③，特點是被開方數可以化成幾個平方數的和的形式.實數大小的比較對于數軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數總是比左邊的點表示的實數大.正實數大于0，負實數小于0，兩個負數，絕對值大的反而小.實數的運算有理數關于相反數和絕對值的意義同樣適合于實數.當數從有理數擴充到實數以后，實數之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數不為0）、乘方運算，而且正數及0可以進行開平方運算，任意一個實數可以進行開立方運算.在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算性質同樣適用.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】把下列各數填入相應的大括號里．π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．(1)整數集：{…}；(2)有理數集：{…}；(3)無理數集：{…}．【答案】(1)2，，(2)2，﹣，2.3，30%，，(3)π，||【分析】根據有理數與無理數概念，運用實數的分類求解即可．【解析】(1)解：∵||＝，＝2，＝﹣2，∴整數集：{2，，，…}故答案為：2，，；(2)解：有理數集：{2，﹣，2.3，30%，，，…}；故答案為：2，﹣，2.3，30%，，；(3)解：無理數集：{π，||，…}；故答案為：π，||．【例題2】計算：(1)；(2)求的值：．【答案】(1)3；(2)或【分析】（1）根據算術平方根和求一個數的立方根求解即可；（2）根據算術平方根的定義解方程即可．【解析】(1)原式；(2)根據題意得：，或．【例題3】已知：的立方根是，的算術平方根是3，是的整數部分．求的值．【答案】1【分析】利用立方根的意義、算術平方根的意義、無理數的估算方法，求出a、b、c的值，再代入中，求值即可．【解析】∵a+1的立方根是?2，2b?1的算術平方根是3，∴，解得：．∵，∴的整數部分為5，即c=5．∴．【例題4】一個數值轉換器，如圖所示：(1)當輸入的x為9時，輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請寫出所有滿足要求的x的值，并說明你的理由；(3)若輸出的y是，請寫出兩個滿足要求的x值：．【答案】(1)(2)0或1，理由見解析(3)7或49【分析】（1）根據算術平方根的定義進行計算即可；（2）根據0或1的算術平方根的特殊性得出答案；（3）可以考慮1次運算輸出結果，2次運算輸出結果，進而得出答案．【解析】(1)解：當x＝9時，9的算術平方根為，而3是有理數，3的算術平方根為，故答案為：；(2)0或1，理由如下：因為0的算術平方根是0，1的算術平方根是1，無論進行多少次運算都不可能是無理數；(3)若1次運算就是無理數，則輸入的數為7，若2次運算輸出的數是無理數，則輸入的數是49，故答案為：7或49．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．下列各數中，比2大比3小的無理數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把2和3化為根號的形式再進行比較即可得出答案．【解析】解：，，，故A選項錯誤；，故B選項正確；不是無理數，故C選項錯誤；，故D選項錯誤，故選：B．2．在四個實數，0，，中，最小的實數是（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根據實數比較大小的方法直接求解即可．【解析】解：，四個實數，0，，中，最小的實數是，故選：A．3．在實數：3.14159，，1.010010001，，，中，無理數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．【解析】解：，∴在實數：3.14159，，1.010010001…，π，中，無理數有1.010010001…，π，共2個．故選：B．4．比較和的大小，下面結論正確的是A． B． C． D．無法比較【答案】A【分析】先求出這兩個數的平方，然后再進行比較即可．【解析】解：，，∵12<18，，故選：．5．已知實數的小數部分為a，的小數部分為b，則7a＋5b的值為（

）A． B．0.504 C．2﹣ D．【答案】D【分析】根據題意確定的范圍，進而確定確定和的范圍，求得的值，即可求解．【解析】解：2＜＜3，∴7＜5+＜8，∴1＜＜，∴的整數部分是1，小數部分是a＝﹣1＝，同理求出的小數部分是b＝﹣1＝，∴7a+5b＝7×+5×＝，故選：D．6．已知x滿足條件，若x為整數，則滿足條件的整數x的個數為（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】C【分析】根據已知不等式，利用算術平方根定義判斷即可．【解析】解：∵∴∵x是整數∴x=4，5，6，7，8，9，10，共7個故選：C．二、填空題7．比較大小：__．【答案】【分析】首先求出、的平方，比較出它們的大小關系；然后根據：兩個正實數，平方大的，這個數也大，判斷出、的大小關系即可．【解析】解：，，，，故答案為：．8．若，且a、b為兩個連續的整數，c為這四個數，，，中的唯一有理數，則__________．【答案】4【分析】根據題意分別求出a，b，c的值，再代入求值即可．【解析】解：∵，且a、b為兩個連續的整數，∴a=3，b=4，∵，，，中有理數是，∴c=，則3×4×=4，故答案為：4．9．對于任何實數a，可用[a]表示不超過a的最大整數，如[4]＝4，[]＝1．現對72進行如下操作：72[72]＝8[]＝2[2]＝1，類似地，只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是__________．【答案】【分析】根據可用[a]表示不超過a的最大整數，反推回去每次求最大整數可得答案．【解析】∵表示不超過a的最大整數∴設，則a的最大值為∵第三次結果為1，∴此時最大∴第二次結果為3∵∴第一次最大結果為15∵，∴只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是255；故答案為：255．10．將1、、、按如圖方式排列．若規定（m，n）表示第m排從左向右第n個數，則（5，4）與（12，3）表示的兩數之和是_____．【答案】【分析】根據數的排列方法可知，第一排：1個數，第二排2個數．第三排3個數，第四排4個數，…第m﹣1排有（m﹣1）個數，從第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）個數，根據數的排列方法，每四個數一個輪回，根據題目意思找出第m排第n個數到底是哪個數后再計算．【解析】解：由圖中數的排列規律知，第一排：1個數，第二排2個數．第三排3個數，第四排4個數，…第（m﹣1）排有（m﹣1）個數，從第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）個數，且每四個數一個輪回，（5，4）表示第5排從左向右第4個數是，∵前11排共有11×（11+1）＝66（個）．∴（12，3）表示第12排從左向右第3個數是第69個數，每4個數一個循環，∴69÷4＝17……1，∴（12，3）表示的數是1，∴兩數之和是1．故答案為：1．三、解答題11．計算：（1）．（2）＋（）2﹣【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據立方根、算術平方根和零指數冪的意義化簡，再根據有理數的運算法則計算；（2）先根據立方根和算術平方根的意義化簡，再根據有理數的運算法則計算．【解析】（1）原式，；（2）原式，．12．計算下列各題．(1)；(2)﹣16﹣4；(3)|﹣|﹣；(4)×﹣2（﹣π）0【答案】(1)0.2；(2)8；(3)；(4)1【分析】（1）根據算術平方根進行計算；（2）根據算術平方根與立方根進行計算；（3）根據算術平方根與立方根進行計算；（4）根據算術平方根與立方根，零指數冪進行計算；【解析】(1)原式＝0.4+0.7﹣0.9＝0.2；(2)原式＝﹣16×0.5﹣4×（﹣4）＝﹣8+16＝8；(3)原式＝＝；(4)原式＝0.3×10﹣2＝3﹣2＝1．13．已知5a-2的立方根是-3，2a+b﹣1的算術平方根是4，c是的整數部分，求3a+b+c的平方根．【答案】±．【分析】利用立方根的意義、算術平方根的意義、組成二元一次方程組，無理數的估算方法，求出a、b、c的值，代入代數式求出值后，進一步求得平方根即可．【解析】解：∵5a-2的立方根是-3，2a＋b－1的算術平方根是4，∴，∴，∵32＜13＜42，∴3＜＜4，∵c是的整數部分，∴c＝3，∴3a+b＋c＝（-5）×3+27+3=-15+30=15，∴3a+b＋c的平方根是±．14．因為，即，所以的整數部分為1，小數部分為．類比以上推理解答下列問題：（1）求的整數部分和小數部分．（2）若m是的小數部分，n是的小數部分，且，求x的值．【答案】（1）的整數部分為3，小數部分為；（2）-2或0【分析】（1）根據的大概范圍，得出的整數部分，整體減去整數部分，即為的小數部分；（2）根據是在3和4之間，所以，可得出的小數部分m；同理得出可得出的小數部分n，將mn代入方程求解即可．【解析】（1）∵，即，∴的整數部分為3，小數部分為．

（2）∵，∴，，∴整數部分是7，整數部分是14，∴m＝，n＝．

∵（x+1）2＝m+n＝1，∴x+1=±1．

解得x＝﹣2或x＝0．15．閱讀下面的文字后回答問題：我們知道無理數是無限不循環小數，例如，的小數部分我們無法全部出來，但可以用來表示．請解答下列問題：(1)的整數部分是，小數部分是；(2)若的小數部分是，的整數部分是，求的值．【答案】(1)4，；(2)1【分析】（1）用夾逼法估算無理數的大小即可得出答案；（2）用夾逼法估算無理數的大小得出，的值，代入代數式求值即可；【解析】(1)解：，，的整數部分是4，小數部分是，故答案為：4，；(2)，，，，，，．16．（1）已知與互為相反數，求的立方根．（2）已知，的平方根是，是的整數部分，求的算術平方根．【答案】（