/7.3-7.4特殊角的三角函數(shù)、由三角函數(shù)值求銳角【推本溯源】根據(jù)三角形的三邊比例求出30°、45°、60°的三角函數(shù)值我們在初二上學(xué)期的時(shí)候，結(jié)合30°對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半，可以得出來最短的直角邊與斜邊的比例為，學(xué)習(xí)了勾股定理之后知道了三邊的平方為1+3=4，而三邊長比例表示到了實(shí)數(shù)的時(shí)候才可以表示出同理可知，等腰直角三角形的比例為.因此可以根據(jù)三角函數(shù)的邊比例得出下列各角的三角函數(shù)值30°30°45°60°sinαcosαtanα【解惑】例1：已知∠A為銳角，且tanA＝，則∠A度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60° D．30°或60°例2：的值等于(

)A． B． C． D．1例3：在中，，若，則的度數(shù)是．例4：計(jì)算：例5：計(jì)算：．【摩拳擦掌】1．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：，你猜想銳角α的度數(shù)應(yīng)是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東佛山·九年級校考開學(xué)考試）下列三角函數(shù)中，值為的是（）A． B． C． D．3．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的值（

）A．0 B． C．1 D．4．（2022秋·甘肅蘭州·九年級蘭州十一中校考期末）的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·甘肅平?jīng)觥ば？既＃┯?jì)算．6．（2023·山東威海·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．7．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）填空：；；，．8．（2023春·湖北黃石·九年級校考階段練習(xí)）計(jì)算：．9．（2023秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：10．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）按要求完成下列各小題．(1)計(jì)算：；(2)解方程：．11．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．【知不足】1．（2022秋·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點(diǎn)D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．42．（2023春·廣東佛山·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，，若的三邊都擴(kuò)大3倍，則的值（）A．放大3倍 B．縮小3倍 C．不變 D．無法確定3．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）已知一個(gè)正多邊形的邊心距與邊長之比為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．7 D．84．（2023·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第二十九中學(xué)校考三模）計(jì)算：的結(jié)果是．5.（2023春·山東威海·九年級統(tǒng)考期中）計(jì)算：．6．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期末）計(jì)算：7．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

8．（2023秋·河南省直轄縣級單位·九年級校聯(lián)考期末）（1）計(jì)算：；（2）解方程：．9．（2023·江蘇宿遷·校聯(lián)考二模）計(jì)算：(1)；(2)．10．（2023秋·河北張家口·九年級張家口東方中學(xué)校考期末）計(jì)算：．11．（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）計(jì)算：．【一覽眾山小】1．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖是一個(gè)正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（）

A． B．4 C．2 D．2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為與關(guān)于直線對稱，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)．若，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·山西呂梁·九年級校考階段練習(xí)）如圖，菱形中，，經(jīng)過、、三點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，點(diǎn)在的延長線上，為的切線，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．4．（2023·山東日照·校考三模）如圖，點(diǎn)A、B、C在上，且AB經(jīng)過點(diǎn)O，，，動點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DEAB，交折線于點(diǎn)E，設(shè)，的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

B．

C．

D．

5．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）如圖，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）．若，平分，則的值為（）

A． B． C． D．6．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，以矩形的頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)M，N再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；作射線，交于點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F，若，．（1）；（2）的長為．

7．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）如圖，過原點(diǎn)，與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，已知，則弧的長為．8．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，，則四邊形的面積是．

9．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，點(diǎn)E在的延長線上，的延長線交于點(diǎn)F，，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．10．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，平分，的平分線交于點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)，交于另一點(diǎn)．

(1)求證：是的切線．(2)若，，求陰影部分的面積．11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是斜邊上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．12．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）在正方形中，點(diǎn)H在對角線上（與點(diǎn)B、D不重合），連接，將繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與邊（或延長線）交于點(diǎn)P，作交射線于點(diǎn)Q．

(1)如圖1：①依題意補(bǔ)全圖1；②判斷與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2)若正方形的邊長為，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù)．13．（2022秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）解方程：

（2）14．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：

7.3-7.4特殊角的三角函數(shù)、由三角函數(shù)值求銳角【推本溯源】根據(jù)三角形的三邊比例求出30°、45°、60°的三角函數(shù)值我們在初二上學(xué)期軸對稱圖形的時(shí)候，結(jié)合30°對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半，可以得出來最短的直角邊與斜邊的比例為1：2，學(xué)習(xí)了勾股定理之后知道了三邊的平方為1+3=4，而三邊長比例表示到了實(shí)數(shù)的時(shí)候才可以表示出.同理可知，等腰直角三角形的比例為.因此可以根據(jù)三角函數(shù)的邊比例得出下列各角的三角函數(shù)值30°30°45°60°sinαcosαtanα1【解惑】例1：已知∠A為銳角，且tanA＝，則∠A度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60° D．30°或60°【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的正切值求解．【詳解】解：∵tan60°=，∴由已知可得：∠A=60°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.例2：的值等于(

)A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值．牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．例3：在中，，若，則的度數(shù)是．【答案】/60度【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)，，確定，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．例4：計(jì)算：【答案】【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)代入求解即可得到答案；【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角三角函數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角三角函數(shù)值例5：計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，有理數(shù)的乘方，化簡絕對值，二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）李紅同學(xué)遇到了這樣一道題：，你猜想銳角α的度數(shù)應(yīng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：∴∴∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·九年級校考開學(xué)考試）下列三角函數(shù)中，值為的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．由于，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．由于，因此選項(xiàng)B不符合題意；C．，即，因此選項(xiàng)C不符合題意；D．由于，因此選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）計(jì)算的值（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值．4．（2022秋·甘肅蘭州·九年級蘭州十一中校考期末）的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可求解．【詳解】解：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5．（2023·甘肅平?jīng)觥ば？既＃┯?jì)算．【答案】【分析】先分別計(jì)算絕對值，特殊角的余弦值，利用二次根式的性質(zhì)化簡求值，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，特殊角的余弦值，利用二次根式的性質(zhì)化簡．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．6．（2023·山東威海·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．【答案】/【分析】根據(jù)特殊三角函數(shù)值及負(fù)指數(shù)冪可進(jìn)行求解．【詳解】解：原式；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)值及負(fù)指數(shù)冪，熟練掌握特殊三角函數(shù)值及負(fù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）填空：；；，．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解．【詳解】解：；；；．故答案為：；1；；．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·湖北黃石·九年級校考階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：【答案】【分析】利用平方差公式對算式進(jìn)行處理并將相應(yīng)的特殊角的三角函數(shù)值代入算式，按照相關(guān)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次根式的運(yùn)算和特殊角的三角函數(shù)值．在進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的時(shí)候，可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用乘法公式簡化運(yùn)算．不注意運(yùn)算順序是進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的過程中容易出錯的地方．特殊角三角函數(shù)值是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容也是常考知識點(diǎn)，需要重點(diǎn)記憶．10．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）按要求完成下列各小題．(1)計(jì)算：；(2)解方程：．【答案】(1)；(2)，．【分析】（1）先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行加減運(yùn)算；（2）公式法解方程即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：，∴，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算，解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，公式法解一元二次方程．11．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先計(jì)算二次根式的乘除，然后再化簡合并同類二次根式即可；（2）首先分別代入特殊角的三角函數(shù)值，然后再計(jì)算二次根式的乘法，最后化簡合并同類二次根式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則以及特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【知不足】1．（2022秋·陜西西安·九年級校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點(diǎn)D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根據(jù)，得，根據(jù)同底等高可以得到，即可求得k的值．【詳解】解：連結(jié)

，軸，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．2．（2023春·廣東佛山·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，，若的三邊都擴(kuò)大3倍，則的值（）A．放大3倍 B．縮小3倍 C．不變 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)題意可知變化后的三角形與原三角形相似即可解答．【詳解】解：在中，，的三邊都擴(kuò)大3倍，變化后的三角形與原三角形相似，相似三角形的對應(yīng)角相等，的大小沒有發(fā)生變化，的值不變．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意得到變化后的三角形與原三角形相似是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）已知一個(gè)正多邊形的邊心距與邊長之比為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】如圖，A為正多邊形的中心，為正多邊形的邊，，為正多邊形的半徑，為正多邊形的邊心距，由可得，可得，而，可得為等邊三角形，從而可得答案．【詳解】解：如圖，A為正多邊形的中心，為正多邊形的邊，，為正多邊形的半徑，為正多邊形的邊心距，

∴，，，∴，∴，即，∴，∴，而，∴為等邊三角形，∴，∴多邊形的邊數(shù)為：，故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第二十九中學(xué)校考三模）計(jì)算：的結(jié)果是．【答案】/【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、角的余弦值、零次冪以及開立方的知識計(jì)算每一項(xiàng)，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可．【詳解】解：===，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含特殊角的三角函數(shù)值的實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，牢記角的余弦值是解答本題的關(guān)鍵．5.（2023春·山東威海·九年級統(tǒng)考期中）計(jì)算：．【答案】1【分析】原式利用絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期末）計(jì)算：【答案】1【分析】分別進(jìn)行特殊角的三角函數(shù)運(yùn)算、零指數(shù)冪運(yùn)算、絕對值運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算即可解答．【詳解】解：原式，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對值性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵．7．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）

【答案】【分析】連接，過作，可求，從而可得，求出和，即可求解．【詳解】解：連接，過作，，

四邊形是矩形，，，，，∵以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，，，，，，，；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，掌握相關(guān)的性質(zhì)及公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·河南省直轄縣級單位·九年級校聯(lián)考期末）（1）計(jì)算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】（1）代入特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：（1）；（2）原方程變?yōu)椋嗷颍獾茫军c(diǎn)睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，解一元二次方程，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值和一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇宿遷·校聯(lián)考二模）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡即可得出答案；（2）直接利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則及合并同類項(xiàng)計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪的性質(zhì)，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則等知識點(diǎn)，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·河北張家口·九年級張家口東方中學(xué)校考期末）計(jì)算：．【答案】2【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可.【詳解】解：.【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角是三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.11．（2023年遼寧省沈陽市中考數(shù)學(xué)真題）計(jì)算：．【答案】10【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確計(jì)算．【一覽眾山小】1．（2023·江蘇南京·校考三模）如圖是一個(gè)正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（）

A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】由主視圖和左視圖可得：，，，連接，則有，可求，即可求解．【詳解】解：如圖，

由主視圖和左視圖可得：，，，，，，，連接，則有，為等邊三角形，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，正六邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，掌握三視圖長寬高與原幾何體之間的關(guān)系及正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為與關(guān)于直線對稱，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)．若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)B作軸，根據(jù)題意得出，再由特殊角的三角函數(shù)及等腰三角形的判定和性質(zhì)得出，，利用各角之間的關(guān)系，確定，B，D三點(diǎn)共線，結(jié)合圖形確定，然后代入反比例函數(shù)解析式即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作軸，

∵，∴，∴，，∴，，∴，，∵與關(guān)于直線對稱，∴，∴，∴，B，D三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∴，∴，將其代入得：，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)及反比例函數(shù)的確定，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·山西呂梁·九年級校考階段練習(xí)）如圖，菱形中，，經(jīng)過、、三點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧，點(diǎn)在的延長線上，為的切線，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，過點(diǎn)B作，根據(jù)菱形的性質(zhì)，易證和是等邊三角形，利用圓的切線的性質(zhì)，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，求得，再利用等邊三角形三線合一的性質(zhì)以及勾股定理，求得，然后利用扇形的面積公式，分別求出和，即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)B作，四邊形是菱形，，，，，，，，和是等邊三角形，為的切線，，，，，，，，由勾股定理得：，，，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，扇形面積公式，靈活運(yùn)用相關(guān)知識點(diǎn)解決問題是解題關(guān)鍵．4．（2023·山東日照·校考三模）如圖，點(diǎn)A、B、C在上，且AB經(jīng)過點(diǎn)O，，，動點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DEAB，交折線于點(diǎn)E，設(shè)，的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】可求，①點(diǎn)在上時(shí)，可求，從而可求面積解析式；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，可求，從而可求面積解析式；進(jìn)而可求解．【詳解】經(jīng)過點(diǎn)，，，，①如圖，點(diǎn)在上時(shí)，

，，，，，；圖象為過原點(diǎn)的開口向上的一段拋物線；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接

，，，；圖象為一段開口向下的拋物線；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，二次函數(shù)在動點(diǎn)問題與面積問題中的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)的定義，求出點(diǎn)在上和點(diǎn)在上的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）如圖，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）．若，平分，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明，根據(jù)面積法或相似三角形或三角函數(shù)求得，表示出，進(jìn)而根據(jù)列出方程，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，

設(shè)，，∴，，，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，同理可得，，∴，如圖所示，作于點(diǎn)，

∵，∴，，∵，∴，設(shè),∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意，舍去），∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比函數(shù)的綜合，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)的計(jì)算方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．6．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，以矩形的頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)M，N再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；作射線，交于點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F，若，．（1）；（2）的長為．

【答案】/0.8【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)即可解答；（2）根據(jù)題意可得為的角平分線，即可得，求出的長度，從而可得的長，再證明，即可得到的比值，即可解答．【詳解】解：（1）四邊形是矩形，，，，在中，，，故答案為：30；（2）由題意可得為的角平分線，，在中，，在中，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，能利用相似三角形的性質(zhì)得到的比值是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）如圖，過原點(diǎn)，與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，已知，則弧的長為．

【答案】【分析】如圖，連接，，過作于，由，可得，，，可得，，，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，，過作于，

∵，∴，，，∴，，∴，，∴的長為；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的求解是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，，則四邊形的面積是．

【答案】【分析】連接，可得，即平分，在上截取，連接，證明，進(jìn)而可得為等腰直角三角形，則四邊形的面積，代入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

矩形中，，，，，，，，，，，，，在上截取，連接，則，∵，∴，∴，，，，，，四邊形的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為．9．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，點(diǎn)E在的延長線上，的延長線交于點(diǎn)F，，．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)的長為【分析】（1）連接，，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理證明．（2）運(yùn)用勾股定理，三角函數(shù)，計(jì)算，圓的半徑，套用弧長公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，，

∵四邊形內(nèi)接于，∴．∵，∴．∴．∵，，∴，．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：在中，設(shè)，∵，，∴．由勾股定理，得．解得．∴．∵，∴．∴的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，切線的證明，勾股定理，余弦函數(shù)，弧長公式，熟練掌握切線的證明，勾股定理，余弦函數(shù)，弧長公式是解題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，平分，的平分線交于點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)，交于另一點(diǎn)．

(1)求證：是的切線．(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)等邊三角形的選擇得到，求得，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，

∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，，

∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確地做出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是斜邊上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，由角平分線的定義可得，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，從而可得，再根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；（2）連接，，由，，可得，，再由直角三角形的性質(zhì)可得，再由圓周角定理可得，根據(jù)角平分線的定義可得，利用銳角三角函數(shù)求得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，證明是等邊三角形，可得，從而證明是等邊三角形，可得垂直平分，再由，可得，從而可得，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，是的半徑，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴于點(diǎn)D，又∵為的半徑，∴是的切線．（2）解：連接，，∵在中，，，∴，，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，在中，，∴，∴