/3.1勾股定理教材知識總結(jié)教材知識總結(jié)勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么．（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的．（3）理解勾股定理的一些變式：，，．勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以．勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖①，是兩個(gè)全等的直角三角形硬紙板（直角邊分別為a，b，斜邊為c）．(1)用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖②的圖形，請利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．(2)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，請運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能驗(yàn)證勾股定理的圖形，畫出拼后的圖形并利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．【例題2】將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【例題3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC移動至點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．(1)求BC的長；(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得點(diǎn)P到邊AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【例題4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是邊AB的垂直平分線，連接BE．(1)若∠A＝35°，則∠CBE＝°；(2)若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面積．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，則S2＝（）A．6 B． C．11 D．242．在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長是13，一條直角邊的長為5，那么這個(gè)直角三角形的面積是（

）A．30 B．40 C．50 D．603．如圖，在中，，D是BC的中點(diǎn)，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，連接CE．若，，則BE的長為（

）A．3 B． C．4 D．4．已知直角三角形的兩條邊長分別是3和4，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長為（

）A．5 B．25 C． D．5或5．如圖，在中，．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連接，則的長為（

）A． B．5 C． D．66．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D，E為BD的中點(diǎn)，若BC＝2，則CE的長為（

）A． B．2 C． D．3二、填空題7．若直角三角形的兩邊長分別為6和8，則其第三邊的長為______．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D為BC邊上一點(diǎn)．將△ABD沿AD折疊，若點(diǎn)B恰好落在線段AC的延長線上點(diǎn)E處，則DE的長為_____．9．如圖，線段AB的長為8，C為AB上一動點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE長的最小值是______．10．如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則（a+b）2的值為______．三、解答題11．如圖，在中，，是斜邊上的中線，，求直角邊的長．12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于點(diǎn)D．求：(1)的長；(2)的長．13．如圖，在ΔABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．（1）求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上：（2）若AB＝AC＝10，BC＝12，則OA＝．14．如圖，在中，，垂足為D，點(diǎn)E是線段AD上的點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)若，，求BD的長．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請利用無刻度的直尺和圓規(guī)在線段BC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到邊AB的距離等于CD．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AB＝15，BC＝12，求AC和CD的長．16．中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，請你利用這個(gè)圖形解決下列問題：(1)試說明a2+b2=c2；(2)如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是4，求(a+b)2的值．17．如圖，已知△ABC是銳角三角形（AC＜AB）(1)①請?jiān)趫D1中用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點(diǎn)O，使O到△ABC三邊距離相等；（不寫作法，保留作圖痕跡）②在①的條件下，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，則△ABC中BC邊上的高＝______，O到△ABC三邊距離＝______．(2)在△ABC中，若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）且滿足PC≤PB≤PA，請?jiān)趫D2中用圓規(guī)和無刻度的直尺作出所有符合條件的點(diǎn)P組成的區(qū)域（用陰影表示）．（不寫作法，保留作圖痕跡）18．【理解概念】當(dāng)一個(gè)凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個(gè)三角形．若其中有一個(gè)三角形是等腰直角三角形，則把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“等腰直角線”，把這個(gè)四邊形叫做“等腰直角四邊形”，當(dāng)一個(gè)凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個(gè)三角形．若其中一個(gè)三角形是等腰直角三角形，另一個(gè)三角形是等腰三角形，則把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“真等腰直角線”，把這個(gè)四邊形叫做“真等腰直角四邊形”．(1)【鞏固新知】如圖①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，則四邊形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四邊形．(2)【深度理解】在圖①中，如果四邊形ABCD是真等腰直角四邊形，且∠BDC=90°，對角線BD是這個(gè)四邊形的真等腰直角線，當(dāng)AD=4，AB=3時(shí)，則邊BC的長是______．(3)如圖②，四邊形ABCD與四邊形ABDE都是等腰直角四邊形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，對角線BD、AD分別是這兩個(gè)四邊形的等腰直角線．求證：AC=BE．(4)【拓展提高】在圖3中，已知：四邊形ABCD是等腰直角四邊形，對角線BD是這個(gè)四邊形的等腰直角線．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一條直角邊，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的長．/

3.1勾股定理教材知識總結(jié)教材知識總結(jié)勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么．（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的．（3）理解勾股定理的一些變式：，，．勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．，所以．勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖①，是兩個(gè)全等的直角三角形硬紙板（直角邊分別為a，b，斜邊為c）．(1)用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖②的圖形，請利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．(2)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，請運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能驗(yàn)證勾股定理的圖形，畫出拼后的圖形并利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)梯形的面積公式即可求解；（2）如圖所示，用圖①的4個(gè)直角三角形，拼成正方形，根據(jù)正方形的面積的兩種計(jì)算方式即可求解．【解析】(1)解：∵四邊形ABCD是梯形，∴梯形的面積＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；(2)如圖所示，可以證明a2+b2＝c2．驗(yàn)證：大正方形的面積＝4×ab+（b﹣a）2大正方形的面積＝c2，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2．【例題2】將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【答案】見解析【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根據(jù)S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化簡，即可證明結(jié)論成立．【解析】證明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，∴，∴，∴a2+b2＝c2．【例題3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC移動至點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．(1)求BC的長；(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得點(diǎn)P到邊AB的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，由題意得，則，證明Rt△ADP≌Rt△ACP從而求出，在Rt△PBD中由，得到，由此求解即可．【解析】(1)解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴；(2)解：如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，由題意得，則，在Rt△ADP和Rt△ACP中，，∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），∴，∴，在Rt△PBD中，，∴，解得．【例題4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直線DE是邊AB的垂直平分線，連接BE．(1)若∠A＝35°，則∠CBE＝°；(2)若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面積．【答案】(1)20；(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，進(jìn)而得到∠EBA＝∠A＝35°，計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】(1)解：∵∠C＝90°，∠A＝35°，∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝35°，∴∠CBE＝∠ABC﹣EBA＝55°﹣35°＝20°，故答案為：20；(2)解：∵EB＝EA＝3，EC＝1，∴BC＝，AC＝AE＋EC＝4，∴△ABC的面積＝×AC×BC＝4．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，則S2＝（）A．6 B． C．11 D．24【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理即可解答本題．【解析】解：∵、、∴在中根據(jù)勾股定理有：∴故選C2．在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長是13，一條直角邊的長為5，那么這個(gè)直角三角形的面積是（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理先求出另外一條直角邊，然后由三角形面積公式求解即可得．【解析】解：根據(jù)勾股定理可得：另一條直角邊長為：，∴，故選：A．3．如圖，在中，，D是BC的中點(diǎn)，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，連接CE．若，，則BE的長為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】D【分析】勾股定理求出CE長，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE即可．【解析】解：∵，，，∴，∵，D是BC的中點(diǎn)，垂足為D，∴BE=CE，故選：D．4．已知直角三角形的兩條邊長分別是3和4，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長為（

）A．5 B．25 C． D．5或【答案】D【分析】分情況討論：①當(dāng)邊長為4的邊作斜邊時(shí)；②當(dāng)邊長為4的邊作直角邊時(shí)，利用勾股定理分別求解即可．【解析】解：當(dāng)邊長為4的邊作斜邊時(shí)，第三條邊的長度為；當(dāng)邊長為4的邊作直角邊時(shí)，第三條邊的長度為；綜上分析可知，這個(gè)三角形的第三條邊的長為5或，故D正確．故選：D．5．如圖，在中，．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連接，則的長為（

）A． B．5 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并利用勾股定理進(jìn)行求解即可；【解析】解：∵∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∴，∴，故選：C．6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交邊AC于點(diǎn)D，E為BD的中點(diǎn)，若BC＝2，則CE的長為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】首先可求得∠CBD＝∠DBA＝30°，設(shè)CD＝x，則BD＝2CD＝2x，根據(jù)勾股定理即可求得BD的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求得．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，設(shè)CD＝x，∴BD＝2CD＝2x，在中，，得，得，解得x=2(負(fù)值舍去)，故CD=2，BD=4，∵E點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，∴．故選：B．二、填空題7．若直角三角形的兩邊長分別為6和8，則其第三邊的長為______．【答案】10或【分析】設(shè)第三邊長為a，再根據(jù)a為斜邊或8為斜邊兩種情況進(jìn)行分類討論．【解析】解：設(shè)第三邊長為a，當(dāng)a為斜邊時(shí)，a==10；當(dāng)8為斜邊時(shí)，a==2；綜上所述，第三邊的長為10或2．故答案為：10或2．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D為BC邊上一點(diǎn)．將△ABD沿AD折疊，若點(diǎn)B恰好落在線段AC的延長線上點(diǎn)E處，則DE的長為_____．【答案】【分析】先由折疊的性質(zhì)得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，從而得到CE=8，設(shè)DE=x，則DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：由折疊的性質(zhì)可知，AE=AB=13，BD=ED，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴，∠ECD=90°，∴CE=AE－AC=8，設(shè)DE=x，則DC=BC－BD=12－x，在Rt△ECD中，，∴，解得，∴，故答案為：．9．如圖，線段AB的長為8，C為AB上一動點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)直角三角形△ACD和△BCE，其中∠A＝30°，∠B＝60°，那么DE長的最小值是______．【答案】【分析】設(shè)AC=x，BC=8-x，由含30角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得CDACx，CE=(8-x)，再由勾股定理和配方法即可求解．【解析】解：設(shè)AC＝x，BC＝8﹣x，∵△ACD為直角三角形，∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴CDACx，∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，∵△BCE為直角三角形，∠BEC＝90°，∠B＝60°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝30°，∴BEBC=，∴CE（8﹣x），∵∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝90°，∴DE2＝CD2+CE2＝（x）2+[（8﹣x）]2＝x2﹣12x+48＝（x﹣6）2+12，∵（x-6）2≥0,∴當(dāng)x＝6時(shí)，DE2取最小值為12，此時(shí)DE的最小值為=2，故答案為：2．10．如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為60，小正方形的面積為10，則（a+b）2的值為______．【答案】110【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長為（b﹣a），再根據(jù)四個(gè)直角三角形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．【解析】解：由圖可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50，∴2ab＝50，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110．故答案為：110三、解答題11．如圖，在中，，是斜邊上的中線，，求直角邊的長．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解析】解：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴AB＝2CD＝2，由勾股定理得，BC＝．12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于點(diǎn)D．求：(1)的長；(2)的長．【答案】(1)CD的長是12；(2)BD的長為9．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB的長，根據(jù)三角形的面積公式，代入計(jì)算即可求出CD的長；（2）在Rt△BCD中，直接根據(jù)勾股定理可求出BD的長．【解析】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，由勾股定理可得，AB=AC2∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴AC?BC=AB?CD，∵AC=20，BC=15，AB=25，∴20×15=25CD，∴CD=12，∴CD的長是12；(2)解：∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠CDB=90°，在Rt△BCD中，∠CDB=90°，BC=15，CD=12，由勾股定理可得，BD==9，∴BD的長為9．13．如圖，在ΔABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O．（1）求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上：（2）若AB＝AC＝10，BC＝12，則OA＝．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）連接AO，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO＝BO，AO＝CO，得到BO＝CO，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理證明結(jié)論．（2）根據(jù)題意作圖，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：（1）證明：連接AO，∵l1是AB的垂直平分線，∴AO＝BO，∵l2是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，∴BO＝CO，∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上．（2）如圖，根據(jù)題意作圖，故AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=∴AD=設(shè)BO＝x，則AO=x，OD=8-x∵BO2=OD2+BD2即x2=（8-x）2+62解得x=∴AO=故答案為：．14．如圖，在中，，垂足為D，點(diǎn)E是線段AD上的點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)若，，求BD的長．【答案】(1)見解析；(2)BD=12．【分析】（1）利用SAS即可證明△BDE≌△ADC，由全等三角形的性質(zhì)可證明∠EBD=∠CAD；（2）利用勾股定理易求AD的長，再由DE=DC，即可求出BD的長．【解析】(1)證明：∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90°．∵AD=BD，DE=DC，∴在△BDE和△ADC中，∴△BDE≌△ADC，∴∠EBD=∠CAD；(2)解：∵∠ADC=90°，AC=13，DE=5即DC=5，∴AD==12，∵△BDE≌△ADC，∴BD=AD=12．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）請利用無刻度的直尺和圓規(guī)在線段BC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到邊AB的距離等于CD．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AB＝15，BC＝12，求AC和CD的長．【答案】(1)見解析;(2)9;4.5【分析】（1）作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，即可；（2）由（1）可得DC=DE，證明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC=AE，根據(jù)勾股定理可得AC的長，可得AE=AC=9，BE=AB-AE=15-9=6，BD=BC-CD=12-DE，再利用勾股定理可得DE的長，進(jìn)而可得CD的長．【解析】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求；（2）由（1）可知：DC=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，在Rt△ABC中，∠C=90°．AB=15，BC=12，根據(jù)勾股定理，得AC=，∴AE=AC=9，∴BE=AB-AE=15-9=6，∴BD=BC-CD=12-DE，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理，得BD2=BE2+DE2，∴（12-DE）2=62+DE2，解得DE=4.5．∴CD=DE=4.5．16．中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，請你利用這個(gè)圖形解決下列問題：(1)試說明a2+b2=c2；(2)如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是4，求(a+b)2的值．【答案】(1)證明見解析；(2)20【分析】（1）根據(jù)大正方形面積=小正方形面積+四個(gè)直角三角形面積計(jì)算即可；（2）由圖可得到（b-a）2和2ab的值，代入（a+b）2=（b-a）2+4ab，即可得到結(jié)論．【解析】(1)證明：∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為2ab，小正方形面積為，∴∴；(2)解：由圖可知，，，∴，∴∴的值為20．17．如圖，已知△ABC是銳角三角形（AC＜AB）(1)①請?jiān)趫D1中用圓規(guī)和無刻度的直尺作出點(diǎn)O，使O到△ABC三邊距離相等；（不寫作法，保留作圖痕跡）②在①的條件下，若AB＝15，AC＝13，BC＝14，則△ABC中BC邊上的高＝______，O到△ABC三邊距離＝______．(2)在△ABC中，若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）且滿足PC≤PB≤PA，請?jiān)趫D2中用圓規(guī)和無刻度的直尺作出所有符合條件的點(diǎn)P組成的區(qū)域（用陰影表示）．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)①見解析；②12，4；(2)見解析【分析】（1）①作兩內(nèi)角的平分線，得交點(diǎn)O；②作邊上的高，設(shè)，則，在中，，在中，根據(jù)勾股定理建立方程，求得，進(jìn)而勾股定理求得，根據(jù)等面積法求O到△ABC三邊距離即可；（2）作的垂直平分線，根據(jù)滿足PC≤PB≤PA，由PB≤PA，點(diǎn)點(diǎn)離點(diǎn)更近，在的垂直平分線靠進(jìn)點(diǎn)部分，由PC≤PB，點(diǎn)點(diǎn)離點(diǎn)更近，在垂直平分線靠進(jìn)點(diǎn)的部分，以及與圍成部分，包括邊界．【解析】(1)①如圖所示，即為所求；②如圖所示，作邊上的高，AB＝15，AC＝13，BC＝14，設(shè)，則在中，在中，即解得由①可知到三邊距離相等，設(shè)到三邊距離為，則即解得故答案為：(2)滿足PC≤PB≤PA的點(diǎn)P組成的區(qū)域（用陰影表示），如圖所示．18．【理解概念】當(dāng)一個(gè)凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個(gè)三角形．若其中有一個(gè)三角形是等腰直角三角形，則把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“等腰直角線”，把這個(gè)四邊形叫做“等腰直角四邊形”，當(dāng)一個(gè)凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個(gè)三角形．若其中一個(gè)三角形是等腰直角三角形，另一個(gè)三角形是等腰三角形，則把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“真等腰直角線”，把這個(gè)四邊形叫做“真等腰直角四邊形”．(1)【鞏固新知】如圖①，若AD=3，AD=DB=DC，B