第02講：指、對、冪函數高頻考點突破【考點梳理】考點一：分數指數冪的意義分數指數冪正分數指數冪規定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負分數指數冪規定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分數指數冪0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪無意義(2)有理數指數冪的運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.考點二．指數函數的圖象與性質y＝axa>10<a<1圖象定義域(1)R值域(2)(0，＋∞)性質(3)過定點(0,1)(4)當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1(5)當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函數(7)在(－∞，＋∞)上是減函數考點三：.指數函數的圖象與底數大小的比較如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大．考點四：對數一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．考點五：對數的性質與運算法則(1)對數的運算法則如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(2)對數的性質①＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)對數的換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．考點六：對數函數的圖象與性質y=logaxa>10<a<1圖象定義域(1)(0，＋∞)值域(2)R性質(3)過定點(1,0)(4)當x>1時，y>0;當0<x<1時，y<0(5)當x>1時，y<0;當0<x<1時，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函數(7)在(0，＋∞)上是減函數考點七：反函數的概念一般地，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數．(1)y＝ax的定義域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定義域．(2)互為反函數的兩個函數y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關于直線y＝x對稱．(3)反函數的兩個函數y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的單調性相同．但單調區間不一定相同．技巧歸納：1、換底公式的兩個重要結論(1)logab＝eq\f(1,logba)；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2．對數函數的圖象與底數大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數．故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大．考點八：.冪函數(1)定義：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．(2)冪函數的圖象比較考點九：五個冪函數的性質y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識點十一般冪函數的圖象特征1．所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．2．當α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間[0，＋∞)上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸．3．當α<0時，冪函數的圖象在區間(0，＋∞)上是減函數．4．冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從小到大的順序排列．【題型梳理】題型一：指對冪的運算1．（2023秋·貴州遵義·高一統考期末）求下列各式的值：(1)；(2).2．（2023秋·四川成都·高一校考期末）化簡求值：(1)；(2).3．（2023秋·內蒙古呼和浩特·高一鐵路一中校考期末）計算與化簡：(1)(2).(3)(4).題型二：比較大小4．（2023秋·廣西河池·高一統考期末）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．5．（2023春·河南焦作·高一統考期末）設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（2023秋·山西運城·高一統考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．題型三：指數函數的綜合7．（2023秋·廣西河池·高一統考期末）已知函數.(1)若，求實數的值；(2)若恰有兩個零點，求實數的取值范圍.8．（2023秋·山西大同·高一山西省陽高縣第一中學校校考期末）已知函數為上的奇函數.(1)求函數的解析式；(2)判斷函數在上的單調性并加以證明；(3)解關于的不等式.9．（2023秋·廣東深圳·高一統考期末）已知函數.(1)利用單調性定義證明：在上是增函數；(2)解不等式題型四：冪函數的綜合10．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知冪函數的圖象經過點．(1)求的解析式，并指明函數的定義域；(2)設函數，用單調性的定義證明在單調遞增．11．（2023秋·湖南婁底·高一統考期末）已知冪函數為偶函數.(1)求冪函數的解析式；(2)若函數，根據定義證明在區間上單調遞增.12．（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統考期末）已知冪函數是偶函數．(1)求函數的解析式；(2)若，求x的取值范圍．題型五：對數函數的綜合13．（2023春·河南周口·高一校聯考期末）已知函數f（x）＝是定義在R上的奇函數．(1)求實數a的值；(2)證明：函數f（x）在R上單調遞增；(3)記，對x∈R，不等式恒成立，求實數m的取值范圍．14．（2023秋·陜西咸陽·高一統考期末）已知函數（且）在上的最大值為3.(1)求的值；(2)假設函數的定義域是，求關于的不等式的解集.15．（2023春·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學校考期末）已知函數是偶函數．(1)求的值；(2)若，，，不等式對任意恒成立，求的取值范圍．題型六：函數的應用16．（2023秋·廣西玉林·高一統考期末）已知函數為奇函數．(1)求實數的值；(2)證明函數在上的單調遞增；(3)若存在使得函數在區間上的值域為，求實數的取值范圍．17．（2023春·浙江杭州·高一統考期末）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量與時間間的關系為（其中是正常數）.已知在前5個小時消除了10%的污染物.(1)求的值（精稱到0.01）；(2)求污染物減少需要花的時間（精確到）？參考數據：.18．（2023秋·四川瀘州·高一統考期末）已知函數為偶函數，函數為奇函數，且滿足．(1)求函數，的解析式；(2)若函數，且方程恰有三個解，求實數k的取值范圍．【專題突破】一、單選題19．（2023春·湖南株洲·高一統考期末）已知函數，則（

）A． B．1 C．-1 D．220．（2023秋·云南紅河·高一統考期末）牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時間與儲藏溫度的關系為（為常數）.若牛奶在的冰箱中，保鮮時間約是，在的冰箱中，保鮮時間約是，那么在的冰箱中保鮮時間約是（

）A． B． C． D．21．（2023春·河南周口·高一校聯考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．22．（2023秋·山西大同·高一統考期末）若函數在區間上的最大值與最小值的差不小于3，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．（2023秋·江蘇宿遷·高一統考期末）已知，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且滿足．若恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．24．（2023秋·廣東清遠·高一統考期末）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．（2023秋·內蒙古呼和浩特·高一鐵路一中校考期末）已知函數，則（

）A．是奇函數，且在R上是增函數B．是偶函數，且在上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數D．是偶函數，且在上是減函數26．（2023秋·吉林·高一統考期末）已知定義在上的奇函數和偶函數滿足，則下列說法錯誤的是（

）A．在區間上單調遞增 B．在區間上單調遞增C．無最小值 D．無最小值27．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第七中學校考期末）定義在上函數滿足，當時，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．28．（2023秋·廣東·高一校聯考期末）已知函數，若方程有四個不同的根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題29．（2023秋·廣西河池·高一統考期末）已知函數.則下列說法正確的是（

）A．B．函數的圖象關于點對稱C．函數在定義域上單調遞增D．若實數，滿足，則30．（2023春·浙江杭州·高一統考期末）已知函數，則（

）A．函數的圖象關于原點對稱 B．函數的圖象關于軸對稱C．函數的值域為 D．函數是減函數31．（2023秋·山西運城·高一統考期末）已知函數（，為自然對數的底數），則（

）A．函數至多有個零點B．當時，，總有成立C．函數至少有個零點D．當時，方程有個不同實數根32．（2023秋·重慶長壽·高一統考期末）已知函數，則（

）A．圖象關于直線對稱 B．的最大值為C．在上單調遞減 D．的最小值為33．（2023秋·遼寧·高一校聯考期末）下列命題正確的有（

）A．命題“，”的否定“，”B．函數單調遞增區間是C．函數是上的增函數，則實數a的取值范圍為D．函數的零點所在區間為且函數只有一個零點三、填空題34．（2023秋·云南紅河·高一統考期末）已知（且），則實數的取值范圍為____________.35．（2023秋·陜西咸陽·高一統考期末）已知冪函數滿足，則______.36．（2023秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學校聯考期末）已知函數，若，，，則實數的取值范圍是____.37．（2023秋·江蘇宿遷·高一統考期末）已知函數，．若，，使得成立，則實數的取值范圍為______．四、解答題38．（2023秋·云南紅河·高一統考期末）已知函數（且）的圖象恒過定點，函數（且）的圖象經過點.(1)求函數的值域；(2)討論函數在區間上的零點個數.39．（2023秋·廣西河池·高一統考期末）設（，且）.(1)若，求實數的值及函數的定義域；(2)求函數的值域.40．（2023秋·甘肅白銀·高一統考期末）已知函數，其中且.(1)判斷的奇偶性；(2)若，解關于x的不等式.41．（2023秋·江蘇宿遷·高一統考期末）已知函數．(1)討論函數的奇偶性；(2)若函數為偶函數，且不為常數．①求實數，的值；②判斷并證明的單調性．42．（2023秋·甘肅天水·高一統考期末）已知函數（且）在上的最小值為-1．(1)求a的值；(2)若函數滿足：，且，，求滿足的x的取值范圍．43．（2023秋·四川涼山·高一統考期末）已知函數（且）．(1)若為偶函數，求的值；(2)當時，，且函數在上恒成立，求實數的取值范圍．44．（2023秋·廣東清遠·高一統考期末）在無菌培養環境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內細菌數量的增加，繁殖速度又會減慢，在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養皿中的數量y（單位：百萬個）與培養時間x（單位：小時）的3組數據如下表所示.2353.54.55.5(1)當時，根據表中數據分別用模型和建立關于的函數解析式.(2)若用某函數模型根據培養時間來估計某類細菌在培養皿中的數量，則當實際的細菌數量與用函數模型得出的估計值之間的差的絕對值不超過0.5時，稱該函數模型為“理想函數模型”，已知當培養時