第1課時兩個計數(shù)原理、排列與組合[考試要求]1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.理解排列、組合的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.會用兩個計數(shù)原理及排列、組合分析和解決一些簡單的實際問題．1．兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法2．排列與組合的概念排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合3．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(1,m！)[n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)]＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?Aeq\o\al(m,n)＝n·Aeq\o\al(m－1,n－1)Ceq\o\al(n,n)＝1，Ceq\o\al(0,n)＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)[常用結(jié)論]排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)?。璶！＝n·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．(×)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(√)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(√)二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第三冊P11習(xí)題6.1T2改編)如圖，從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到丁地有4條路．則從甲地到丁地的不同路線共有()A．12條 B．15條C．18條 D．72條C[若路線為甲乙丁，則有3×2＝6(條)；若路線為甲丙丁，則有3×4＝12(條)，故共有6＋12＝18(條)．故選C.]2．(人教A版選擇性必修第三冊P19例4改編)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中選3個數(shù)字，可以組成的無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()A．52 B．56C．48 D．72A[當(dāng)個位為0時，共有Aeq\o\al(2,5)＝5×4＝20(個)；當(dāng)個位不為0時，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)＝2×4×4＝32(個)，所以綜合可得，無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)共有20＋32＝52(個)．故選A.]3．(人教A版選擇性必修第三冊P27習(xí)題6.2T13改編)從2名女生，4名男生中選3人參加學(xué)科競賽，且至少有1名女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字作答)16[法一：可分兩種情況：第一種情況，只有1名女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(種)；第二種情況，有2名女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1名女生入選的不同的選法共有12＋4＝16(種)．法二：從6人中任選3人，不同的選法共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)，從6人中任選3人都是男生，不同的選法有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)，所以至少有1名女生入選的不同的選法共有20－4＝16(種)．]4．(易錯題)(人教A版選擇性必修第三冊P12習(xí)題6.1T8改編)五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為__________.五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有____________種．(用數(shù)字作答)1024625[五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學(xué)生落實，每名學(xué)生有4種報名方法，共有45＝1024(種)不同的報名方法．五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種可能性，共有54＝625(種)獲得冠軍的可能性．]考點一兩個計數(shù)原理及綜合應(yīng)用[典例1](1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9(2)中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1,2,3，…，8，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有()A．1050種 B．1260種C．1302種 D．1512種(3)(2023·上海高考)已知空間中的三點A，B，C滿足AB＝AC＝BC＝1，在空間中任取不同的兩點(不計順序)，使得這兩點與點A，B，C可以組成正四棱錐，則不同的取法有________種．(用數(shù)字作答)(1)B(2)C(3)9[(1)由題意可知，從E到F共有6條最短路徑，從F到G共有3條最短路徑，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×3＝18(條)最短路徑．(2)由題意可得，只需確定區(qū)域1,2,3,4的顏色，即可確定整個傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有6種選擇．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋1×6)＝1302(種)．故選C.(3)由題意得△ABC為正三角形．根據(jù)正四棱錐的定義知，正四棱錐的底面是正方形，頂點在底面的射影是正方形的中心，故所給正三角形ABC的任意一條邊可以為底面正方形的一條邊或?qū)蔷€．將△ABC的一條邊作為底面正方形的一條邊，若將BC作為底面正方形的一條邊，可在△ABC的左側(cè)取不同的兩點E，F(xiàn)，使得這兩點與A，B，C構(gòu)成正四棱錐A-BCEF，在△ABC的右側(cè)取不同的兩點E′，F(xiàn)′，使得這兩點與A，B，C構(gòu)成正四棱錐A-BCE′F′，如圖1，同樣，AB，AC也可作為底面正方形的一條邊，所以方案數(shù)為3×2＝6；將△ABC的一條邊作為底面正方形的對角線時，若將BC作為底面正方形的對角線，可構(gòu)造一個正四棱錐，如圖2，同樣AB，AC也可作為底面正方形的對角線，所以方案數(shù)為3.故不同的取法有6＋3＝9(種)．圖1圖2][拓展變式]若本例(1)中CD段馬路由于正在維修(如圖)，暫時不通，則從E到G的最短路徑有________條．26[先假設(shè)CD是可以通過的，則從E到G，向上3次，向右4次，最短路徑有Ceq\o\al(4,7)＝35(條)，其中經(jīng)過CD的，即先從E到C，然后從C到D，最后從D到G的最短路徑有3×3＝9(條)，所以當(dāng)CD不通時，最短路徑有35－9＝26(條)．]利用兩個基本計數(shù)原理解決問題的步驟提醒：涂色問題的兩種常用解題方法：按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；以顏色為主分類討論，用分類加法計數(shù)原理分析．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)某旅游景區(qū)有如圖所示的A至H共8個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白車和2輛不同的黑車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)為()A．288種 B．336種C．576種 D．1680種(2)如圖，用4種不同的顏色把圖中A，B，C，D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法種數(shù)為()A．144種 B．73種C．48種 D．32種(3)(2025·棗莊模擬)已知一個不透明的袋子中放有編號分別為1,2,3,4,5,6,7的7個大小、形狀相同的小球．小明從袋子中有放回地取3次球，每次只取一個球，且3次取出的球的編號相乘的結(jié)果為偶數(shù)、相加的結(jié)果為奇數(shù)，則不同的取球方法種數(shù)為()A．712 B．216C．108 D．72(1)B(2)C(3)C[(1)第一步：排白車，第一行選一個位置，則第二行有三個位置可選，由于車是不相同的，故白車的停法有4×3×2＝24(種)，第二步，排黑車，若白車選AF，則黑車有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7種選擇，黑車是不相同的，故黑車的停法有2×7＝14(種)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有24×14＝336(種)．故選B.(2)先對區(qū)域B涂色，有4種選擇，其次再對區(qū)域C涂色，有3種選擇，然后再對區(qū)域A，D涂色，有兩種情況：①若區(qū)域A，D同色，有2種選擇；②若區(qū)域A，D不同色，有2×1＝2(種)選擇．綜上所述，不同的涂法種數(shù)為4×3×(2＋2)＝48(種)．故選C.(3)根據(jù)3次取出的球的編號相乘的結(jié)果為偶數(shù)、相加的結(jié)果為奇數(shù)可知，有一次取出的球的編號為奇數(shù)，2次取出的球的編號為偶數(shù)，先確定哪一次得到奇數(shù)號球，然后從4個奇數(shù)號球中取一個，再每次都從3個偶數(shù)號球中任取一個(有放回取球)，故滿足題意的取球方法有3×4×3×3＝108(種)．故選C.]考點二排列、組合問題[典例2](1)(2024·新高考Ⅱ卷)在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.11213140122233421322334315243444(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種．(用數(shù)字作答)(1)24112(2)64[(1)第一步，從第一行任選一個數(shù)，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個與第一個數(shù)不同列的數(shù)，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個與第一、二個數(shù)均不同列的數(shù)，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個與第一、二、三個數(shù)均不同列的數(shù)，只有1種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為4×3×2×1＝24.先按列分析，每列必選出一個數(shù)，故所選4個數(shù)的十位上的數(shù)字分別為1,2,3,4.再按行分析，第一、二、三、四行個位上的數(shù)字的最大值分別為1,3,3,5，故從第一行選21，從第二行選33，從第三行選43，從第四行選15，此時個位上的數(shù)字之和最大．故選中方格中的4個數(shù)之和的最大值為21＋33＋43＋15＝112.(2)法一：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1門，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2門，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1門，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)種方案．綜上，不同的選課方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝64(種)．法二：若學(xué)生從這8門課中選修2門課，則有Ceq\o\al(2,8)－Ceq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,4)＝16(種)選課方案；若學(xué)生從這8門課中選修3門課，則有Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(3,4)＝48(種)選課方案．綜上，不同的選課方案共有16＋48＝64(種)．]求解排列、組合應(yīng)用問題的六種常用方法提醒：先選后排，先組合后排列，恰當(dāng)?shù)姆诸悾侠淼姆植剑诸悩?biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏；分步要步步獨立，步驟完整．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)7人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊，甲、乙相鄰，乙、丙不相鄰，則不同排法的種數(shù)是()A．60 B．120C．240 D．360(2)從2艘驅(qū)逐艦和6艘護(hù)衛(wèi)艦中選出3艘艦艇分別擔(dān)任防空、反潛、巡邏任務(wù)，要求其中至少有一艘驅(qū)逐艦，則不同的安排方法種數(shù)為()A．336 B．252C．216 D．180(3)(2025·臨沂模擬)若一個三位數(shù)M的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為8，則稱M是一個“叔同數(shù)”，例如“125,710”都是“叔同數(shù)”，那么“叔同數(shù)”共有____個．(1)C(2)C(3)36[(1)先排甲、乙、丙以外的4個人，再把甲、乙按甲在乙的左邊捆好，與丙插兩個空位，并去掉順序，所以不同的排法種數(shù)是eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(2,5),A\o\al(2,2))＝240(種)．故選C.(2)由題意知不同的方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,6))Aeq\o\al(3,3)＝216.故選C.(3)三位數(shù)各位數(shù)字的和為8可能的組合有116,125,134,224,233,017,026,035,044,008，其中三個數(shù)不同且都不為0可排出Aeq\o\al(3,3)＝6(個)“叔同數(shù)”，沒有0的3個數(shù)中有2個數(shù)相同，可排出Aeq\o\al(1,3)＝3(個)“叔同數(shù)”，有1個0其余2個數(shù)為不同的非零數(shù)字可排出Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4(個)“叔同數(shù)”，有1個0其余2個數(shù)為相同的非零數(shù)字可排出2個“叔同數(shù)”，008只能排出800一個“叔同數(shù)”，所以它們排出的“叔同數(shù)”共有3＋6＋6＋3＋3＋4＋4＋4＋2＋1＝36(個)．]考點三分組、分配問題[典例3](1)把9個入團(tuán)名額分給6個班級，每班至少一人，不同的分法種數(shù)為()A．41種 B．56種C．156種 D．252種(2)某教育局為振興鄉(xiāng)村教育，將5名教師安排到3所鄉(xiāng)村學(xué)校支教，若每名教師僅去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排1名教師，則不同的安排情況有()A．300種 B．210種C．180種 D．150種(1)B(2)D[(1)問題可轉(zhuǎn)化為將9個入團(tuán)名額排成一排，再分成6組，每組至少一個，求其方法數(shù)．事實上，只需在上述9個入團(tuán)名額所產(chǎn)生的8個“空檔”中選出5個“空檔”插入擋板，即產(chǎn)生符合要求的方法，有Ceq\o\al(5,8)＝56(種)．故選B.(2)由于每所學(xué)校至少安排1名教師，則不同的安排情況有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))＋C\o\al(3,5)))Aeq\o\al(3,3)＝150(種)．故選D.]分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：(1)相同元素的分配問題，常用“擋板法”；(2)不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配；(3)有限制條件的分配問題，采用分類求解．提醒：對于部分均分問題，若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以Aeq\o\al(m,m).[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)甲、乙等4名志愿者到游泳、射擊、體操三個場地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有()A．12種 B．18種C．24種 D．36種(2)現(xiàn)有5支救援隊前往A，B，C3個受災(zāi)點執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊只能去其中的一個受災(zāi)點，且每個受災(zāi)點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個受災(zāi)點中的一個，則不同的安排方法數(shù)是()A．72種 B．84種C．88種 D．100種(1)C(2)D[(1)①游泳場地安排2人，則不同的安排方法有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(種)；②游泳場地只安排1人，則不同的安排方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝18(種)；所以不同的安排方法有6＋18＝24(種)．故選C.(2)若甲隊去B點，則剩余4隊，可只去A，C2個點，也可分為3組去A，B，C3個點．當(dāng)剩余4隊只去A，C2個點時，組數(shù)分配為1,3或2,2，此時的分配方法有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(2,2)＋eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝14(種)；當(dāng)剩余4隊分為3組去A，B，C3個點時，先從4隊中選出2隊，即可分為3組，然后分配到3個受災(zāi)點即可，此時的分配方法有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)，綜上可得，甲隊去B點，不同的安排方法數(shù)是14＋36＝50(種)．同理，甲隊去C點，不同的安排方法數(shù)也是50(種)，所以不同的安排方法數(shù)是50＋50＝100(種)．故選D.]課時分層作業(yè)(六十三)(本試卷共82分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．若Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(2,2)＝42，則eq\f(n！,3！n－4！)的值為()A．60 B．70C．120 D．140D[因為Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(2,2)＝eq\f(nn－1,2)×2＝42，解得n＝7或n＝－6(舍去)，所以eq\f(n！,3！n－4！)＝eq\f(7！,3！×3！)＝eq\f(7×6×5×4×3×2×1,3×2×1×3×2×1)＝140.]2．電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)三種基本顏色，每種顏色的色號均為0～255.在電腦上繪畫可以分別從三種顏色的色號中各選一個配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為()A．2563 B．27C．2553 D．6A[分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共可配成256×256×256＝2563(種)顏色．故選A.]3．(2023·全國乙卷)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A．30種 B．60種C．120種 D．240種C[甲、乙二人先選1種相同的課外讀物，有Ceq\o\al(1,6)＝6(種)情況，再從剩下的5種課外讀物中各自選1本不同的讀物，有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＝20(種)情況，由分步乘法計數(shù)原理可得共有6×20＝120(種)選法．故選C.]4．(2023·全國甲卷)現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有()A．120種 B．60種C．30種 D．20種B[先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動，有Ceq\o\al(1,5)種方式；再從余下的4人中選2人分別安排到星期六、星期日，有Aeq\o\al(2,4)種安排方式．所以不同的安排方式共有Ceq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(2,4)＝60.故選B.]5．將5件相同的小禮物全部送給3個不同的球迷，讓每個球迷都要得到禮物，則不同的分法種數(shù)是()A．2 B．10C．5 D．6D[法一：由“擋板法”可知，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)．法二：若按3,1,1分成3組給3個不同的球迷，有3種不同的方法；若按2,2,1分成3組給3個不同的球迷，也有3種不同的方法．故所有不同的分法種數(shù)為3＋3＝6(種)．故選D.]6．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種B[因為丙、丁要在一起，所以先把丙、丁捆綁，看作一個元素，連同乙、戊看成三個元素全排列，有3！種排列方式；為使甲不在兩端，只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙、丁兩人的順序可交換，有2種排列方式．故安排這5名同學(xué)共有3！×2×2＝24(種)不同的排列方式．故選B.]7．在學(xué)校運動會上，有A，B，C三位運動員分別參加3000m，1500m和跳高比賽，為了安全起見，班委為這三位運動員分別成立了后勤服務(wù)小組，甲和另外4名同學(xué)參加后勤服務(wù)工作(每名同學(xué)只能參加一個后勤服務(wù)小組)．若甲在A的后勤服務(wù)小組，則這五名同學(xué)的分配方案種數(shù)為()A．44 B．50C．42 D．38B[若A的小組只有一人，則5人的分配方案有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＝14(種)；若A的小組只有兩人，則5人的分配方案有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝24(種)；若A的小組恰有三人，則5人的分配方案有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝12(種)．所以共有50種．故選B.]8．(2025·濟(jì)寧模擬)三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種B[分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)，同理，甲先踢給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式．由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)不同的傳遞方式．]9．如圖，一圓形信號燈分成A，B，C，D四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為()A．18 B．24C．30 D．42A[若3種不同的顏色燈帶都使用，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么A，C，要么B，D相同，有2種方案，則不同的信號數(shù)為2Aeq\o\al(3,3)＝12；若只用2種不同的顏色燈帶，則A，C顏色相同，B，D顏色相同，只有1種方案，則不同的信號數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6.故不同的信號總數(shù)為12＋6＝18.故選A.]10．(2025·威海模擬)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，那么稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，則所有凸數(shù)的個數(shù)為()A．240 B．420C．729 D．920A[法一：若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個；若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，“凸數(shù)”有2×3＝6(個)；若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)；…；若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個)．所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．法二：分兩類：①如果這個三位數(shù)含0，那么0必在末位，共有這樣的凸數(shù)Ceq\o\al(2,9)個；②如果這個三位數(shù)不含0，那么這樣的凸數(shù)共有(Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,9))個．綜上所述，所有凸數(shù)共有2Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＝240(個)．]二、多項選擇題11．某中學(xué)為提升學(xué)生勞動意識和社會實踐能力，利用周末時間到社區(qū)進(jìn)行義務(wù)勞動，高三年級一共6個班，其中只有1班有2名勞動模范，本次義務(wù)勞動一共20個名額，勞動模范必須參加且不占名額，每個班都必須有人參加，則下列說法正確的是()A．若1班不再分配名額，則共有Ceq\o\al(4,20)種分配方法B．若1班有除勞動模范之外的學(xué)生參加，則共有Ceq\o\al(5,19)種分配方法C．若每個班至少3人參加，則共有90種分配方法D．若每個班至少3人參加，則共有126種分配方法BD[若1班不再分配名額，則20個名額分配到5個班級，每個班級至少1個，根據(jù)擋板法，有Ceq\o\al(4,19)種分配方法，A錯誤；若1班有除勞動模范之外的學(xué)生參加，則20個名額分配到6個班級，每個班級至少1個，根據(jù)擋板法，有Ceq\o\al(5,19)種分配方法，B正確；若每個班至少3人參加，由于1班有2個勞動模范，故只需先滿足每個班級有2個名額，還剩10個名額，再將10個名額分配到6個班級，每個班級至少1個名額，故只需在10個名額中的9個空上放置5個擋板即可，故有Ceq\o\al(5,9)＝126(種)分配方法，C錯誤，D正確．故選BD.]12．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加某志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項工作可以安排，則以下說法錯誤的是()A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為54B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項工作至少安排1人，那么這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)ABD[對于A，安排5人參加4項工作，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，A錯誤；對于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種安排方法，B錯誤；對于C，根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙、丁、戊中選出2人開車，②從丙、丁、戊中選出1人開車，則有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種安排方法，C正確；對于D，分2步分析：需要先將5人分為3組，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))種分組方法，將分好的3組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種安排方法，D錯誤．故選ABD.]三、填空題13．用0,2,3,4,5五個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)共有________個，其中偶數(shù)共有________個．9660[由題可知，滿足條件的四位數(shù)共有4×4×3×2＝96(個)，其中偶數(shù)分為個位數(shù)是0和個位數(shù)不是0，若這個偶數(shù)的個位數(shù)是0，則有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24(個)；若這個偶數(shù)的個位數(shù)不是0，則有Ceq\o\al