第2課時平面向量基本定理及坐標表示[考試要求]1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.4.理解用坐標表示平面向量共線的條件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底．2．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.[常用結論]1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則點G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一個基底．(×)(2)向量的坐標就是向量終點的坐標．(×)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則“a∥b”的充要條件是“eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)”.(×)(4)若a與b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)二、教材經典衍生1．(人教A版必修第二冊P31例6改編)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2，1)C．(－1，0) D．(－1，2)D[因為a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，所以eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)，\f(1,2)＋\f(3,2)))＝(－1,2)．故選D.]2．(人教A版必修第二冊P30例5改編)已知?ABCD的三個頂點為A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為()A．(1,4) B．(1,5)C．(2,4) D．(2,5)B[設D(x，y)，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5，))即D(1,5)．]3．(多選)(人教A版必修第二冊P60復習參考題6T2(6)改編)下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)B．e1＝(0,0)，e2＝(2,3)C．e1＝(－3,4)，e2＝(6，－8)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))AD[對于A，因為e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)，所以1×1－(－2)×2≠0，所以兩向量不共線，所以兩向量可作為基底，所以A正確；對于B，因為e1＝(0,0)，e2＝(2,3)，所以易知兩向量共線，所以兩向量不能作為基底，所以B錯誤；對于C，因為e1＝(－3,4)，e2＝(6，－8)，所以－3×(－8)－6×4＝0，所以兩向量共線，所以兩向量不能作為基底，所以C錯誤；對于D，因為e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，所以2×eq\f(3,4)－eq\f(1,2)×(－3)≠0，所以兩向量不共線，所以兩向量可作為基底，所以D正確．故選AD.]4．(人教A版必修第二冊P33練習T5改編)設點A(2,0)，B(4,2)，若點P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則點P的坐標為________.(3,1)或(1,－1)[因為A(2,0)，B(4,2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，因為點P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AP,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1,1)或eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1)，故點P的坐標為(3,1)或(1，－1)．]考點一平面向量基本定理的應用[典例1](1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA．記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n(2)(2025·濟南模擬)如圖，在△ABC中，D，E是線段BC的三等分點，F是線段AC的中點，BF與AD，AE分別交于點M，N，則平面向量eq\o(MN,\s\up6(→))用向量eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))表示為____________________.(1)B(2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(3,20)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\f(3,10)eq\o(CB,\s\up6(→))[(1)因為點D在邊AB上，BD＝2DA，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝2(eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝3n－2m＝－2m＋3n.故選B．(2)法一：如圖，連接CM，CN，可設eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CB,\s\up6(→))＋yeq\o(CA,\s\up6(→))?eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CB,\s\up6(→))＋2yeq\o(CF,\s\up6(→)).由B，M，F三點共線，得x＋2y＝1①.由eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CB,\s\up6(→))＋yeq\o(CA,\s\up6(→))?eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)xeq\o(CD,\s\up6(→))＋yeq\o(CA,\s\up6(→))，由A，M，D三點共線，得eq\f(3,2)x＋y＝1②.聯立①②，解得x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(→)).同理得eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(CA,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\o(CB,\s\up6(→))＋\f(2,5)\o(CA,\s\up6(→))))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(CB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(CA,\s\up6(→))))＝eq\f(3,20)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\f(3,10)eq\o(CB,\s\up6(→)).法二：如圖，過點E作EG∥BF交AC于點G，由eq\f(BE,EC)＝eq\f(2,1)＝eq\f(FG,GC)?eq\f(AF,FG)＝eq\f(3,2)＝eq\f(AN,NE)，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(CB,\s\up6(→))－\o(CA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,5)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(CA,\s\up6(→)).如圖，同理過點D作DH∥BF交AC于點H，由eq\f(BD,DC)＝eq\f(1,2)＝eq\f(FH,HC)?eq\f(AF,FH)＝eq\f(3,1)＝eq\f(AM,MD)，可得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))－\o(CA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(CA,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\o(CB,\s\up6(→))－\f(3,5)\o(CA,\s\up6(→))))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(CB,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(CA,\s\up6(→))))＝eq\f(3,20)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\f(3,10)eq\o(CB,\s\up6(→)).法三：設eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝μeq\o(BF,\s\up6(→))，由eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))，得eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(BF,\s\up6(→)).又因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BC,\s\up6(→))－\o(BA,\s\up6(→))))＝μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BA,\s\up6(→))))，即(1－λ)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2λ,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(μ,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(μ,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).故1－λ＝eq\f(μ,2)，eq\f(2λ,3)＝eq\f(μ,2)，解得λ＝eq\f(3,5)，μ＝eq\f(4,5)，則eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(CB,\s\up6(→))－\o(CA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,5)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(CA,\s\up6(→)).同理可得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))－\o(CA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(CA,\s\up6(→))，故eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\o(CB,\s\up6(→))－\f(3,5)\o(CA,\s\up6(→))))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(CB,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(CA,\s\up6(→))))＝eq\f(3,20)eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\f(3,10)eq\o(CB,\s\up6(→)).]平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決．(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便．另外，要熟練運用平面幾何的一些性質定理．[跟進訓練]1．在△ABC中，G為△ABC的重心，M為AC上一點，且滿足eq\o(MC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，則()A．eq\o(GM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,12)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\o(GM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,12)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(GM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,12)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(GM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,12)eq\o(AC,\s\up6(→))D[由題意，畫出幾何圖形如圖所示．根據向量加法運算可得eq\o(GM,\s\up6(→))＝eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))，因為G為△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又M滿足eq\o(MC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(GM,\s\up6(→))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,12)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選D.]考點二平面向量線性運算的坐標表示[典例2](1)(2025·泰安模擬)在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點O，則eq\o(CO,\s\up6(→))的坐標為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))(2)向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________________________.(1)C(2)4[(1)因為在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)，對角線AC與BD交于點O，所以eq\o(CO,\s\up6(→))＝－eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).(2)如圖，以O為坐標原點，建立平面直角坐標系，設每個小正方形的邊長為1，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．因為c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝－λ＋6μ，,－3＝λ＋2μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2))).所以eq\f(λ,μ)＝4.]平面向量線性運算坐標表示的應用技巧(1)利用向量加、減、數乘運算的法則(或運算律)進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．(2)解題過程中，常利用“向量相等，則坐標相同”這一結論列方程(組)進行求解．(3)在特殊的平面圖形中恰當建立平面直角坐標系，把向量的有關運算轉化為坐標運算．[跟進訓練]2．(1)如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________.(2)如圖，已知平面內有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.(1)eq\f(8,5)(2)6[(1)以AB，AD所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，設正方形的邊長為1，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)．因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ，\f(λ,2)＋μ))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))所以λ＋μ＝eq\f(8,5).(2)以O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq\r(3))．由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝4，,μ＝2，))所以λ＋μ＝6.]考點三向量共線的坐標表示利用向量共線求參數[典例3]已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋3b)∥(a－b)，則實數λ的值為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(7,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(7,5)C[因為向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，所以a＋3b＝(9,2－6λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，因為(a＋3b)∥(a－b)，所以9(2＋2λ)－(－7)(2－6λ)＝0，解得λ＝eq\f(4,3).故選C．]利用向量共線求坐標[典例4]已知O為坐標原點，點A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，則AC與OB的交點P的坐標為________.(3,3)[法一：由O，P，B三點共線，可設eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以點P的坐標為(3,3)．法二：設點P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y.又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以點P的坐標為(3,3)．]平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則“a∥b”的充要條件是“x1y2＝x2y1”．(2)在求與一個已知向量a(a≠0)共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．[跟進訓練]3．(1)在平面直角坐標系中，向量eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,4)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(x,1)，若A，B，C三點共線，則x的值為()A．2 B．3C．4 D．5(2)(2025·臨沂模擬)已知向量a＝(3，m)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))).若a∥b，則實數m＝()A．1 B．－1C．9 D．－9(1)C(2)B[(1)因為A，B，C三點共線，則可設eq\o(PC,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋μeq\o(PB,\s\up6(→))(λ＋μ＝1)，即(x,1)＝λ(1,4)＋μ(2,3)＝(λ＋2μ，4λ＋3μ)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λ＋2μ，,1＝4λ＋3μ，,λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝3，,λ＝－2，,x＝4.))故選C．(2)因為向量a＝(3，m)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))，且a∥b，所以3×eq\f(1,3)＝(－1)×m，得m＝－1.故選B．]課時分層作業(三十三)(本試卷共82分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2,－3)，e2＝(－2,3)B[對于A，C，D，都有e1∥e2，所以只有B成立．]2．(2025·濟南模擬)已知a＝(m,1)，b＝(3m－1,2)，若a∥b，則m＝()A．1 B．－1C．eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)A[因為a＝(m,1)，b＝(3m－1,2)，a∥b，所以2m－(3m－1)＝0，解得m＝1.故選A．]3．(2025·煙臺模擬)已知點A(1,0)，B(2,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(CB,\s\up6(→))，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．(1,2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(2,5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(8,5))) D．(－3，－1)C[因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(CB,\s\up6(→))＝4(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以5eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(8,5))).]4．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構成三角形，則實數m不可能是()A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1C[若A，B，C三點不共線即可構成三角形．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點就可構成三角形．]5．如圖，點D，E分別是AC，BC的中點，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，F是DE的中點，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bB．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bC．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bD．－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bC[因為點D，E分別是AC，BC的中點，F是DE的中點，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b.故選C．]6．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC內一點，且∠DAB＝60°，設eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)等于()A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．3 D．2eq\r(3)A[如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則B(1,0)，C(0,2)，因為∠DAB＝60°，所以設點D的坐標為(m，eq\r(3)m)(m≠0)．eq\o(AD,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m)＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，則λ＝m，且μ＝eq\f(\r(3),2)m，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(2\r(3),3).]7．(2024·池州模擬)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(λa＋b)∥(a＋μb)，則下列關系一定成立的是()A．λμ＝－1 B．λ－μ＝2C．λ＋μ＝0 D．λμ＝1D[因為a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以λa＋b＝(1＋λ，λ－1)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．由(λa＋b)∥(a＋μb)可得，(1＋λ)·(1－μ)＝(λ－1)·(1＋μ)，整理得λμ＝1.故選D.]8．在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB＝BC＝CD，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．eq\f(4,3) B．eq\r(2)C．eq\f(3,2) D．2B[設AB＝eq\r(2)，如圖，以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(－1,0)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1，eq\r(2))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2，eq\r(2))．因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以(2,0)＝λ(1，－1)＋μ(2，eq\r(2))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,－λ＋\r(2)μ＝0，))解得λ＝2eq\r(2)－2，μ＝2－eq\r(2)，所以λ＋μ＝eq\r(2).故選B．]二、多項選擇題9．如圖，A，B，C是圓O上的三點，線段OC與線段AB交于圓內一點P，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝μeq\o(OA,\s\up6(→))＋3μeq\o(OB,\s\up6(→))，則()A．P為線段OC的中點時，μ＝eq\f(1,2)B．P為線段OC的中點時，μ＝eq\f(1,3)C．無論μ取何值，恒有λ＝eq\f(3,4)D．存在μ∈R，λ＝eq\f(1,2)AC[eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→)).因為eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))共線，所以eq\f(1－λ,μ)＝eq\f(λ,3μ)，解得λ＝eq\f(3,4)，故C正確，D錯誤；當P為OC的中點時，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)μeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×3μeq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(1,2)μ，,λ＝\f(1,2)×3μ，))解得μ＝eq\f(1,2)，故A正確，B錯誤．故選AC．]10．在?ABCD中，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，AE與BF交于點O，設eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝b，則()A．eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\f(5,3)a＋b B．eq\o(AE,\s\up6(→))＝a－eq\f(5,3)bC．eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(6,11)a＋eq\f(3,11)b D．eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(6,11)bAC[在?ABCD中，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(5,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\f(5,3)a＋b，A正確，B錯誤；如圖，設AE與BD交于點M，則在?ABCD中，△BEM與△DAM相似，所以eq\f(BM,DM)＝eq\f(BE,DA)＝eq\f(2,3)，則DM＝eq\f(3,5)DB，即eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)b，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a，因為F，O，B三點共線，A，O，M三點共線，設eq\o(DO,\s\up6(→))＝xeq\o(DF,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(3x,4)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(51－x,3)·eq\o(DM,\s\up6(→))，則eq\f(3x,4)＋eq\f(51－x,3)＝1，即x＝eq\f(8,11)，所以eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(3x,4)eq\o(DA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(6,11)a＋eq\f(3,11)b，C正確，D錯誤．故選AC．]三、填空題11．已知O為坐標原點，eq\o(P1P,\s\up6(→))＝－2eq\o(PP2,\s\up6(→))，若P1(1,2)，P2(2，－1)，則與eq\o(OP,\s\up6(→))共線的單位向量為________.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))[由eq\o(P1P,\s\up6(→))＝－2eq\o(PP2,\s\up6(→))得eq\o(P1P,\s\up6(→))＋2eq\o(PP2,\s\up6(→))＝0，即eq\o(P1P2,\s\up6(→))＋eq\o(PP2,\s\up6(→))＝0，eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝eq\o(P2P,\s\up6(→))，eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OP2,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝2(2，－1)－(1,2)＝(3，－4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OP,\s\up6(→))))＝eq\r(32＋－42)＝5，與eq\o(OP,\s\up6(→))同向的單位向量為eq\f(\o(OP,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(OP,\s\up6(→))))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))，與eq\o(OP,\s\up6(→))反向的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))).]12．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點P為矩形ABCD內(包括邊界)一點，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范圍是________.[0,2eq\r(2)][法一(坐標法)：如圖1，將矩形放在平面直角坐標系中，設P(x，y)，則A(0,0)，B(2,0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2－2x2＋－2y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，轉化為矩形內的點到定點(1,0)的距離的2倍，由圖可知點D(0,1)和點C(2，1)到定點(1,0)的距離相等同時取最大值：eq\r(2－12＋1－02)＝eq\r(2).故|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范圍是[0,2eq\r(2)]．法二(向量法)：如圖2，取AB的中點H，易知eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PH,\s\up6(→))，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PH,\s\up6(→))|，結合題意可知0≤|eq\o(PH,\s\up6(→))|≤eq\r(2).故|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的取值范圍為[0,2eq\r(2)]．圖1圖2]13．在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC的平分線AD交邊BC于點D，記eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．3a－2b B．－2a＋3bC．3a＋2b D．2a＋3bB[由題意，AB＝2AC，AD為∠BAC的平分線，則由角平分線定理，有eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC)＝2，即BD＝2DC，故eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝－2a＋3b.故選B．]14．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))D[法一：依題意，設eq\o(BO,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，其中1＜λ＜eq\f(4,3)，則有eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)·eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).故選D.法二：因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－xeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝x(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\