第八章解析幾何第3課時圓的方程[考試要求]

1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．鏈接教材·夯基固本1．圓的定義及方程定義平面上到______的距離等于______的點的集合(軌跡)標準方程_____________________________圓心_________，半徑r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)

圓心___________，半徑__________________定點定長(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)(a，b)2．點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置關系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則_______________________.(2)若M(x0，y0)在圓上，則_______________________.(3)若M(x0，y0)在圓內，則_______________________.(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2[常用結論]1．圓的三個性質(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(

)(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓．(

)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0.(

)√×√√二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P85練習T3改編)已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(

)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4√2．(人教A版選擇性必修第一冊P84例3改編)過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(

)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C

[法一：設圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r.因為圓心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.√法二：由已知條件得AB的垂直平分線方程l1：y＝x.所以圓心坐標為(1,1)，所以r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，所以圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.]3．(人教A版選擇性必修第一冊P88練習T2改編)若點P(1,1)在圓C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，則實數k的取值范圍是(

)√4．(人教A版選擇性必修第一冊P86例4改編)在平面直角坐標系中，經過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________.典例精研·核心考點

考點一圓的方程[典例1]

(1)(多選)過四點(0,0)，(4,0)，(－1，1)，(4,2)中的三點的圓的方程為(

)A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝13√(2)(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________.√(1)AB

(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5[(1)點(0,0)，(4,0)，(4,2)在圓(x－2)2＋(y－1)2＝5上，A正確；點(0,0)，(4,0)，(－1,1)在圓(x－2)2＋(y－3)2＝13上，B正確；(2)法一(三點共圓)：因為點M在直線2x＋y－1＝0上，所以設點M為(a,1－2a)．又因為點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，所以點M到兩點的距離相等且為半徑R，⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.法二(圓的幾何性質)：

求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值．[跟進訓練]1．(1)若一個圓的圓心坐標為(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是(

)A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________.√(2)由已知方程表示圓，得a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當a＝2時，原方程不滿足表示圓的條件，故舍去．當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．]

考點二與圓有關的最值問題

斜率型、截距型、距離型最值問題[典例2]已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，x2＋y2在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點的距離為2，

建立函數關系求最值

利用對稱性求最值[典例4]已知M，N分別是曲線C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的兩個動點，P為直線x＋y＋1＝0上的一個動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(

)√

1.與圓有關的最值問題的三種幾何轉化法(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉化為動直線截距的最值問題．(3)距離型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．2．建立函數關系式求最值問題的解題策略根據題目條件列出關于所求目標式子的函數關系式，然后根據關系式的特征選用參數法、配方法、判別式法、單調法等，利用基本不等式求最值．3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．[跟進訓練]A．[－3,1] B．[－1,1]C．[－1,3] D．[1,3](2)(2025·棗莊模擬)若坐標原點O在方程x2＋y2－x＋y＋m＝0所表示的圓的外部，則實數m的取值范圍為________.(3)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上動點，P是x軸上動點，則|PN|－|PM|的最大值是________.√

考點三與圓有關的軌跡問題[典例5]已知點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1,1)是圓內一點，P為圓上的動點．(1)求線段AP的中點M的軌跡方程；(2)求過點B的弦的中點T的軌跡方程.解：(1)設線段AP的中點M的坐標為(x，y)(x≠2)，由中點坐標公式，得點P的坐標為(2x－2,2y)．因為點P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故線段AP的中點M的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．(2)設T(x，y)．因為點T是弦的中點，所以OT⊥BT或B，T重合(O為坐標原點)．

求與圓有關的軌跡問題的四種方法(1)直接法：直接根據題設給定的條件列出方程求解．(2)定義法：根據圓的定義列方程求解．(3)幾何法：利用圓的幾何性質得出方程求解．(4)代入法(相關點法)：找出要求的點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式求解．提醒：注意特殊點的取舍．[跟進訓練]3．如圖，兩根桿分別繞著定點A和B(AB＝2a)在平面內轉動，并且轉動時兩桿保持互相垂直，求桿的交點P的軌跡方程．解：如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(－a,0)，B(a,0)．設P(x，y)，因為PA⊥PB，化簡得x2＋y2＝a2(x≠±a)．當x＝±a時，點P與A或B重合，此時y＝0，滿足上式．故點P的軌跡方程是x2＋y2＝a2.如圖，點A，B為兩定點，動點P滿足|PA|＝λ|PB|.當λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當λ>0且λ≠1時，動點P的軌跡為圓，稱之為阿波羅尼斯圓．證明：設|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系