第七章立體幾何與空間向量第6課時空間向量的運算及其應用[考試要求]

1.了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理．鏈接教材·夯基固本1．空間向量及其有關定理概念語言描述共線向量(平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線__________________共面向量平行于_______________的向量共線向量定理對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b?存在實數λ，使_________互相平行或重合同一個平面a＝λb2．空間向量的數量積非零向量a，b的數量積a·b＝__________________.概念語言描述共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數對(x，y)，使____________空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得____________________p＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc|a||b|cos〈a，b〉3．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數量積a·b＝_____________________共線a∥b?a1＝______，a2＝______，a3＝______(λ∈R，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3λb1λb2λb34．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，把與向量a______的非零向量稱為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．a1b1＋a2b2＋a3b3平行5．空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面．()(2)在空間直角坐標系中，在Oyz平面上的點的坐標一定是(0，b，c).(

)(3)對于非零向量b，若a·b＝b·c，則a＝c.(

)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(

)√√××二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P33練習T1改編)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(

)A．α∥β

B．α⊥βC．α，β相交但不垂直

D．以上均不對C

[因為n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，所以α，β相交但不垂直．]√√3．(多選)(人教A版選擇性必修第一冊P22練習T3改編)已知點A(1,2,2)，B(1，－3,1)，點C在Oyz平面上，且點C到點A，B的距離相等，則點C的坐標可以為(

)A．(0，1，－1) B．(0，－1，4)C．(0，1，－6) D．(0，2，10)√√BC

[依題意，點C在Oyz平面上，設C(0，y，z)，由于|AC|＝|BC|，|AC|2＝|BC|2，所以12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2，整理得5y＋z＋1＝0，通過驗證可知，(0，－1,4)，(0,1，－6)符合，所以BC選項正確．故選BC．]典例精研·核心考點

考點一空間向量的線性運算√√

空間向量線性運算中的三個關鍵點[跟進訓練]√(2)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點．[(1)如圖，(1)求證：四邊形BDD1B1為正方形；(2)求體對角線AC1的長度；(3)求異面直線AB1與BD1所成角的余弦值．

考點二空間向量數量積的應用[典例2]

(2025·泰安模擬)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°.

空間向量數量積的應用[跟進訓練]√√

考點三利用向量證明平行與垂直[典例3]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角，求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.證明：(1)由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.因為PC⊥平面ABCD，所以∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°.又PA∩DA＝A，DA，PA?平面PAD，所以BE⊥平面PAD.因為BE?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

1．利用向量法證明平行問題(1)線線平行：方向向量平行．(2)線面平行：平面外的直線的方向向量與平面的法向量垂直．(3)面面平行：兩平面的法向量平行．2．利用向量法證垂直問題(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零．(2)線面垂直：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉化為證明線線垂直．(3)面面垂直：兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直．[跟進訓練]3．(2025·德州模擬)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(1)求證：B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．(2)存在滿足要求的點P，理由如下：假設在棱