第七章立體幾何與空間向量第2課時球的切、接與截面問題典例精研·核心考點

考點一簡單幾何體的外接球

柱體的外接球問題√(2)(2023·全國甲卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點，若該正方體的棱與球O的球面有公共點，則球O的半徑的取值范圍是____________.(2)設球O的半徑為R.當球O是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點，所求的球O的半徑最大．若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點．如圖，分別取側棱AA1，BB1，CC1，DD1的中點M，H，G，N，顯然四邊形MNGH是邊長為4的正方形，且O為正方形MNGH的對角線的交點．

臺體的外接球問題√

錐體的外接球問題√A．3π B．4πC．9π D．12π√(3)(2023·全國乙卷)已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝____.

求解外接球問題的方法(1)解決多面體外接球問題的關鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面多邊形外接圓的圓心，再過此圓心作垂直于此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據其他頂點的情況確定球心的準確位置．(2)對于特殊的多面體還可以通過補成正方體、長方體或直棱柱的方法找到球心的位置．[跟進訓練]1．(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(

)√(2)(2024·南京二模)三星堆古遺址作為“長江文明之源”，被譽為人類最偉大的考古發現之一.3號坑發現的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據．玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學者認為其外方內圓的構造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現．假定某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構成，且圓柱的外側面內切于正方體的側面，圓柱的高為12cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球O上，則球O的表面積為(

)A．72πcm2

B．162πcm2C．216πcm2

D．288πcm2√(3)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為________.(1)A

(2)C

(3)61π

[(1)如圖所示，設球的半徑為R，底面中心為O′且球心為O，A．3π B．5πC．8π D．9π(2)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為____________________.

考點二簡單幾何體的內切球√“切”的問題處理規律(1)找準切點，通過作過球心的截面來解決．(2)體積分割是求內切球半徑的通用方法．[跟進訓練]2．(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(

)√

考點三與球有關的截面問題√

巧用直角三角形解決截面圓問題的步驟(1)確定球心O和截面圓的圓心O′.(2)探求球的半徑R和截面圓的半徑r.(3)利用OO′2＋r2＝R2計算相關量．[跟進訓練]3．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高是8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，那么球的體積為(

)√微點突破4簡單幾何體外接球球心的確定方法簡單幾何體的外接球與內切球問題是立體幾何的重點，也是歷年高考考查的一個熱點，研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關幾何關系與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用．√一、定義法確定球心[典例1]已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體P-ABC的外接球(頂點都在球面上)的體積為(

)[賞析]突破點1：發現垂直關系，如下①②處如圖，取PC的中點O，連接OA，OB，由題意得

PA⊥BC①，又因為AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以

BC⊥PB②.突破點2：得出四點在同一個球面上[答案]

D

到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據到其他頂點的距離也是半徑，列出關系式求解即可．√[跟進訓練]1．已知菱形ABCD的各邊長為2，∠B＝60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐P-ACD，如圖所示，當三棱錐P-ACD的表面積最大時，三棱錐P-ACD外接球的體積為(

)如圖，取PD的中點O，連接OA，OC，由直角三角形的性質可得，二、交軌法確定球心[賞析]突破點1：找過△ABC外接圓圓心的垂線如圖所示，設M為BC的中點，在平面PBC內過點M作MN⊥BC，因為平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，MN?平面PBC，所以MN⊥平面ABC．突破點2：尋找△PBC的外心，交軌法得球心又△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，所以直線MN上任意一點到A，B，C的距離都相等．在平面PBC內作線段PB的垂直平分線DE，設DE與MN的交點為O，則點O到P，A,B，C的距離都相等，即點O為三棱錐P-ABC外接球的球心，且O也是△PBC的外心．因此三棱錐P-ABC外接球的半徑與△PBC的外接圓半徑相等．[答案]

10π

分別過幾何體的兩個相交平面的外接圓的圓心作各自所在平面的垂線，垂線的交點就是球心．[跟進訓練]2．(2025·日照模擬)已知A，B是球O的球面上兩點，AB＝2，過AB作互相垂直的兩個平面截球得到圓O1和圓O2.若∠AO1B＝90°，∠AO2B＝60°，則球O的表面積為(

)A．5π