第四章三角函數(shù)與解三角形第9課時(shí)正弦定理、余弦定理的應(yīng)用舉例[考試要求]能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.鏈接教材·夯基固本測(cè)量中的幾個(gè)常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做______，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做______仰角俯角術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做______，方位角θ的范圍是_______方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：方位角[0,2π)一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向．(

)(2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(

)(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系．(

)√×√√二、教材經(jīng)典衍生

1．(人教A版必修第二冊(cè)P49例9改編)如圖，在河岸AC測(cè)量河的寬度，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是(

)A．a(chǎn)，c，α

B．b，c，αC．c，a，β

D．b，α，γ√2．(人教A版必修第二冊(cè)P51練習(xí)T1改編)一艘輪船以18nmile/h的速度沿北偏東40°的方向直線航行，在行駛到某處時(shí)，該輪船南偏東20°方向上10nmile處有一燈塔，繼續(xù)行駛20min后，輪船與燈塔的距離為(

)A．17nmile B．16nmileC．15nmile D．14nmile√3．(人教A版必修第二冊(cè)P50例10改編)如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°，則A點(diǎn)離地面的高AB等于(

)√法二：因?yàn)椤螦CB＝45°，所以∠ACD＝135°，所以∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.4．(人教A版必修第二冊(cè)P53T8改編)如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)C和D，測(cè)得CD＝200m，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，則塔高AB＝______m.200

[在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.設(shè)AB＝h，則BC＝h，典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一測(cè)量距離問題[典例1]如圖，線段CD是某鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點(diǎn)A，B，在四邊形ABCD中，測(cè)得AB＝50m，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°.(1)試求B，D之間的距離及B，C之間的距離；(2)求應(yīng)開鑿的隧道CD的長．解：(1)在△ABD中，因?yàn)椤螪AC＝75°，∠CAB＝45°，所以∠DAB＝120°.又∠DBA＝30°，所以∠ADB＝30°，所以△ABD為等腰三角形，

所以AB＝AD＝50m.由余弦定理可得

距離問題的解題思路這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．提醒：①基線的選取要恰當(dāng)；②選取的三角形及正弦、余弦定理的應(yīng)用要恰當(dāng)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]

1．如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上的B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則AC的長為____km.7

[因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為π，所以B＋D＝π，所以由余弦定理可得

AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝52＋32－2×5×3cosD＝34－30cosD，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝52＋82－2×5×8cosB＝89－80cosB，因?yàn)锽＋D＝π，即cosB＝－cosD，考點(diǎn)二測(cè)量高度問題A．11m

B．20.8mC．25.4m

D．31.8m√C

[由題意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，則∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°.

解決高度問題的三個(gè)注意事項(xiàng)(1)要理解仰角、俯角的定義．(2)在實(shí)際問題中可能會(huì)遇到空間與平面(底面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形．(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在A，B，C三處測(cè)得道路一側(cè)山頂P的仰角依次為30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0＜a＜3b)，則此山的高度為(

)√D

[如圖，設(shè)點(diǎn)P在地面上的正投影為點(diǎn)O，則∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，考點(diǎn)三測(cè)量角度問題√A．正西方向

B．南偏西75°方向C．南偏西60°方向

D．南偏西45°方向

解決角度問題的三個(gè)注意事項(xiàng)(1)測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題過程中要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn)．提醒：理解仰角、俯角、方向角、方位角，正確畫圖是解題的關(guān)鍵．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量．已知AB＝60m，BC＝120m，于A處測(cè)得水深A(yù)D＝120m，于B處測(cè)得水深BE＝200m，于C處測(cè)得水深CF＝150m，則cos∠DEF＝____________.(2)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為________.(2)由題圖知，在