第三章一元函數的導數及其應用第1課時導數的概念及運算[考試要求]

1.了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.2.通過函數圖象，理解導數的幾何意義.3.能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(形如f(ax＋b))的導數．鏈接教材·夯基固本f′(x0)2．導數的幾何意義函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的_____，相應的切線方程為_____________________.提醒：求曲線的切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的區別，前者只有一條，而后者包括了前者．斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3．基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝___f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝_____f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________0αxα－1cosx－sinx基本初等函數導函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____f(x)＝lnxf′(x)＝_____axlnaex4．導數的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝______________；(2)[f(x)g(x)]′＝_____________________；(4)[cf(x)]′＝________.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)cf′(x)5．復合函數的定義及其導數一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數．復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝__________，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．y′u·u′x[常用結論]幾類重要的切線方程(1)直線y＝x－1是曲線y＝lnx的切線，直線y＝x是曲線y＝ln(x＋1)的切線，如圖1.(2)直線y＝x＋1與直線y＝ex是曲線y＝ex的切線，如圖2.(3)直線y＝x是曲線y＝sinx與y＝tanx的切線，如圖3.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)f′(x0)是函數y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(

)(2)求f′(x0)時，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(

)(3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．(

)(4)函數f(x)＝sin(－x)的導數是f′(x)＝cosx．(

)××××二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第二冊P59探究改編)某跳水運動員離開跳板后，他的重心相對于水面的高度h(單位：m)與時間t(單位：s)的函數關系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t，則在0.5s時他的瞬時速度為(

)A．9.1m/s

B．6.75m/sC．3.1m/s D．2.75m/sC

[因為h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.故選C．]√√2．(多選)(人教A版選擇性必修第二冊P81習題5.2T1改編)下列求導正確的是(

)A．(3x)′＝3xln3√√√3．(人教A版選擇性必修第二冊P70練習T2改編)函數y＝f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是函數f(x)的導函數，則下列數值排序正確的是(

)A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3)C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5)D．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3)所以f′(1)＝e－1.又f(1)＝e＋1，所以切點為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.]典例精研·核心考點考點一變化率問題√則下列結論正確的是(

)A．在[t1，t2]這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強B．在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強C．在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標D．甲企業在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[0，t1]的污水治理能力最強√√對于A，在[t1，t2]這段時間內，甲企業對應圖象的割線斜率的相反數比乙企業大，故甲企業的污水治理能力比乙企業強，正確；對于B，要比較t2時刻的污水治理能力，即看在t2時刻兩曲線的切線斜率，切線斜率的相反數越大，污水治理能力越強，故在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強，正確；對于C，在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都在污水達標排放量以下，正確；對于D，甲在[t1，t2]這段時間內的污水治理能力最強，錯誤．故選ABC．]

函數的平均變化率和瞬時變化率的關系√[跟進訓練]

1．(多選)吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數關系為r(V)，r′(V)為r(V)的導函數．已知r(V)在0≤V≤3上的圖象如圖所示，若0≤V1<V2≤3，則下列結論正確的是(

)√對于B，由題圖得圖象上點的切線的斜率越來越小，根據導數的幾何意義，得r′(1)>r′(2)，所以該選項正確；

考點二導數的運算[典例2]

(1)(2025·煙臺模擬)已知函數f(x)＝3x－2f′(1)lnx，則f′(1)＝(

)A．ln3

B．2

C．3

D．3ln3√√(2)(多選)下列求導正確的是(

)A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2√√(2)對于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正確；對于B，(x3lnx)′＝(x3)′lnx＋x3(lnx)′＝3x2lnx＋x2，故B正確；

導數的運算方法(1)求函數的導數要準確地把函數拆分成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導．(2)抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解．(3)復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元．√[跟進訓練]2．(1)若函數f(x)，g(x)滿足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，則f′(1)＋g′(1)＝(

)A．1 B．2C．3 D．4(2)已知函數f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝________.(1)C

(2)e2

[(1)因為f(1)＝1，所以f(1)＋g(1)＝0，所以g(1)＝－1，因為f(x)＋xg(x)＝x2－1，所以f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，所以f′(1)＋g′(1)＝2－(－1)＝3.(2)因為f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，.所以f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，則a＝e2.]考點三導數的幾何意義

求切線方程√

求參數的值(取值范圍)[典例4]

(1)已知直線y＝x－1與曲線y＝ex＋a相切，則實數a的值為(

)A．－2 B．－1C．0 D．2(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________.√(2)因為y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋1＋a)ex，設切點為(x0，y0)，則y0＝(x0＋a)ex0，切線斜率k＝(x0＋1＋a)ex0，所以切線方程為y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0·(x－x0)．因為切線過原點，所以－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)·ex0·(－x0)．因為切線有兩條，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．]

導數幾何意義的應用要點(1)已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導數值：k＝f′(x0)．提醒：“在點P處的切線”與“過點P的切線”不同．[跟進訓練]3．(1)若過點(a，b)可以作曲線y＝lnx的兩條切線，則(

)A．a＜lnb B．b＜lnaC．lnb＜a D．lna＜b√√(1)D

(2)A

[(1)設切點坐標為(x0，lnx0)，當a≤0時，f′(x)＞0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，不合題意；當a＞0時，若0＜x＜a，則f′(x)＜0，f(x)單調遞減，若x＞a，則f′(x)＞0，f(x)單調遞增．所以f(x)min＝f(a)＝lna＋1，由題意知b＋1＞lna＋1，即b＞lna．故選D.考點四兩曲線的公切線問題[典例5]

(2024·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝ex＋x在點(0,1)處的切線也是曲線

y＝ln(x＋1)＋a的切線，則a＝____________.ln2

[由y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，則y′|x＝0＝e0＋1＝2，所以曲線y＝ex＋x在點(0,1)處的切線方程為y＝2x＋1.設切線y＝2x＋1與曲線y＝ln(x＋1)＋a相切的切點為(x0，ln(x0＋1)＋a)，曲線公切線的求解策略設直線與曲線y＝f(x)切于點(x1，f(x1))，與曲線y＝g(x)切于點(x2，g(x2))，則切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.[跟進訓練]4．(1)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________.(2)已知f(x)＝ex(e為自然對數的底數)，g(x)＝lnx＋2，直線l是曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的公切線，則直線l的方程為________.(2)設直線l與曲線f(x)＝ex的切點為(x1，ex1)，與曲線g(x)＝lnx＋2的切點為(x2，lnx2＋2)．所以直線l的方程為y＝x＋1或y＝ex.]微點突破2導函數與原函數的性質聯系問題1．導函數與原函數對稱性的關系性質1：若函數f(x)連續且可導，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱?導函數f′(x)的圖象關于點(a,0)對稱．性質2：若函數f(x)連續且可導，則f(x)的圖象關于點(a，f(a))對稱?導函數f′(x)的圖象關于直線x＝a對稱．(證明略)2．導函數與原函數奇偶性的關系性質1：若f(x)為偶函數且可導，則f′(x)為奇函數．性質2：若f(x)為奇函數且可導，則f′(x)為偶函數．√[典例1]已知定義在R上的函數f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(2＋x)＝－f(2－x)，f′(x)是f(x)的導數，則(

)A．f′(x)是奇函數，且是周期函數B．f′(x)是偶函數，且是周期函數C．f′(x)是奇函數，且不是周期函數D．f′(x)是偶函數，且不是周期函數[賞析]

突破點1：熟知函數的性質根據題意，定義在R上的函數f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)，又f(2＋x)＝－f(2－x)，所以f(－x)＝－f(4＋x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數，所以f′(x＋4)＝[f(x＋4)]′＝f′(x)，所以f′(x)是周期函數．突破點2：導函數與原函數的奇偶性關系因為f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，所以f′(－x)＝－[f(－x)]′＝f′(x)，所以f′(x)是偶函數．故選B.[答案]

B√√√[賞析]

突破點：原函數與導函數間的性質關系[答案]

BCD

求解此類問題的關鍵是熟知原函數與導函數間的性質關系，明確函數的奇偶性、對稱性、周期性之間的內化條件，體會賦值法在解題中的應用．√[跟進訓練]設函數f(x)的定義域為R，其導函數為f′(x)，若f′(－x)＝f′(x)，f(2x)＋f(2－2x)＝3，則下列結論不一定正確的是(

)A．