第一章集合、常用邏輯用語、不等式第2課時常用邏輯用語[考試要求]

1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．鏈接教材·夯基固本1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的______條件，q是p的______條件p是q的_______________條件p?q且q/?pp是q的必要不充分條件__________________p是q的充要條件_________p是q的____________________條件p/?q且q/?p充分必要充分不必要p/?q且q?pp?q既不充分也不必要2．全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“___”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“___”表示．??3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記________________________________否定_________________________________提醒：含有一個量詞的命題的否定的規律是“改量詞，否結論”，即兩變一不變，量詞與結論變，條件不變．?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)[常用結論]設p，q成立的對象構成的集合分別為A，B.(1)p是q的充分不必要條件?A

B；(2)p是q的必要不充分條件?A

B；(3)p是q的充要條件?A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要條件?A與B沒有包含關系．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當p是q的充分條件時，q是p的必要條件．(

)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件．(

)(3)“三角形的內角和為180°”是存在量詞命題．(

)(4)寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變為存在量詞．(

)√√×√二、教材經典衍生1．(人教A版必修第一冊P31習題1.5T3改編)已知命題p：?n∈N*，n2>n－1，則命題p的否定為(

)A．?n∈N*，n2≤n－1

B．?n∈N*，n2<n－1C．?n∈N*，n2≤n－1D．?n∈N*，n2<n－1C

[由全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，可得命題p：?n∈N*，n2>n－1的否定綈p為“?n∈N*，n2≤n－1”．]√2.(人教A版必修第一冊P22習題1.4T2(2)改編)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實數根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√3．(多選)(人教A版必修第一冊P31習題1.5T1、T2改編)下列命題是全稱量詞命題且為真命題的是(

)A．?x∈R，x2－x＋1>0B．?x∈R，sinx＝2C．存在一個無理數，它的平方是有理數D．平面內，到A，B兩點距離相等的點都在線段AB的垂直平分線上√√4．(人教B版必修第一冊P38習題1－2BT5改編)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分條件，則實數a的取值范圍為____________[3，＋∞)典例精研·核心考點考點一充分、必要條件

充分、必要條件的判定[典例1]

(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件√B

[由a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，由a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，

“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件．故選B.]

充分、必要條件的探求[典例2]若x，y∈R，則“x>y”的一個充分不必要條件可以是(

)√

充分、必要條件的應用[典例3]請在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任選一個，補充在橫線處，并解答．由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m，

(1)充分條件、必要條件的判定方法：定義法、集合法．(2)充分條件、必要條件的探求要分清題干的條件和結論，如“p的充分條件是q”等價于“q?p是真命題”．(3)應用集合之間的關系解答充分條件、必要條件求參數問題時，需注意區間端點值的檢驗．[跟進訓練]1．(1)(2024·全國甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，則(

)A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要條件B．“x＝－3”是“a∥b”的必要條件C．“x＝0”是“a⊥b”的充分條件√(2)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一個充分條件，則α的一個可能取值是________.(2)由sinx＋cosx>1可得√

考點二全稱量詞與存在量詞

含量詞命題的否定[典例4]

(1)命題p的否定為“?x<0，使得x＋2>2x”，則命題p為(

)A．?x<0，x＋2>2xB．?x≥0，使得x＋2>2xC．?x<0，x＋2≤2xD．?x≥0，使得x＋2≤2x(2)命題：“奇數的立方是奇數”的否定是__________.(1)C

(2)存在一個奇數，它的立方不是奇數[(1)因為命題p的否定為“?x<0，使得x＋2>2x”，所以命題p為“?x<0，x＋2≤2x”．故選C．(2)命題的否定為“存在一個奇數，它的立方不是奇數”．]√

含量詞命題的真假判斷[典例5]

(2024·新高考Ⅱ卷)已知命題p：?x∈R，|x＋1|>1，命題q：?x>0，x3＝x，則(

)A．p和q都是真命題B．綈p和q都是真命題C．p和綈q都是真命題D．綈p和綈q都是真命題B

[對于命題p，取x＝－1，則有|x＋1|＝0<1，故p是假命題，綈p是真命題；對于命題q，取x＝1，則有x3＝13＝1＝x，故q是真命題，綈q是假命題．綜上，綈p和q都是真命題．故選B.]

含量詞命題的應用[典例6]若命題p：“?x∈R，x2－mx－m≤0”為假命題，則實數m的取值范圍是________.(－4,0)

[法一：若p為真命題，即?x∈R，x2－mx－m≤0，所以Δ＝m2＋4m≥0，所以m≥0或m≤－4，所以當p為假命題時，－4<m<0.法二：因為p為假命題，所以綈p：?x∈R，x2－mx－m>0為真命題，即Δ＝m2＋4m<0，所以－4<m<0.]

含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明所有對象使命題成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個對象使命題成立即可．當一個命題的真假不易判斷時，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數的取值范圍，一是直接由命題的含義，利用函數的最值求參數的取值范圍；二是利用等價命題，即p與綈p的關系，轉化為綈p的真假求參數的取值范圍．(3)全稱量詞命題對應恒成立，存在量詞命題對應成立．[跟進訓練]2．(1)命題p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根，則對命題p的真假判斷和綈p正確的為(

)A．真命題，綈p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根B．假命題，綈p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根C．真命題，綈p：?a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根D．假命題，綈p：?a∈