專題七角的平分線的性質(zhì)【專題導(dǎo)航】目錄【考點(diǎn)一角的平分線的性質(zhì)】......................................1【考點(diǎn)二尺規(guī)作圖】.............................................14【考點(diǎn)三角平分線性質(zhì)的綜合應(yīng)用】................................20【聚焦考點(diǎn)1】1.角平分線的作法a.以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)N、M；b.分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12c.畫射線OP,OP即為所求角平分線。角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。【典例剖析1】【典例1-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD是鈍角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若BC＝3，，△BCD的面積．（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．【分析】（1）過D作DM⊥BC于M，結(jié)合等邊對(duì)等角，角平分線的定義得到∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，推出AD∥BC，根據(jù)已知線段長(zhǎng)度和圖形面積可進(jìn)一步推出BC＝CD＝3，得到AB∥CD，可得四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，AC⊥BD，利用勾股定理求出OC，可得AC．【解答】解：（1）四邊形ABCD為菱形，理由是：過D作DM⊥BC于M，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，∴AD∥BC，∵△BCD的面積為，BC＝3，∴，在△BDM中，∠M＝90°，∵，，∴，∵BC＝3，∴CM＝1，∴，∴∠ABD＝∠DBC＝∠CDB，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又AB＝AD，∴四邊形ABCD為菱形；（2）∵四邊形ABCD為菱形，∴，AC⊥BD，∵BC＝3，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確判斷出四邊形ABCD為菱形．【典例1-2】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，△ABC的面積是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，再根據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△ACD，列方程計(jì)算即可得解．【解答】解：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵，∴即，解得：DE＝6，∴DE＝6cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并列出方程是解題的關(guān)鍵．【典例1-3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，∠ACB＝106°，∠ABC的平分線BE與外角∠CAF的平分線AD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H．（1）求∠AEB的度數(shù)．（2）若∠CEH＝∠AEB，AB+BD＝16，AC＝6，且S△ACE＝12，求△ABD的面積．【分析】（1）過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，得出AE是∠CAF的角平分線，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠FAE＝∠FBE+∠AEB，，進(jìn)而得出，即可求解；（2）過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，由（1）可知：EM＝EH＝EN，根據(jù)AC＝6，且S△ACE＝12，得出EM＝EH＝EN＝4，根據(jù)S△ABD＝S△ABE+S△BDE即可求解．【解答】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，∵CE是∠ACD的平分線，BE是∠ABC的平分線，∴EN＝EH，EH＝EN，∴EM＝EN，∴AE是∠CAF的角平分線，∴∠EAM＝∠EAN，∴，∵∠FAE＝∠FBE+∠AEB，∠CAF＝∠ABC+∠ACB，∴，即，∴．（2）解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，由（1）可知：EM＝EH＝EN，∵AC＝6，且S△ACE＝12，則，∴EN＝4，∴EN＝4，∴EM＝EH＝4，∴S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝＝＝＝＝32．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．針對(duì)訓(xùn)練1【變式1-1】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且AE平分∠BAD．（1）求證：DE平分∠ADC；（2）求證：AB+CD＝AD．【分析】（1）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BE＝EF，再求出CE＝EF，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明．（2）利用角平分線的性質(zhì)即可解決問題．【解答】證明：（1）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分線．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等和到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．【變式1-2】如圖，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點(diǎn)C，∠AOB＝30°，點(diǎn)D在邊OB上，且OD＝DP＝2．求線段CP的長(zhǎng)．【分析】過P作PE⊥OB于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出PC＝PE，求出DP∥OA，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出PE即可．【解答】解：過P作PE⊥OB于E，∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA，∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠AOP＝∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB，∵∠AOB＝30°，∴∠PDE＝30°，∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝DP＝1，∴PC＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能求出∠PDE＝30°是解此題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點(diǎn)，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：（1）AM⊥DM；（2）M為BC的中點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD+∠ADC＝180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠MAD+∠ADM＝90°，根據(jù)垂直的定義得到答案；（2）作NM⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BM＝MN，MN＝CM，等量代換得到答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M為BC的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【能力提升1】角平分線的性質(zhì)【提升1-1】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），且滿足（a+2）2＝0，過C作CB⊥x軸于B．（1）求三角形ABC的面積；（2）如圖②，若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度數(shù)；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，從而可得到點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，接下來(lái)，再求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后，依據(jù)三角形的面積公式求解即可；（2）過E作EF∥AC，首先依據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠ODB＝∠6，∠CAB＝∠5，接下來(lái)，依據(jù)平行公理的推理可得到BD∥AC∥EF，然后，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，然后，依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到∠3＝∠CAB，∠4＝∠ODB，最后，依據(jù)∠AED＝∠1+∠2＝∠3+∠4求解即可；（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)和點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸時(shí)，根據(jù)三角形面積相等進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵，∴a+2＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣2，b＝2，∵CB⊥AB，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2），∴△ABC的面積為：×2×4＝4．（2）∵CB∥y軸，BD∥AC，∴∠CAB＝∠5，∠ODB＝∠6，∠CAB+∠ODB＝∠5+∠6＝90°，過E作EF∥AC，如圖所示：∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB，∴∠3＝∠CAB＝∠1，∠4＝∠ODB＝∠2，∴∠AED＝∠1+∠2＝（∠CAB+∠ODB）＝45°．（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸時(shí)，由題意可得點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，三角形ACP和三角形ABC的面積相等，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸時(shí)，由題意可得，以BC為三角形ACP的高，當(dāng)AP＝AB時(shí)三角形ACP以AP為底，BC為高，則此時(shí)三角形ACP和三角形ABC的面積相等，∵AB＝2﹣（﹣2）＝4，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2﹣4＝﹣6，∴點(diǎn)P為（﹣6，0），綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)P，使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6，0）或（2，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式，平行線的性質(zhì)，依據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【提升1-2】如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．（1）求證：OP平分∠AOB；（2）若MN＝8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長(zhǎng)度之和．【分析】（1）過點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C，過點(diǎn)P作PD⊥MN，垂足為D，過點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，先利用角平分線的性質(zhì)定理可得PC＝PD＝PE，再利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答；（2）根據(jù)△PMN的面積是16，可求出PD＝4，從而可得PD＝PC＝PE＝4，然后再利用四邊形MONP的面積＝△PMN的面積+△OMN的面積＝△POM的面積+△PON的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：過點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C，過點(diǎn)P作PD⊥MN，垂足為D，過點(diǎn)P作PE⊥OB，垂足為E，∵M(jìn)P平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，∴PC＝PD，∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，∴PD＝PE，∴PC＝PE，∴OP平分∠AOB；（2）∵△PMN的面積是16，MN＝8，∴MN?PD＝16，∴×8?PD＝16，∴PD＝4，∴PD＝PC＝PE＝4，∵△OMN的面積是24，∴四邊形MONP的面積＝△PMN的面積+△OMN的面積＝16+24＝40，∴△POM的面積+△PON的面積＝40，∴OM?PC+ON?PE＝40，∴OM?4+ON?4＝40，∴OM+ON＝20，∴線段OM與ON的長(zhǎng)度之和為20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【提升1-3】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F．（1）如圖1，點(diǎn)M為邊AC上一點(diǎn)，則BD、MF的位置關(guān)系是平行，并證明；（2）如圖2，點(diǎn)M為邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則BD、MF的位置關(guān)系是垂直，并證明；（3）如圖3，點(diǎn)M為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出BD、MF的位置關(guān)系是垂直．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的判定；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及垂直的判定；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及垂直的判定．【解答】解：BD∥MF，理由如下：（1）過點(diǎn)D作DH⊥BC，∵∠A＝∠BHD＝90°，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△HBD（AAS），∴∠ADB＝∠HDB，∵M(jìn)E⊥BC，∴∠EMC＝∠HDC，∴∠AMF＝∠ADH，∴∠AMF＝∠ADB，∴FM∥BD；（2）BD⊥MF，理由如下：延長(zhǎng)MF交BD于點(diǎn)H，∵∠BAM＝∠BEM＝90°，∠AOM＝∠BOE，∴∠ABC＝∠CME，∴∠AMF＝∠ABD．∵∠AFM＝∠BFM，∴∠BHM＝∠MAB＝90°，∴MF⊥BD．（3）如圖：MF⊥BD．證明方法同理（2）.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形的內(nèi)角和、平行線的判定及垂直的判定，是一道綜合題．【聚焦考點(diǎn)2】尺規(guī)作圖1．尺規(guī)作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫圖稱為尺規(guī)作圖．2．五種基本作圖1）作一條線段等于已知線段；2）作一個(gè)角等于已知角；3）作一個(gè)角的平分線；4）作一條線段的垂直平分線；5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線．3．根據(jù)基本作圖作三角形1）已知三角形的三邊，求作三角形；2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；4）已知三角形的兩角及其中一角的對(duì)邊，求作三角形；5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形4.作圖題的一般步驟（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論．其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡.二、尺規(guī)作圖的方法尺規(guī)作圖的關(guān)鍵1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運(yùn)用幾種基本作圖方法解決問題．【典例剖析2】【典例2-1】如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個(gè)角等于已知角”的示意圖，該作法運(yùn)用了“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”這一性質(zhì)，則判定圖中兩三角形全等的條件是A． B． C． D．【分析】如圖，由作圖可知，，．根據(jù)證明．【解答】解：如圖，由作圖可知，，．在和中，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】尺規(guī)作圖的依據(jù)是邊邊邊公理。【典例2-2】如圖，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形是等腰三角形．其作法錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【分析】．由作法知，可判斷；．由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，可判斷；由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，可判斷；．由作法知是的平分線，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定得到，可判斷．【解答】解：．由作法知，是等腰三角形，故選項(xiàng)不符合題意；．由作法知所作圖形是線段的垂直平分線，不能推出和是等腰三角形，故選項(xiàng)符合題意；由作法知，所作圖形是線段的垂直平分線，，是等腰三角形，故選項(xiàng)不符合題意；．，，，由作法知是的平分線，，，是等腰三角形，故選項(xiàng)不符合題意；故選．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握基本作圖是解決問題的關(guān)鍵。針對(duì)訓(xùn)練2【變式2-1】觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：其中，能夠說(shuō)明的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)中垂線、角平分線、畫等長(zhǎng)線段以及作角平分線等知識(shí)點(diǎn)解答即可．【詳解】解：如圖①為作BC的中垂線，即BD=DC,由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；如圖②為作∠ABC的角平分線，無(wú)法判定;如圖③為以AC為半徑畫弧交AB于D，即;如圖③為作∠ACB的平分線，無(wú)法判定;綜上，①③正確．故選C．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握基本作圖是解決問題的關(guān)鍵。【變式2-2】如圖，在中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以D，E為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線交于點(diǎn)H．若，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B．2 C．1 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)作圖過程可得BH平分∠ABC，當(dāng)HP⊥BC時(shí)，HP最小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得HP的最小值．【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知：BH平分∠ABC，當(dāng)HP⊥BC時(shí)，HP最小，∴HP＝HA＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握基本作圖是解決問題的關(guān)鍵。【能力提升2】【提升2-1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)G．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）中所作的圖形中，求證：AD⊥EF．【解答】（1）解：如圖，（2）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，而DE＝DF，∴AD垂直平分EF，即AD⊥EF．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。【提升2-2】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AB為水平邊，D為AB邊上一點(diǎn)．（1）只用圓規(guī)在B的正上方作一點(diǎn)E，使BE=AD（說(shuō)明作法，不需要證明）；（2）在（1）的條件下，連接DE，若AC=，AD=3，求DE的長(zhǎng)度．【答案】（1）作圖見解析；（2）【分析】（1）以CB為邊在CB右側(cè)作，即可得到答案；（2）利用（1）的全等，證明，即可得解；【詳解】（1）以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作圓，再以B為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)即為所求；（2）如圖，∵，，，∴，，∵，∴，結(jié)合（1）得：，，∵，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本作圖作一個(gè)三角形與已知三角形全等，勾股定理求線段長(zhǎng)度。熟練掌握基本作圖是解題關(guān)鍵。【聚焦考點(diǎn)3】角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語(yǔ)言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP三角形的內(nèi)心三角形三條角平分線的交點(diǎn)。【典例剖析3】【典例3-1】如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．(1)求證：OP平分∠AOB；(2)若MN=8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長(zhǎng)度之和．【答案】(1)證明過程見詳解(2)OM+ON=20【分析】（1）根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，即可求證；（2）通過△PMN的面積等于16可求出（1）中PC，PD，PE的長(zhǎng)度，根據(jù)△PMN與△OMN的面積和等于四邊形MONP的面積，即可將線段OM與ON建立聯(lián)系，由△PMN與△OMN的面積關(guān)系即可求出答案．【詳解】（1）證明：如圖所示，過P作PC⊥MN，∵M(jìn)P平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PD=PE，PC=PE，∴PD=PE，∵PD⊥AO，∴OP平分∠AOB．（2）解：如圖所示，過P作PC⊥MN，PD⊥OA，∵M(jìn)N=8，∴PC=4，由（1）可知PD=PE=PC=4，∵S△PMN∴S四邊形MONP=40∴40=1∴OM+ON=20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線的性質(zhì)與面積的綜合應(yīng)用，理解角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，三角形的面積與線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【典例3-2】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，C，D在同一條直線上時(shí)，求證：AE=BD，AE⊥BD；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A、C、D不在同一條直線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立，為什么；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G，∠AFG的大小固定嗎？若是，求出∠AFG的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析(3)是，∠AFG=45°【分析】（1）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，由對(duì)頂角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；（2）證明△ACE≌△BCD，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；（3）∠AFG=45°，如圖3，過點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，由△ACE≌△BCD，得到S△ACE=S△BCD，AE=BD，證明得到CM=CN，得到CF平分∠BFE，由AF⊥BD，得到∠BFE=90°，所以【詳解】（1）解：證明：如圖1，在△ACE和△BCD中，∵AC=BC∠ACB=∠ECD=90°∴△ACE≌△BCDSAS∴∠1=∠2，AE=BD，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AE⊥BD；（2）成立，證明：如圖2，∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，AE=BD，∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF⊥BD．（3）∠AFG=45°，如圖3，過點(diǎn)C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=∵SS△BCD∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△ACE≌△BCD，得到三角形的面積相等，對(duì)應(yīng)邊相等．針對(duì)訓(xùn)練3【變式3-1】如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面積．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠FAE，根據(jù)補(bǔ)角的定義計(jì)算，得到答案；（2）過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝EG，EF＝EH，等量代換得到EG＝EH，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的面積公式求出EG，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）證明：過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面積＝×AB×EF＝×7×＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之間），DF⊥BC，已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，試求△DFC的周長(zhǎng)．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等即可求得DE＝DF，即可解題．【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠C，∴BD＝CD，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∴△DFC的周長(zhǎng)＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等的性質(zhì)，考查了角平分線平分角的性質(zhì)，考查了三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，本題中求證DE＝DF是解題的關(guān)鍵．【能力提升3】【提升3-1】如圖所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，∠BDC＝40°．（1）求證：點(diǎn)D也在∠CAF的角平分線上；（2）求∠CAD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，由點(diǎn)D分別向BE，BF，AC作垂線DG，DM，DN，利用角平分線的性質(zhì)得DG＝DM＝DN，由角平分線的判定定理得AD平分∠FAC．（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AD平分∠FAC，即可得到∠CAD的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖所示，過D作DG⊥BE于G，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，∴DM＝DG，DN＝DG，∴DM＝DN，又∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴點(diǎn)D在∠CAF的角平分線上；（2）∵∠DCE是△BCD的外角，∠ACE是△ABC的外角，∴∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC，∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC，又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，∴∠DCE＝∠ACE，∠DBC＝∠ABC，∴∠BDC＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝