控制系統(tǒng)的控制過程品質(zhì)主要取決于系統(tǒng)的結構和系統(tǒng)中各組成環(huán)節(jié)的特性。其中起決定性作用的是被控（對象）過程動態(tài)特性，其它控制裝置和控制系統(tǒng)結構設計都是為了最大限度發(fā)揮被控對象（過程）潛力，以取得滿意的控制品質(zhì)、工藝技術指標和最大的生產(chǎn)效率、經(jīng)濟效益。第5章被控過程的數(shù)學模型給定值被控參數(shù)干擾

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控制器變送器執(zhí)行器被控(對象)過程+e檢測值－被控(過程)對象x

(t)y(t)系統(tǒng)特性—是指系統(tǒng)輸入輸出之間的關系；環(huán)節(jié)特性—是指環(huán)節(jié)本身輸入輸出之間的關系。給定值被控參數(shù)干擾

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控制器變送器執(zhí)行器被控(對象)過程+e檢測值－變送器和執(zhí)行器的特性一般是比例關系、控制器的特性由控制規(guī)律決定。本章討論被控對象的特性。被控對象Xri(s)Xci(s)給定值被控參數(shù)干擾

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控制器變送器執(zhí)行器被控(對象)過程+e檢測值－

5.1被控過程數(shù)學模型的作用與要求被控對象大都是生產(chǎn)中的工藝設備，它是控制系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)。無論是設計、還是操作控制系統(tǒng)，都需要了解被控對象的特性，建立其數(shù)學模型。被控過程數(shù)學模型——指被控過程輸入量發(fā)生變化時，過程輸出量的變化規(guī)律。表示其輸入變量與輸出變量之間動態(tài)關系的數(shù)學描述。擾動變量（輸入量）控制變量（輸入量）

被控變量（輸出量）

通道——被控過程的輸入量與輸出量之間的信號聯(lián)系控制通道——控制變量至被控變量的信號聯(lián)系擾動通道——擾動變量至被控變量的信號聯(lián)系擾動變量（輸入量）控制變量（輸入量）

被控變量（輸出量）被控對象在運行過程中有兩種狀態(tài)，一種是穩(wěn)態(tài)，一種是動態(tài)。靜態(tài)數(shù)學模型：系統(tǒng)運行在穩(wěn)定的平衡工況下，輸入變量與輸出變量之間的數(shù)學關系。動態(tài)數(shù)學模型：輸入變量與輸出變量之間動態(tài)關系的數(shù)學描述。數(shù)學函數(shù)關系可以表示為:微分方程、微分方程組、傳遞函數(shù)表達式或狀態(tài)空間模型等。最常用的是傳遞函數(shù)（用拉氏變換表示的對象動態(tài)特性數(shù)學模型）。被控（對象）過程數(shù)學模型的作用被控（對象）過程的動態(tài)特性數(shù)學模型是表示其輸入變量與輸出變量之間動態(tài)關系的數(shù)學描述。其在生產(chǎn)過程工藝分析、設計及控制系統(tǒng)分析與設計方面有著廣泛的應用:指導生產(chǎn)工藝過程及其設備設計、選型與操作被控過程進行仿真研究過程控制系統(tǒng)設計及控制器參數(shù)整定工業(yè)生產(chǎn)過程的故障檢測與診斷培訓運行操作人員被控（對象）過程數(shù)學模型的基本要求為了得到簡潔、實用的模型，在建立被控（對象）過程動態(tài)數(shù)學模型時不得不突出主要因素，忽略次要因素。建立數(shù)學模型總的原則：正確可靠，盡量簡單。這主要是因為，如果模型太復雜，控制系統(tǒng)進行在線參數(shù)整定與系統(tǒng)優(yōu)化的計算量很大。為了保證實時性，必須配置高速在線運算設備，增加控制系統(tǒng)的復雜性和投資成本。在經(jīng)典控制理論中，被控對象的特性一般用單輸入、輸出的傳遞函數(shù)描述，被控對象xr(t)xc(t)Xc(s)Xr(s)W

(s)=過程控制領域經(jīng)常采用具有純滯后的一階和二階模型，帶純滯后的一階最常用。5.2建立被控過程數(shù)學模型的基本方法求對象的數(shù)學模型有兩條途徑：機理法：根據(jù)生產(chǎn)過程的內(nèi)部機理，列寫出有關能量、物料平衡方程和相關的物理、化學等基本規(guī)律的動力學方程、約束方程，通過計算獲得數(shù)學模型。測試法：通過實驗測試，來識別對象的數(shù)學模型。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識，可分為經(jīng)典辨識法和現(xiàn)代辨識法。影響生產(chǎn)過程的因素較多，單純用機理法建模較困難，可用機理法的分析，指導測試結果的辨識。5.3機理法建模5.3.1機理法建模的基本原理雖然被控對象內(nèi)部所進行的物理、化學過程是各式各樣的，但是從控制的觀點看，它們在本質(zhì)上是相同的，可以用相似的數(shù)學方程來描述。過程控制中的過程都離不開物質(zhì)或者能量的流動。從外部流入對象內(nèi)部的物質(zhì)或能量稱為流入量，從對象內(nèi)部流出的物質(zhì)或者能量稱為流出量，只有流入量與流出量保持平衡時，對象才會處于穩(wěn)定的工況。平衡關系一旦遭到破壞，就必然會反映在某一個量的變化。如果流入量不等于流出量，被控過程物質(zhì)（料）與能量的靜態(tài)平衡被打破，這時能量與物質(zhì)（料）平衡關系用動態(tài)平衡表示：單位時間內(nèi)被控過程流入量與流出量之差等于被控過程內(nèi)部存儲量的變化率，用公式表示為單位時間內(nèi)物質(zhì)/能量流入量-

單位時間內(nèi)物質(zhì)/能量流出量=

被控過程內(nèi)部物質(zhì)/能量存儲量變化率通過分析生產(chǎn)過程的內(nèi)部機理，找出變量之間的動態(tài)關系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化學反應定律、電路基本定律等，從而導出對象的數(shù)學模型。5.3.2單容過程建模當對象的輸入輸出可以用一階微分方程式來描述時，稱為單容過程或一階特性對象。大部分工業(yè)對象可以用一階特性描述。典型代表是水槽的水位特性。

5.3.2.1單容貯液箱液位過程I如圖是一個水槽，水經(jīng)過閥門l不斷地流入水槽，水槽內(nèi)的水又通過閥門2不斷流出。工藝上要求水槽的液位h保持一定數(shù)值。在這里，水槽就是被控對象，液位h就是被控變量。如果想通過調(diào)節(jié)閥門1來控制液位，就應了解進水流量Q1變化時，液位h是如何變化的。此時，對象的輸入量是流入水槽的流量Q1，對象的輸出量是液位h。W(S)Q1h機理建模步驟：從水槽的物料平衡關系考慮，找出表征h與Q1關系的方程式。設水槽的截面積為A

Ql0=Q20時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，即靜態(tài)。這時液位穩(wěn)定在h0h0閥門1閥門2Q10Q20假定某一時刻，閥門1突然開大?μ1，

則Q1突然增大，不再等于Q2，于是h也就開始變化。

Q1與Q2之差被囤積在水槽中，造成液位上升。物料平衡方程:（

?Ql-

?Q2）/A=d?h/dtKμ——閥門1比例系數(shù)；μ1——閥門1的開度；式中：h0閥門1閥門2Q10Q20?h?Q1=Kμ?μ1入水閥特性方程：

R2——閥門2阻力系數(shù)，簡稱液阻如何描述出水閥的特性?當Q1變化時，液位h也隨之變化，水箱出口處的靜壓也隨之變化，Q2也發(fā)生變化，由流體力學可知，當流體在紊流情況下，液位h與流量之間為非線性關系。但為了簡化起見，在工作點附近進行線性化處理，在穩(wěn)態(tài)工作點附近的小范圍內(nèi)以切線代替原來的曲線。一般將出水流量方程寫為:Q2與h成比例關系，而與閥門的阻力R2成反比。關于液阻R的說明，見教材第130頁聯(lián)立三個方程（

?Ql-

?Q2）/A=d?h/dt?Q1=Kμ?μ1

將上述方程經(jīng)過Laplace變換，可以畫出單容液位過程方框圖。

即若是將方程消去中間變量，解得寫成標準形式令：T=AR2——時間常數(shù)；K=KμR2——放大倍數(shù)。

進行拉氏變換TSH(S)+H(S)=Kμ1(S)傳遞函數(shù)為：

階躍響應（飛升）曲線輸入量μ1作一階躍變化（Δμ1）時，其輸出（Δh）隨時間變化的曲線。1Δμ1ttΔhKT因則時域表達式又稱一階慣性特性或單容特性因為工藝過程就是能量或物質(zhì)的交換過程，在此過程中，肯定存在能量的儲存和阻力。（1）容量系數(shù)——反映對象存儲能量的能力。

如水槽面積A，它影響時間常數(shù)T的大小。（2）阻力系數(shù)——反映對象對物料或能量傳遞的阻力。如閥門阻力系數(shù)R2，它影響放大系數(shù)K的大小。

T=AR2K=KμR2對象的特性參數(shù)K、T反映了對象的物理本質(zhì)。

有很多對象特性具有單容特性，如RC電路的充電過程：RCuI(t)uR(t)uC(t)即傳遞函數(shù)為：t0URC電路的階躍響應uCtuIU0如果在t=0時，uI(t)做階躍變化，由0上升為U時，

則當t→∞時:uC

(∞)=UuC(t)=U(1-

e–t/RC

)RCuI(t)uR(t)uC(t)5.3.2.2被控過程的自衡特性與單容貯液箱液位過程II從一階慣性特性曲線可以看出，對象在擾動作用下，其平衡狀態(tài)被破壞后，在沒有人工干預或調(diào)節(jié)器干預下，能自動達到新的平衡狀態(tài)，這種特性稱為“自衡特性”。

用自衡率ρ表征對象自衡能力的大小1Δμ1ttΔhKT并不是所有被控過程都具有自衡特性。同樣的單容水槽如果出水用泵抽出，則成為無自衡特性。與放大系數(shù)K互為倒數(shù)如果ρ大，說明對象的自衡能力大。即對象能以較小的自我調(diào)整量Δh（∞），來抵消較大的擾動量Δμ1。1Δμ1ttΔhKTΔQ2

=0

令h0閥門1Q10Q20h單容無自衡特性若閥門1突然開大?μ1，

則Q1增大，Q2不變化。

?Q1=Kμ?μ1—稱飛升速度則：傳函：即：

Δh（t）=∫εΔμ1dt—又稱積分特性h0閥門1Q10Q20h若閥門1開度階躍增大?μ1，

則Δh（t）持續(xù)增長。

tΔμ1h0tΔh圖5.5非自衡單容液位控制過程階躍響應曲線μ0將方程兩邊積分，可得到被控過程的自衡能力和無自衡能力自衡能力：

過程在輸入量作用下，平衡狀態(tài)被破壞后，無須人或儀器的干擾，依靠過程自身能力，逐漸恢復達到另一新的平衡狀態(tài)，此特性稱為自平衡能力無自衡能力：

被控過程在輸入量作用下，其平衡狀態(tài)被破壞后，沒有人或儀器的干預，依靠過程自身能力，最后不能恢復其平衡狀態(tài)，此特性稱為無自平衡能力。2如何畫出單容無自衡特性過程的方框圖?5.3.2.3單容溫度過程建模及其他單容過程某電容電加熱過程，容器內(nèi)液體的總熱容為C，液體的比熱容為Cp，流體流量（流入、流出相等）為q，液體以溫度Ti流入加熱容器，以溫度Tp流出加熱容器。求電加熱電壓u和液體輸出溫度Tp之間的關系單電容電加熱熱力過程把加熱器看作一個獨立的隔離體，設容器所在的環(huán)境溫度為Tc。根據(jù)能量平衡關系，單位時間進入容器的熱量Q1與單位時間流出的熱量Q2之差等于容器內(nèi)熱量儲存的變化率。而式中為流入液體帶來的熱量。

為容器向周圍散發(fā)的熱量。當加熱處于穩(wěn)態(tài)時，即Tp保持不變，此時，從加熱器輸出的熱量等于從外部輸入的熱量用增量表示變量對于穩(wěn)態(tài)值的變化量可得：假設q，Ti，Tc不變，所以有綜合上述各式可得在工作點附近進行線性化處理可得代入上式可得進行拉氏變換可得其中5.3.3多容過程建模有一個以上貯蓄容量的過程稱為多容過程。5.3.3.1多容液位過程如圖為由兩個管路分離的水箱串聯(lián)組成雙容對象。以閥門1的開度μ1為輸入，第二水箱的液位h2為輸出，建立該液位過程的數(shù)學模型。Δμ1C2兩種雙容水箱的建模Δμ1C2A1A2R2R3Kμ可以求出傳遞函數(shù)：由兩個一階慣性特性乘積而成。又稱二階慣性。式中：T1＝A1R2T2＝A2R3K＝KμR3Δμ1C2A1A2R2R3Kμ如何畫出雙容液位過程的方框圖?如何畫出雙容液位過程的方框圖?課堂練習如何建立串聯(lián)式雙容水箱的數(shù)學模型?并畫出液位過程的方框圖當輸入量是階躍增量Δμ1

時，被控變量Δh2的響應（飛升）曲線呈S型。

0tΔh2（∞）Δh2

5.3.3.2容量滯后與純滯后1.容量滯后0tτcT0多容過程對于擾動的響應，在時間上存在的滯后就稱為容量滯后，產(chǎn)生容量滯后的原因，主要是多個容積之間存在著阻力。在S形曲線的拐點上作一切線，在時間軸上截出的時間段τc來表示容量滯后。為了模型簡單，多容特性可以用帶滯后的單容過程來近似。被控過程的容量系數(shù)C越大，τc越大；容量個數(shù)越多（階數(shù)n越多），階躍響應曲線上升越慢。Δh(∞)OtΔhn=1n=2n=3n=4n=5

Δh2（∞）0tτcT0在S形曲線的拐點上作一切線，若將它與時間軸的交點近似為反應曲線的起點，則曲線可表達為帶滯后的一階特性：?h2(t)=K0?μ1

(1－e)t≥τc

-(t－τc)T00t<τc2.純滯后由信號或能量的傳輸時間造成的滯后現(xiàn)象，稱為純滯后。下圖是一個具有純滯后的單容液位過程。流入的流量Q1要經(jīng)過長度為

l的

水槽延遲。v——水的流速；

純滯后時間t寫出該純滯后過程的增量化方程組：可得以閥門1的開度μ1為輸入，水箱液位h為輸出的液位過程數(shù)學模型傳遞函數(shù)為:0tτ0

Δh有些對象容量滯后與純滯后同時存在，很難嚴格區(qū)分。常把兩者合起來，統(tǒng)稱為滯后時間τ

τ=τo+τct0τcT0Δh2（∞）τ0不論是純滯后還是容量之后，都對控制系統(tǒng)的品質(zhì)產(chǎn)生非常不利的影響，由于滯后的存在往往會導致擾動作用不能及時察覺，控制作用不及時，造成控制效果不好，甚至無法控制。5.4測試法建模根據(jù)工業(yè)過程中某因果變量的實測數(shù)據(jù)，進行數(shù)學處理后得到的數(shù)學模型。測定對象特性的實驗方法主要有三種：（1）時域法——輸入階躍或方波信號，測對象的飛升曲線或方波響應曲線。（2）頻域法——輸入正弦波或近似正弦波，測對象的頻率特性。（3）統(tǒng)計相關法——輸入隨機噪音信號，測對象參數(shù)的變化。5.4.1階躍響應曲線法建模給對象輸入一階躍信號或方波信號測其輸出響應。1．階躍響應曲線的直接測定1Δμ1ttΔhKT在被控過程處于開環(huán)、穩(wěn)態(tài)時，將選定的輸入量做一階躍變化（如將閥門開大），測試記錄輸出量的變化數(shù)據(jù)，所得到的記錄曲線就是被控過程的階躍響應曲線。2試驗注意事項：

1.合理的選擇階躍輸入信號的幅值。一般取為被控過程正常輸入信號的5%-15%之間。2.在輸入信號前，被控過程必須處于相對穩(wěn)定的運行狀態(tài)。3.要仔細記錄階躍曲線的起始部分。4.多次試驗，消除非線性。在相同的試驗條件下重復做幾次測試，需獲得兩次以上比較接近的測試數(shù)據(jù)，以減少干擾的影響；在試驗時應在階躍信號做正、反方向變化時分別測試取其響應曲線，求其過程的真實特性。有些工藝對象不允許長時間施加較大幅度的擾動，那么施加脈寬為△t的方波脈沖，得到的響應曲線稱為“方波響應”。２．矩形脈沖法測定被控過程的階躍響應曲線

一個是在t=0時加入的正階躍信號x1（t）另一個是在t=Δt

時加入的負階躍信號x2（t）x（t）=x1（t）+x2（t）其中，x2（t）=-x1（t-Δt）方波響應可以轉換成飛升曲線。原理：方波信號是兩個階躍信號的代數(shù)和。＋ΔtΔttttxxxx0x0x0根據(jù)此式，方波響應可逐點拆分為飛升曲線y1（t）和y2（t）。對應的響應也為兩個階躍響應之和：y（t）=y1（t）+y2（t）=y1（t）-y1（t-Δt）ty2(t)OtxOO

tΔtΔtx1(t)x2(t)=—x1(t-Δt)Δtxy1(t)y(t)y(t)y1（t）=y（t）+y1（t-Δt）因此可以求得階躍響應曲線飛升曲線y1（t）ty2(t)OtxOO

tΔtΔtx1(t)x2(t)=—x1(t-Δt)Δtxy1(t)y(t)y(t)具體作圖過程見教材140頁y1（t）=y（t）+y1（t-Δt）課堂作業(yè):將矩形脈沖響應曲線轉化為階躍響應曲線5.4.1.2由階躍響應曲線確定被控過程傳遞函數(shù)大多數(shù)工業(yè)對象的特性可以用具有純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)來近似描述：1xtty0tyττ00對于少數(shù)無自衡特性的對象，可用帶滯后的積分特性近似描述：

xtty0tyττ00由對象的階躍響應曲線基本可以辨識對象的特性模型結構和特性參數(shù)。一階對象的特性參數(shù)都具有明顯的物理意義：由階躍響應曲線確定一階慣性加滯后環(huán)節(jié)模型ttx0y(∞)yx放大倍數(shù)K的物理意義K表明了穩(wěn)態(tài)時，輸出對輸入的放大倍數(shù)。求法：

K=y(∞)/

x0K越大，表示對象的輸入對輸出的影響越大。時間常數(shù)的物理意義對象受到階躍輸入后，輸出達到新的穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時間，就是時間常數(shù)T。或對象受到階躍輸入后，輸出若保持初始速度變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需時間就是時間常數(shù)。tT0.632y∞)求法：在相同的階躍輸入作用下，對象的時間常數(shù)不同時，被控變量的響應曲線如圖所示。

T反映了對象輸出對輸入的響應速度T越大，響應越慢。如水槽對象中T=ARS

，說明水槽面積越大，水位變化越慢。T也反映了過渡過程時間被控變量變化到新的穩(wěn)態(tài)值所需要的時間理論上需要無限長。當t→∞時，才有y＝Kx0，但是當t=3T時，便有：

即：經(jīng)過3T時間，輸出已經(jīng)變化了滿幅值的95％。這時，可以近似地認為動態(tài)過程基本結束。tTy∞)3T例：被控過程的單位階躍響應是一條S形單調(diào)曲線，用有純滯后的一階環(huán)節(jié)近似描述該過程的特性。作圖法：0tTy（∞）τ

1）在響應曲線的拐點處作一條切線，該切線與時間軸的交點切出τ；2）以τ為起點，與y(∞)的交點切出的時間段為T；3）K=y(∞)/x0由于階躍響應曲線的拐點不易找準，切線的方向也有較大的隨意性，因而作圖法求得的T、τ值誤差較大。可以用計算法來求特性參數(shù)。計算法的原理是根據(jù)曲線上的已知兩點解方程。兩點法：先將y（t）轉換成無量綱的形式y(tǒng)*（t）。0t1y*(t)有滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，單位階躍響應為：

0t<τ

t≥τy*(t)=y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)在無量綱飛升曲線上，選取t1、t2兩時刻的響應y*（t）的坐標值：

解方程組

得

y*（t1）=0.39(ln0.607=-0.5)y*（t2）=0.632(ln0.368=-1)τ=2t1–t2T=2（t2-t1）y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)為計算方便，取特殊兩點：則作圖法、計算法哪種方法在考試中得分高?A作圖法B計算法y*(t2)y*(t1)

t1

t20t1y*(t)

0t<τ

t≥τy*(t)=計算法要檢驗2、由階躍響應曲線確定二階及高階模型特性參數(shù)K，若用0tTy（∞）τ來近似如圖所示的階躍響應曲線。放大倍數(shù)K為：

K=y(∞)/

x0純滯后時間可根據(jù)階躍響應曲線開始出現(xiàn)變化的時刻來確定。y(t)在時間軸上截去純滯后，化為無量綱形式的階躍響應截去純滯后并化為無量綱形式后可得到：與上式對應的單位階躍響應為：可利用階躍響應曲線上兩個點的數(shù)據(jù)確定T1和T2，一般選取，兩點，再從曲線上確定對應的t1和t2可得到方程組：可求出近似解：當時，被控過程可近似為二階慣性環(huán)節(jié)；當時，被控過程可近似為一階慣性環(huán)節(jié)；當時，被控過程可近似為一階慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)為：當時，被控過程可近似為時間常數(shù)為：當時，被控過程應采用高于二階的環(huán)節(jié)近似，即時間常數(shù)為：式中的n可根據(jù)查表。3、由階躍響應曲線確定無自衡被控過程數(shù)學模型的特性參數(shù)無自衡被控過程的階躍響應隨時間將無限增大，但其變化率會趨于一個常數(shù)。若用來近似右圖的階躍響應曲線，為了確定時間常數(shù)T

，作階躍響應曲線的漸近線與時間軸交于，與時間軸的夾角為。可得到則有上述方法比較簡單，但在到A這一段誤差較大。若要求保證這一段的精確度，可采用來近似被控過程的傳遞函數(shù)。在之間，可取純滯后。在階躍響應達到穩(wěn)態(tài)時是積分作用為主，有在時間段，慣性環(huán)節(jié)起作用，可取檢驗，設階躍輸入為，則在之間，y(t)=0;當時，當時，

用階躍響應法辨識被控過程數(shù)學模型的方法在工程實際中應用最廣泛，也比較簡便有效。但是，相應曲線法需要進行專門的試驗，生產(chǎn)過程需要由正常運行狀態(tài)轉入偏離正常運行的試驗狀態(tài)，對生產(chǎn)的正常運行或多或少會造成一定影響。5.4.2測定動態(tài)特性的頻域法被控過程的動態(tài)特性也可用頻率特性來表示：方法：在對象的輸入端加特定頻率的正弦信號，同時記錄輸入和輸出的穩(wěn)定波形（幅度與相位）。在選定范圍的各個頻率點上重復上述測試，便可測得該對象的頻率特性。y（t）x（t）優(yōu)點：能直接從記錄曲線上求得頻率特性。注意:需要考慮噪聲的影響頻率特性測試裝置的工作原理：對激勵輸入信號進行波形變換，得到幅值恒定的正余弦參考信號，把參考信號與被測信號進行相關處理，所得常值部分保存了被測信號基波的幅值和相角信息。被測過程頻率特性的同相分量

正交分量幅值相角5.4.3測定動態(tài)特性的統(tǒng)計相關分析法相關分析法是在生產(chǎn)正常進行中，向被控過程輸入一種對正常生產(chǎn)過程影響不大的特殊信號——偽隨機測試信號，通過對被控過程的輸入、輸出數(shù)據(jù)進行相關分析得到被控過程的數(shù)學模型；有時也可以不加專門信號，直接利用生產(chǎn)過程正常運行時所記錄的輸入、輸出數(shù)據(jù)，進行相關分析得到數(shù)學模型。這種方法對系統(tǒng)運行干擾程度低。若系統(tǒng)備有計算機在線工作，整個試驗可由計算機完成。相關分析法的基本方法：向被控過程輸入隨機信號x(t)，測量輸出信號y(t)，計算出輸入信號的自相關函數(shù)Rxx(τ)和輸入信號與輸出信號的互相關函數(shù)Rxy(τ)；再通過Rxx(τ)和Rxy(τ)求出被控過程的沖激響應g(t)，最后通過Laplace變換求出傳遞函數(shù)G(s)。1.有關隨機過程的基本概念

1)隨機變量、隨機信號及隨機過程

在研究被控過程的特性時，常常需要進行某種試驗，如果試驗重復多次，即使試驗條件完全相同，每次觀測結果也會有所差別。對于這種現(xiàn)象，通常稱之為隨機現(xiàn)象或概率現(xiàn)象。一般來說，在相同條件下重復觀測同一事件，若用X表示觀測數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，X會隨不同觀測而變化。這種變化是隨機的，沒有什么確定規(guī)則。但是，對于大量觀測來說，X的變化可能遵循某種概率統(tǒng)計規(guī)律，則稱X為隨機變量。在圖中，x1(t)是隨時間隨機變化的信號，稱為隨機信號。同樣，x2(t)…xn(t)都是隨機信號，用X(t)表示這一信號簇x1(t),x2(t)…xn(t)。X(t)不僅隨不同的觀測曲線有所不同，還會隨時間變化。將X(t)稱為隨機函數(shù)或隨機過程，把xi(t)稱為隨機過程的一個實現(xiàn)。2)隨機過程的統(tǒng)計描述——總體平均值和均方值

隨機過程一般只能用統(tǒng)計描述方法來刻畫它的數(shù)學特征。若有K個隨機信號實現(xiàn)，K又足夠大，就可以用隨機信號在t=T1時刻的總體平均值和總體均方值來描述隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律，即

隨機信號的總體平均值和總體均方值，體現(xiàn)了隨機過程的統(tǒng)計特性。3)各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程如果隨機過程的統(tǒng)計特性在各個時刻都不變，即有

這樣的隨機過程稱為平穩(wěn)隨機過程。

如果平穩(wěn)隨機過程在任一時刻的總體平均值與任意一個隨機信號的時間平均值相等，則稱其為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機過程。

4)自相關函數(shù)與互相關函數(shù)

若信號x(t)在時刻t的值總是在一定程度上影響時刻t+τ的值x(t+τ)，則稱x(t)與x(t+τ)是相關的。一個信號的未來值與現(xiàn)在值之間的依賴關系，即相關程度可用“自相關函數(shù)”Rxx(τ)來度量。Rxx(τ)定義如下：

兩個信號x(t)和y(t)之間的互相關函數(shù)Rxy(τ)的定義如下：5)功率譜密度

信號x(t)的自相關函數(shù)Rxx(τ)是對信號時域特性的描述，對于Rxx(τ)（時間函數(shù)）進行Fourier變換，就得到信號特性的頻域描述。在Fourier變換中，考慮到Rxx(τ)是τ的偶函數(shù)這一性質(zhì)，其變換結果事實上是ω的實函數(shù)。用Sxx(ω)表示即為Sxx(ω)稱為信號x(t)的譜密度函數(shù)，或稱能量譜密度。6)白噪聲

白噪聲具有特殊的物理性質(zhì)，是系統(tǒng)辨識中具有重要意義的激勵信號。白噪聲的定義是：如果平穩(wěn)隨機信號x(t)的能量譜密度Sxx(ω)恒定不變，即則稱x(t)為白噪聲。

白噪聲信號只是理論抽象，實際并不存在。但是，當某個實際隨機信號的頻帶遠遠大于物理系統(tǒng)的頻帶，且在該物理系統(tǒng)的通頻帶內(nèi)實際信號的Sxx(ω)幅值基本不變時，就可近似看作白噪聲信號。辨識被控過程的數(shù)學模型時，若采用白噪聲作為輸入信號，將會使辨識的計算變得非常簡單。

7)偽隨機M序列

雖然采用白噪聲作為輸入信號辨識被控過程的數(shù)學模型時，會使辨識工作變得非常簡單。但用物理方法產(chǎn)生白噪聲信號非常困難，因此人們就研究探討了另一種信號作為替代，這就是所謂的偽隨機二位式最大周期長度序列信號，簡稱M序列信號。人們研究發(fā)現(xiàn)，M序列信號的自相關函數(shù)比較接近δ函數(shù)，其統(tǒng)計特性也很接近白噪聲，而且容易產(chǎn)生。此外，用M序列信號作為過程辨識的輸入測試信號，具有抗干擾能力強、對系統(tǒng)正常運行影響小、接近于最佳測試信號等優(yōu)點。由于M序列信號是人為產(chǎn)生的，具有某些隨機信號的統(tǒng)計特性，故稱偽隨機信號。偽隨機二位式M序列信號（簡稱PRBS）具有下列特征：PRBS只有±a兩個電平，正負電平切換總是發(fā)生在時間間隔Δt的整數(shù)倍上。此處Δt稱作碼元寬度，具體大小可根據(jù)被辨識系統(tǒng)的截止頻率確定。

PRBS是周期性信號，周期T=NΔt，N取奇整數(shù)。若PRBS為最大長度序列（M序列），則應取N=2n-1，其中n為整數(shù)，N相應是7，15，31等，稱為周期長度。n取不同數(shù)值，PRBS則有不同周期長度。在一個周期中，PRBS有(N+1)/2個碼元寬度為“1”電平，另外(N-1)/2個碼元寬度為“0”電平。實際使用中，常將+a電平規(guī)定為“0”電平，-a電平規(guī)定為“1”電平。作為隨機序列信號，可能會接連出現(xiàn)若干個“0”或若干個“1”。我們把兩個“1”之間所夾的“0”的個數(shù)稱作“0”游程長度，兩個“0”之間所夾的“1”的個數(shù)稱作“1”游程長度。對于PRBSM序列信號，游程個數(shù)和長度的規(guī)律是：每一個周期中，各種長度的游程總數(shù)為2n-1個，其中“1”游程的總個數(shù)與“0”游程總個數(shù)各占一半。長度為n的“1”游程和長度為n-1的“0”游程各有一個。長度為i的游程個數(shù)為2n-i-1個，其中“1”游程個數(shù)和“0”游程個數(shù)各占1/2。一旦掌握了游程個數(shù)和長度的出現(xiàn)規(guī)律，M序列的確定就只剩下各種長度的“1”游程和“0”游程怎么排列的問題了。因此，游程問題對于M序列信號的判斷和確定都十分重要。在實際應用中，總把M序列的邏輯“0”和邏輯“1”變換成幅度為a和-a的序列，如下圖所示，該信號為111100010011010。M序列信號的自相關函數(shù)：其相應圖形如下圖所示：由圖可見，若N夠大，Δt足夠小時，圖中三角波的水平線與橫坐標之間的距離將趨于零，自相關函數(shù)Rxx(τ)就近似為理想脈沖，此時的M序列信號則近似于白噪聲。2.相關函數(shù)法辨識被控過程的數(shù)學模型的基本原理

相關函數(shù)法辨識被控過程數(shù)學模型的基本依據(jù)是Wiener-Hopf方程。

由Wiener-Hopf方程可知，只要知道輸入的自相關函數(shù)以及輸入和輸出之間的互相關函數(shù)，即可推求出被控過程的單位脈沖響應g(t)。對g(t)進行Laplace變換，可求得被控過程的傳遞函數(shù)G(s)，也就辨識出了過程的數(shù)學模型。3.

用白噪聲信號辨識被控過程的數(shù)學模型

用白噪聲信號作為被控過程的輸入，由于白噪聲信號的自相關函數(shù)Rxx(τ)=Kδ(τ)，將其代入Wiener-Hopf方程中可得即有

可見，只要在被控過程輸入端加上白噪聲試驗信號，測取輸入與輸出之間的互相關函數(shù)Rxy(τ)，由上式求取g(t)是很簡單的。Rxy(τ)的測取方法是先對x(t)和y(t)進行采樣，由下式計算

理論上要求N無窮大，實際中不可行。解決的方法是采用周期性的白噪聲。周期性白噪聲的Rxx(τ)=Kδ(τ-nT)是周期性δ函數(shù)。在周期白噪聲輸入下，互相關函數(shù)也是周期性的，其計算也只要在一個周期內(nèi)進行就可以了。如果周期白噪聲輸入信號的周期T足夠大，被測過程的脈沖響應在一個周期內(nèi)可以衰減為零，在周期內(nèi)則有

因此，采用周期白噪聲作為輸入測試信號，Rxy(τ)的計算顯得特別簡單。

采用周期白噪聲輸入信號雖然簡化了計算，但是，周期白噪聲的產(chǎn)生卻很困難。白噪聲本身是隨機信號，要使兩兩周期內(nèi)的信號形式和狀態(tài)完全相同，這幾乎是不可能的。所以，上述關于周期白噪聲作為輸入試驗信號的討論，只有理論上的意義，并無實用價值。實際中常常采用的是二電平M序列偽隨機信號。4.采用二電平M序列偽隨機信號辨識數(shù)學模型1)M序列信號的產(chǎn)生M序列信號可以用線性移位寄存器產(chǎn)生。如圖所示，將n個具有移位功能的觸發(fā)器連接成一排，組成移位寄存器。

圖中，每個方塊代表一級觸發(fā)器，可存放一位二進制數(shù)“0”或“1”，并用Ci表示。在移位脈沖作用下，一排數(shù)碼C1,C2,…,Cn都右移一位。每級的狀態(tài)經(jīng)過模2域求和后反饋第一級的輸入端并作為第一級的移位數(shù)碼輸入，而第n級Cn每移位一次輸出一個數(shù)碼。這樣，在移位脈沖作用下，就會在輸出端形成一個二位式序列。

在上圖中，F(xiàn)i表示各級是否參與反饋，F(xiàn)i為“l(fā)”表示該級參與反饋，F(xiàn)i為“0”表示不參與反饋。Fi取不同的值，就組成不同的反饋邏輯，移位寄存器就有不同的二位式序列輸出。

如下圖所示的四級移位寄存器，C3與C4作模2求和后輸入第一級的輸入端。A.若(C1,C2,C3,C4)初始狀態(tài)為(0,0,0,0)時，在移位脈沖的激勵下，輸出序列為：000000000000000000000……B.若(C1,C2,C3,C4)初始狀態(tài)為(1,0,0,0)時，在移位脈沖的激勵下，輸出序列為：000100110101111，000100110101111，000100110101111，000100110101111，……C.若(C1,C2,C3,C4)初始狀態(tài)為(0,0,1,0)時，在移位脈沖的激勵下，輸出序列為：010011010111100，010011010111100，010011010111100，010011010111100,……D.若(C1,C2,C3,C4)初始狀態(tài)為(1,1,1,1)時，在移位脈沖的激勵下，輸出序列為：111100010011010，111100010011010，111100010011010，111100010011010,……。

除了初始狀態(tài)全為零時，輸出序列全為“0”之外，其余三種初始狀態(tài)的輸出序列順序每隔15位重復一次，構成周期長度為15的周期序列；在給定的反饋邏輯條件下，任一非零初始狀態(tài)所得到的一個序列都可以通過其它序列的平移得到。反饋組合邏輯不同，同樣級數(shù)的移位寄存器輸出序列周期長度不一樣。2)M序列信號有關參數(shù)的確定

產(chǎn)生M序列信號還需確定周期長度N、脈沖寬度Δt以及電平幅度a等參數(shù)，這幾個參數(shù)的確定原則如下：脈沖寬度（碼元寬度、步長）Δt的確定，一般取Δt=(2~3)τC，τC為被測過程的截止周期。也可根據(jù)被測過程的頻帶寬度確定。N的確定，N應根據(jù)被測過程的過渡過程時間ts而定。只有使M序列信號周期T大于ts

，才能保證一個周期內(nèi)計算所得的Rxx(τ)具有足夠的準確度。因此，一般取NΔt=(1.2~1.5)ts。電平幅度a的確定，a的大小應根據(jù)被測過程的動態(tài)線性范圍以及生產(chǎn)工藝要求而定，a的最大幅值不應超過被測過程的線性變化范圍。在此基礎還要考慮生產(chǎn)工藝允許的輸出偏離大小。在二者均滿足的前提下，電平幅度a應盡量大一些，以便盡可能提高輸出測量的準確度。

利用相關函數(shù)法辨識過程的數(shù)學模型，主要是依據(jù)Wiener-Hopf方程，通過求取相關函數(shù)，計算出被測過程的脈沖響應，從而得到數(shù)學模型。3)根據(jù)試驗測試數(shù)據(jù)辨識過程的數(shù)學模型在被測過程正常運行情況下進行試驗辨識時，施加在過程輸入端的信號是M序列信號與正常運行輸入的疊加，過程輸出也相應為M序列信號正常運行輸入引起的輸出與引起的輸出的疊加。由Wiener-Hopf方程可得：式中

式中，Rxy(τ)是M序列信號與被測過程的總輸出之間的互相關函數(shù)。根椐下式計算Rxy(τ)

再根據(jù)下式求取被測過程的單位脈沖響應

最后對上式取Laplace反變換即可確定出被測過程的傳遞函數(shù)模型。5.4.4最小二乘法建立被控過程的數(shù)學模型前面討論的方法都是建立連續(xù)時間數(shù)學模型。為了適應計算機控制技術的發(fā)展，需要建立被控過程的離散時間數(shù)學模型。最小二乘法原理：（在n和τ0已知的前提下）根據(jù)輸入、輸出數(shù)據(jù)，推算模型參數(shù)a1,a2,…,an及b1,b2…

bn的方法，以使系統(tǒng)方程在最小方差意義上與輸入輸出數(shù)據(jù)相符合。過程建模的任務：1、確定模型的結構2、確定模型結構中的參數(shù)值最小二乘回歸原理分析：

例：某市場在t時刻黃瓜銷量的數(shù)據(jù)如下(其中qt表示t時刻銷售黃瓜的數(shù)量,單位為:斤,pt表示t時刻的銷售價格,單位為:元）：這是一個確定性關系:若x、y之間的關系是隨機的，例如這時，方程的形式為

稱為隨機擾動或隨機誤差項.其中為隨機變量.設對y及x做n次觀測得數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n).以(xi,yi)為坐標在平面直角坐標系中描點,所得到的這張圖便稱之為散點圖.若散點呈直線趨勢,則認為y與x的關系可以用一元回歸模型來描述.設線性回歸方程為

Y=a+bx+ε

其中:ε是隨機誤差,ε～N(0,σ2).將(xi,yi)(i=1,2,…,n)逐一代入上式:二元函數(shù)的最小值點稱為a,b的最小二乘估計(簡記為OLSE).記其中所以方程組有解,解得其中即最小二乘估計所得回歸方程為回歸直線經(jīng)過散點幾何中心如果對被控過程的輸入信號u(t)、輸出信號y(t)進行采樣，則可得到一組輸入序列u(k)和輸出序列y(k)：線性定常對象U(t)y(t)······輸入序列和輸出序列之間的關系總可用差分方程進行描述（純滯后時間已剔除）。y(k)+a1y(k－1)+a2y(k－2)+???+any(k－n)＝b1u(k－1)+b2u(k－2)+???+bnu(k－n)式中:k——采樣次數(shù)；n——模型階數(shù)在確定了模型的階數(shù)n后；還需要確定上述模型中的參數(shù)ai、bi。

考慮到測量誤差、模型誤差和干擾的存在，實際的差分方程表示如下：其中，e(k)表示這一誤差（稱為模型殘差）若通過現(xiàn)場試驗或監(jiān)測，采集到n+N對輸入輸出數(shù)據(jù)代入上述差分方程，得到式中，N≥2n+1將此方程組寫成矩陣形式，即

2最小二乘法估計就是選擇參數(shù)使損失函數(shù)最小將基于參數(shù)估計值的殘差值代入損失函數(shù)，可得求得使J達到最小值的參數(shù)值即可得若非奇異，可得唯一的最小二乘參數(shù)估計值缺點：隨著數(shù)據(jù)的不斷增加，上式計算不適合在線辨識。最小二乘遞推算法遞推算法的優(yōu)點：每次計算只需采用k+1時刻的輸入/輸出數(shù)據(jù)修正k時刻的參數(shù)估計值，從而使參數(shù)估計值不斷更新，而無需對所有數(shù)據(jù)進行重復計算，適合于在線辨識。其核心思想是下一時刻的參數(shù)估計值等于上一時刻參數(shù)估計值加一項修正項其信息變換圖如下：把由n+N對數(shù)據(jù)獲得的最小二乘參數(shù)估計值記為在n+N對數(shù)據(jù)的基礎上再增加一對實測數(shù)據(jù)時，輸出矢量Y增加一個元素，矩陣X增加一行，記為式中由式（5-92）可知，由n+N對數(shù)據(jù)求得的最小二乘參數(shù)估計值將Y(N+1),X(N+1)代入式(5-92),