§3.1導數的概念及其意義、導數的運算課標要求1.了解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.2.通過函數圖象，理解導數的幾何意義.3.能夠用導數公式和導數的運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數的導數．知識梳理1．導數的概念(1)函數y＝f(x)在x＝x0處的導數記作________或____________．f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝__________________________________.(2)函數y＝f(x)的導函數(簡稱導數)f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．導數的幾何意義函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的________，相應的切線方程為________________________．3．基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝__________f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝__________f(x)＝sinxf′(x)＝__________f(x)＝cosxf′(x)＝__________f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝__________f(x)＝exf′(x)＝__________f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝__________f(x)＝lnxf′(x)＝__________4.導數的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝____________；[f(x)g(x)]′＝________________________；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝____________.5．復合函數的定義及其導數復合函數y＝f(g(x))的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝____________，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．常用結論1．在點處的切線與過點的切線的區別(1)在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條．(2)過點的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq\f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．()(2)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線．()(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.()(4)(e－x)′＝－e－x.()2．若函數f(x)＝3x＋sin2x，則()A．f′(x)＝3xln3＋2cos2xB．f′(x)＝3x＋2cos2xC．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)＋cos2xD．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)－2cos2x3．(選擇性必修第二冊P70T7改編)曲線y＝eq\f(1,2)x2－2在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))處的切線的傾斜角是________．4．(選擇性必修第二冊P82T11改編)設曲線y＝e2ax在點(0,1)處的切線與直線2x－y＋1＝0垂直，則a的值為________.題型一導數的運算例1(1)(多選)下列求導正確的是()A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2xcosx＋4sinx,x3)D．(ln2x)′＝eq\f(1,2x)(2)(2023·河南聯考)已知函數f(x)滿足f(x)＝2f′(1)lnx＋eq\f(x,e)(f′(x)為f(x)的導函數)，則f(e)等于()A．e－1 B.eq\f(2,e)＋1C．1 D．－eq\f(2,e)＋1跟蹤訓練1(多選)下列命題正確的是()A．若f(x)＝xsinx－cosx，則f′(x)＝sinx－xcosx＋sinxB．設函數f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝eC．已知函數f(x)＝3x2ex，則f′(1)＝12eD．設函數f(x)的導函數為f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，則f′(2)＝－eq\f(9,4)題型二導數的幾何意義命題點1求切線方程例2(1)(2023·全國甲卷)曲線y＝eq\f(ex,x＋1)在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))處的切線方程為()A．y＝eq\f(e,4)x B．y＝eq\f(e,2)xC．y＝eq\f(e,4)x＋eq\f(e,4) D．y＝eq\f(e,2)x＋eq\f(3e,4)(2)(2022·新高考全國Ⅱ)曲線y＝ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為________________，__________________.命題點2求參數的值(范圍)例3(1)(2024·瀘州模擬)若直線y＝kx＋1為曲線y＝lnx的一條切線，則實數k的值是()A．eB．e2C.eq\f(1,e)D.eq\f(1,e2)(2)(2022·新高考全國Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是____________________．思維升華(1)處理與切線有關的問題，關鍵是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．(2)注意區分“在點P處的切線”與“過點P的切線”．跟蹤訓練2(1)(2023·深圳質檢)已知f(x)為偶函數，當x<0時，f(x)＝x3－x，則曲線y＝f(x)在點(1,0)處的切線方程是()A．2x－y－2＝0 B．4x－y－4＝0C．2x＋y－2＝0 D．4x＋y－4＝0(2)若函數f(x)＝x－eq\f(1,x)＋alnx存在與x軸平行的切線，則實數a的取值范圍是________．題型三兩曲線的公切線例4(1)(2024·青島模擬)已知定義在區間(0，＋∞)上的函數f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3lnx－x，若以上兩函數的圖象有公共點，且在公共點處切線相同，則m的值為()A．2B．5C．1D．0(2)若兩曲線y＝lnx－1與y＝ax2存在公切線，則正實數a的取值范圍是()A．(0,2e] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e－3，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)e－3)) D．[2e，＋∞)__________________________跟蹤訓練3(1)(2023·青島模擬)若曲線C1：f(x)＝x2＋a和曲線C2：g(x)＝4lnx－2x存在有公共切點的公切線，則a＝________.(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝lnx＋1，則f(x)與g(x)的公切線有()A．0條B．1條C．2條D．3條

§3.2導數與函數的單調性課標要求1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.2.能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次).3.會利用函數的單調性判斷大小，求參數的取值范圍等簡單應用．知識梳理1．函數的單調性與導數的關系條件恒有結論函數y＝f(x)在區間(a，b)上可導f′(x)>0f(x)在區間(a，b)上____________________f′(x)<0f(x)在區間(a，b)上____________________f′(x)＝0f(x)在區間(a，b)上是____________________2.利用導數判斷函數單調性的步驟第1步，確定函數f(x)的______________；第2步，求出導數f′(x)的______________；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f′(x)在各區間上的正負，由此得出函數y＝f(x)在定義域內的單調性．常用結論1．若函數f(x)在(a，b)上單調遞增，則當x∈(a，b)時，f′(x)≥0恒成立；若函數f(x)在(a，b)上單調遞減，則當x∈(a，b)時，f′(x)≤0恒成立．2．若函數f(x)在(a，b)上存在單調遞增區間，則當x∈(a，b)時，f′(x)>0有解；若函數f(x)在(a，b)上存在單調遞減區間，則當x∈(a，b)時，f′(x)<0有解．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果函數f(x)在某個區間內恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區間內沒有單調性．()(2)在(a，b)內f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限個，則f(x)在(a，b)內單調遞減．()(3)若函數f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則f(x)在定義域上一定單調遞增．()(4)函數f(x)＝x－sinx在R上是增函數．()2.(選擇性必修第二冊P86例2改編)(多選)如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是()A．在區間(－2,1)上f(x)單調遞增B．在區間(2,3)上f(x)單調遞減C．在區間(4,5)上f(x)單調遞增D．在區間(3,5)上f(x)單調遞減3．(選擇性必修第二冊P97習題5.3T2(4)改編)已知f(x)＝x3＋x2－x的單調遞增區間為________________________．4．已知f(x)＝2x2－ax＋lnx在區間(1，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍是________________________________________________________________________．題型一不含參函數的單調性例1(1)函數f(x)＝xlnx－3x＋2的單調遞減區間為________________．(2)若函數f(x)＝eq\f(lnx＋1,ex)，則函數f(x)的單調遞增區間為________________．跟蹤訓練1已知函數f(x)＝xsinx＋cosx，x∈[0,2π]，則f(x)的單調遞減區間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C．(π，2π) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))題型二含參數的函數的單調性例2已知函數g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，討論函數g(x)的單調性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論．(2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為零的點和函數的間斷點．跟蹤訓練2(2023·北京模擬)已知函數f(x)＝eq\f(2x－a,x＋12).(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數f(x)的單調區間．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三函數單調性的應用命題點1比較大小或解不等式例3(1)(多選)(2024·深圳模擬)若0<x1<x2<1，則()A．>lneq\f(x2＋1,x1＋1)B．<lneq\f(x2＋1,x1＋1)C．D．常見組合函數的圖象在導數的應用中常用到以下函數，記住以下的函數圖象對解題有事半功倍的效果．典例(多選)如果函數f(x)對定義域內的任意兩實數x1，x2(x1≠x2)都有eq\f(x1fx1－x2fx2,x1－x2)>0，則稱函數y＝f(x)為“F函數”．下列函數不是“F函數”的是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx(2)(2023·成都模擬)已知函數f(x)＝ex－e－x－2x＋1，則不等式f(2x－3)＋f(x)>2的解集為____________________．命題點2根據函數的單調性求參數例4已知函數f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x(a≠0)．(1)若f(x)在[1,4]上單調遞減，求實數a的取值范圍；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若f(x)在[1,4]上存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練3(1)(2024·鄭州模擬)函數f(x)的圖象如圖所示，設f(x)的導函數為f′(x)，則f(x)·f′(x)>0的解集為()A．(1,6) B．(1,4)C．(－∞，1)∪(6，＋∞) D．(1,4)∪(6，＋∞)(2)已知函數f(x)＝(1－x)lnx＋ax在(1，＋∞)上不單調，則a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)

§3.3導數與函數的極值、最值課標要求1.借助函數圖象，了解函數在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導數求函數的極大值、極小值.3.掌握利用導數研究函數最值的方法.4.會用導數研究生活中的最優化問題．知識梳理1．函數的極值(1)函數的極小值函數y＝f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點處的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側____________，右側____________，則a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．(2)函數的極大值函數y＝f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點處的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側____________，右側____________，則b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．(3)極小值點、極大值點統稱為________，極小值和極大值統稱為________．2．函數的最大(小)值(1)函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件：如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條____________的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數y＝f(x)在區間(a，b)內的_______________________________________________；②將函數y＝f(x)的各極值與________________________________比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．常用結論對于可導函數f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數的極值可能不止一個，也可能沒有．()(2)函數的極小值一定小于函數的極大值．()(3)函數的極小值一定是函數的最小值．()(4)函數的極大值一定不是函數的最小值．()2.(選擇性必修第二冊P98T4改編)如圖是f(x)的導函數f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數為()A．1B．2C．3D．43．若函數f(x)＝x3－ax2＋2x－1有兩個極值點，則實數a的取值范圍是___________________．4．(選擇性必修第二冊P93例6改編)函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4在區間[0,3]上的最大值是________，最小值是________．題型一利用導數求解函數的極值問題命題點1根據函數圖象判斷極值例1(多選)(2023·連云港模擬)如圖是函數y＝f(x)的導函數f′(x)的圖象，下列說法正確的是()A．f(1)為函數f(x)的極大值B．當x＝－1時，f(x)取得極小值C．f(x)在(－1,2)上單調遞增，在(2,4)上單調遞減D．當x＝3時，f(x)取得極小值命題點2求已知函數的極值例2設函數f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，討論f(x)的單調性并判斷f(x)有無極值，若有極值，求出f(x)的極值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點3已知極值(點)求參數例3(1)(2024·成都模擬)若函數f(x)＝x(x＋a)2在x＝1處有極大值，則實數a的值為()A．1 B．－1或－3C．－1 D．－3(2)(2023·威海模擬)若函數f(x)＝ex－ax2－2ax有兩個極值點，則實數a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))跟蹤訓練1(1)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1處取得極大值10，則a＋b的值為()A．－1或3 B．1或－3C．3 D．－1(2)(2023·商丘模擬)已知函數f(x)＝x2－aln(2x＋1)在定義域內不存在極值點，則實數a的取值范圍是__________________．題型二利用導數求函數的最值問題命題點1不含參函數的最值例4(2022·全國乙卷)函數f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區間[0,2π]的最小值、最大值分別為()A．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2) B．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)C．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＋2 D．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)＋2命題點2含參函數的最值例5已知函數f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx．當a>0時，f(x)在區間[1，e]上的最小值為－2，求實數a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求含有參數的函數的最值，需先求函數的定義域、導函數，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，從而得到函數f(x)的最值．跟蹤訓練2(1)(2021·新高考全國Ⅰ)函數f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．(2)(2024·上饒模擬)已知函數f(x)＝lnx＋ax2＋1.當0<x≤e2時，g(x)＝f(x)－ax2－3＋eq\f(a,x)有最小值2，求a的值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§3.4函數中的構造問題重點解讀函數中的構造問題是高考考查的一個熱點內容，經常以客觀題出現，同構法構造函數也在解答題中出現，通過已知等式或不等式的結構特征，構造新函數，解決比較大小、解不等式、恒成立等問題．題型一利用f(x)與x構造函數例1(2023·信陽統考)已知f(x)是定義在R上的偶函數，當x>0時，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，則不等式eq\f(fx,x)>0的解集是()A．(－2,0)∪(0,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)思維升華(1)出現nf(x)＋xf′(x)形式，構造函數F(x)＝xnf(x)．(2)出現xf′(x)－nf(x)形式，構造函數F(x)＝eq\f(fx,xn).跟蹤訓練1(多選)(2023·郴州統考)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，則()A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2)C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3)題型二利用f(x)與ex構造函數例2(2024·吉安模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)<f′(x)－2，則()A．f(2023)－ef(2022)<2(e－1)B．f(2023)－ef(2022)>2(e－1)C．f(2023)－ef(2022)>2(e＋1)D．f(2023)－ef(2022)<2(e＋1)跟蹤訓練2(2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為________．題型三利用f(x)與sinx，cosx構造函數例3設f(x)是定義在(－π，0)∪(0，π)上的奇函數，其導函數為f′(x)，且當x∈(0，π)時，f′(x)sinx－f(x)cosx<0，則關于x的不等式f(x)<2f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))sinx的解集為_____________________________．跟蹤訓練3已知定義在R上的奇函數f(x)，其導函數為f′(x)，且當x∈(0，＋∞)時，f′(x)sinx＋f(x)cosx<0，若a＝eq\f(\r(2),2)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，b＝－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，則a與b的大小關系為________．(用“<”連接)

§3.5利用導數研究恒(能)成立問題課標要求恒(能)成立問題是高考的?？伎键c，其中不等式的恒(能)成立問題經常與導數及其幾何意義、函數、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現，試題難度略大．題型一分離參數求參數范圍例1已知函數f(x)＝ex－ax－1.(1)當a＝1時，求f(x)的單調區間與極值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解，求實數a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練1已知函數f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝eq\f(lnx,x).(1)當a＝1時，求函數f(x)的極值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求實數a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二等價轉化求參數范圍例2(2023·柳州模擬)已知函數f(x)＝ax－lnx.(1)討論函數f(x)的單調性；(2)若x＝1為函數f(x)的極值點，當x∈[e，＋∞)時，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，求實數m的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練2(2024·咸陽模擬)已知函數f(x)＝lnx＋x＋eq\f(2,ax)(a≠0)．(1)當a＝1時，求f(x)的極值；(2)若對?x∈(e－1，e)，f(x)<x＋2，求實數a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三雙變量的恒(能)成立問題例3(2023·濟南模擬)已知函數f(x)＝eq\f(2elnx,x)－1(其中e為自然對數的底數)，函數g(x)＝x3＋ax2＋1.(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)若對?x1，x2∈[1，e]，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求實數a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價變換有對于某一區間I(1)?x1，x2∈I，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.(2)?x1∈I1，?x2∈I2，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.(3)?x1∈I1，?x2∈I2，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.跟蹤訓練3已知函數f(x)＝eq\f(ax2－x－1,ex)(x∈R)，a為正實數．(1)求函數f(x)的單調區間；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若?x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求實數a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§3.6利用導數證明不等式課標要求導數中的不等式證明是高考的?？碱}型，常與函數的性質、函數的零點與極值、數列等相結合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構造函數法、放縮法等，針對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達到事半功倍的效果．題型一將不等式轉化為函數的最值問題例1(12分)(2023·新高考全國Ⅰ)已知函數f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調性；[切入點：求導，討論a的正負](2)證明：當a>0時，f(x)>2lna＋eq\f(3,2).[方法一關鍵點：作差法比較f(x)min與2lna＋eq\f(3,2)的大小][方法二關鍵點：利用不等式ex≥x＋1把函數f(x)中的指數換成一次函數][思路分析](1)求f′(x)→分a>0，a≤0判斷f′(x)的符號→f(x)的單調性(2)方法一：求f(x)min→構造函數g(a)＝f(x)min－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lna＋\f(3,2)))→求g(a)最小值方法二：證明不等式ex≥x＋1→aex＝ex＋lna≥x＋lna＋1→f(x)≥a2＋lna＋1→構造函數g(a)＝a2＋lna＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lna＋\f(3,2)))→求g(a)最小值思維升華待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數研究其單調性和最值，借助所構造函數的單調性和最值即可得證．(1)解因為f(x)＝a(ex＋a)－x，定義域為R，所以f′(x)＝aex－1，(1分)當a≤0時，由于ex>0，則aex≤0，故f′x＝aex－1<0恒成立，①處判斷f′(x)的符號所以f(x)是減函數；(2分)當a>0時，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，eq\x(\a\al\vs4\co1(當x<－lna時，f′x<0，,則fx在－∞，－lna上單調遞減；,當x>－lna時，f′x>0，,則fx在－lna，＋∞上單調遞增.))(4分)②處判斷f′(x)的符號綜上，當a≤0時，f(x)是減函數；當a>0時，f(x)在(－∞，－lna)上單調遞減，在(－lna，＋∞)上單調遞增．(5分)(2)證明方法一由(1)得，當a>0時，eq\x(\a\al\vs4\co1(fxmin＝f－lna＝ae－lna＋a＋lna,＝1＋a2＋lna，))(7分)③處利用單調性求f(x)min要證f(x)>2lna＋eq\f(3,2)，即證1＋a2＋lna>2lna＋eq\f(3,2)，即證a2－eq\f(1,2)－lna>0恒成立，(8分)eq\x(\a\al\vs4\co1(令g(a)＝a2－\f(1,2)－lna(a>0)，))(9分)④處構造函數ga＝fxmin－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lna＋\f(3,2)))則g′(a)＝2a－eq\f(1,a)＝eq\f(2a2－1,a)，令g′(a)<0，則0<a<eq\f(\r(2),2)；令g′(a)>0，則a>eq\f(\r(2),2)，所以g(a)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上單調遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上單調遞增，(11分)eq\x(\a\al\vs4\co1(所以g(a)min＝g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\f(1,2)－ln

\f(\r(2),2)＝ln

\r(2)>0，))⑤處求gamin并判斷其符號則g(a)>0恒成立，所以當a>0時，f(x)>2lna＋eq\f(3,2)恒成立，證畢．(12分)方法二eq\x(令hx＝ex－x－1，)⑥處構造函數證明ex≥x＋1則h′(x)＝ex－1，由于y＝ex是增函數，所以h′(x)＝ex－1是增函數，又h′(0)＝e0－1＝0，所以當x<0時，h′(x)<0；當x>0時，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，故h(x)≥h(0)＝0，則ex≥x＋1，當且僅當x＝0時，等號成立，(6分)eq\x(\a\al\vs4\co1(因為fx＝aex＋a－x＝aex＋a2－x,＝ex＋lna＋a2－x≥x＋lna＋1＋a2－x，))⑦處通過不等式ex≥x＋1放縮函數fx當且僅當x＋lna＝0，即x＝－lna時，等號成立，所以要證f(x)>2lna＋eq\f(3,2)，即證x＋lna＋1＋a2－x>2lna＋eq\f(3,2)，即證a2－eq\f(1,2)－lna>0，(8分)eq\x(\a\al\vs4\co1(令g(a)＝a2－\f(1,2)－lna(a>0)，))(9分)⑧處構造函數ga則g′(a)＝2a－eq\f(1,a)＝eq\f(2a2－1,a)，令g′(a)<0，則0<a<eq\f(\r(2),2)；令g′(a)>0，則a>eq\f(\r(2),2)，所以g(a)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上單調遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上單調遞增，(11分)所以g(a)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－eq\f(1,2)－lneq\f(\r(2),2)＝lneq\r(2)>0，⑨處求gamin并判斷其符號則g(a)>0恒成立，所以當a>0時，f(x)>2lna＋eq\f(3,2)恒成立，證畢．(12分)跟蹤訓練1(2023·咸陽模擬)已知函數f(x)＝eq\f(sinx,ex)(x∈R)．(1)求f(x)的圖象在點(0，f(0))處的切線方程；(2)求證：當x∈[0，π]時，f(x)≤x.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二將不等式轉化為兩個函數的最值進行比較例2已知函數f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)討論f(x)的單調性；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)當a＝e時，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個函數，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目標．本例中同時含lnx與ex，不能直接構造函數，把指數與對數分離兩邊，分別計算它們的最值，借助最值進行證明．跟蹤訓練2(2023·合肥模擬)已知函數f(x)＝ex＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；(2)證明：ex＋xlnx＋x2－2x>0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三雙變量不等式的證明例3已知函數f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)討論函數f(x)的單調性；(2)設a≤－2，證明：對任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練3已知函數f(x)＝ax＋1(x>0)，g(x)＝lnx－eq\f(a－1,x)＋2a.(1)若a＝eq\f(1,2)，比較函數f(x)與g(x)的大??；(2)若m>n>0，求證：eq\f(m－n,lnm－lnn)>eq\r(mn).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§3.7利用導數研究函數的零點課標要求函數零點問題在高考中占有很重要的地位，主要涉及判斷函數零點的個數或范圍．高考?？疾槿魏瘮蹬c復合函數的零點問題，以及函數零點與其他知識的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現．題型一利用函數性質研究函數的零點例1(2023·遼寧實驗中學模擬)已知函數f(x)＝excosx.(1)求f(x)在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內的極大值；(2)令函數h(x)＝eq\f(axfx,ex)－1，當a>eq\f(4\r(2),π)時，證明：h(x)在區間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內有且僅有兩個零點．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練1(2023·蕪湖模擬)已知函數f(x)＝ax＋(a－1)lnx＋eq\f(1,x)－2，a∈R.(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)只有一個零點，求a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二數形結合法研究函數的零點例2(2023·安慶模擬)已知函數f(x)＝alnx＋bx2e1－x，a，b∈R.e＝2.71828….(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程是y＝x＋ln2，求a和b的值；(2)若a＝e，討論導函數f′(x)的零點個數．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華含參數的函數的零點個數，可轉化為方程解的個數，若能分離參數，則可將參數分離出來后，用x表示參數的函數，作出該函數的圖象，根據圖象特征求參數的范圍或判斷零點個數．跟蹤訓練2(2024·廈門模擬)設函數f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－bx(a，b∈R)．(1)當a＝2，b＝1時，求函數f(x)的單調區間；(2)當a＝0，b＝－1時，方程f(x)＝mx在區間[1，e2]上有唯一實數解，求實數m的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三構造函數法研究函數的零點例3已知函數f(x)＝ex＋x＋4ln(2－x)．(1)求函數f(x)的圖象在點(0，f(0))處的切線方程；(2)判斷函數f(x)的零點個數，并說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓練3(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1，函數f(x)＝eq\f(xa,ax)(x>0)．(1)當a＝2時，求f(x)的單調區間；(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

培優點2指對同構問題把一個等式或不等式通過變形，使左右兩邊結構形式完全相同，構造函數，利用函數的單調性進行處理，找到這個函數模型的方法就是同構法．同構法主要解決含有指數、對數混合的等式或不等式問題．題型一同構法的理解例1(1)若ea＋a>b＋lnb(a，b為變量)成立，則下列選項正確的是()A．a＞lnb B．a＜lnbC．lna＞b D．lna＜b(2)若關于a的方程aea－2＝e4和關于b的方程b(lnb－2)＝e3λ－1(a，b∈R＋)可化為同構方程，則ab的值為()A．e8B．eC．ln6D．1思維升華利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通過冪轉指或冪轉對進行等價變形，構造函數，然后由構造的函數的單調性進行研究．跟蹤訓練1已知不等式ax＋eax＞ln(bx)＋bx進行指對同構時，可以構造的函數是()A．f(x)＝lnx＋x B．f(x)＝xlnxC．f(x)＝xex D．f(x)＝eq\f(x,ex)題型二同構法的應用命題點1alna與xex同構例2設實數k>0，對于任意的x>1，不等式kekx≥lnx恒成立，則k的最小值為________．命題點2beb與xlnx同構例3(2023·南京模擬)設a，b都為正數，e為自然對數的底數，若aea<blnb，則()A．ab>e B．b>eaC．ab<e D．b<ea命題點3eq\f(c,ec)與eq\f(lnx,x)同構例4若關于x的不等式eq\f(x＋lna,ex)－eq\f(alnx,x)>0對?x∈(0,1)恒成立，則實數a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))命題點4d＋lnd與x＋ex同構例5對于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋ln(ax)恒成立，則a的最大值是________．思維升華常見的同構函數有：①f(x)＝eq\f(lnx,x)；②f(x)＝xlnx；③f(x)＝xex；④f(x)＝eq\f(x,ex).其中①④可以借助eq\f(lnx,x)＝eq\f(lnx,elnx)＝eq\f(t,et)，②③可以借助xex＝(lnex)ex＝(lnt)t＝tlnt進行指對互化．跟蹤訓練2(1)(2024·武漢模擬)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，則a的最小值為________．(2)若對任意x∈[e，＋∞)，滿足2x3lnx－≥0恒成立，則實數m的取值范圍是________________________．1．設x>0，y>0，若ex＋lny>x＋y，則下列選項正確的是()A．x>y B．x>lnyC．x<y D．x<lny2．若ex－ax≥－x＋ln(ax)，則正實數a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))) B．(0，e]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)) D．(e，＋∞)3．已知函數f(x)＝x2ex－a(x＋2lnx)有兩個零點，則a的取值范圍是()A．a≥1 B．a≤2C．a≤e D．a>e4．(多選)若不相等的正數a，b滿足aa＝bb，則()A．a＞1B．b＜1C．a＋b>eq\f(2,e)D.(n∈N*)5．若?x∈(0，＋∞)，ln2x－eq\f(aex,2)≤lna恒成立，則a的取值范圍為________________________．6．(2024·漳州質檢)已知函數f(x)＝aex＋x＋1.(1)討論f(x)的單調性