八年級數學下學期·期末復習大串講專題03平行四邊形（6考點+6專項突破+4易錯）人教版01020403目

錄易錯易混題型剖析考點透視押題預測六大常考點：知識梳理+針對訓練六大專項突破四大易錯易混經典例題+針對訓練精選3道期末真題對應考點練互相平分平行且相等互相平分一一半相等相等互相垂直菱形矩形知識結構項目四邊形邊角對角線對稱性對邊平行且相等對邊平行且相等對邊平行且四邊相等對邊平行且四邊相等對角相等四個角都是直角對角相等四個角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形互相垂直且平分，每一條對角線平分一組對角知識梳理知識點一：幾種特殊四邊形的性質

四邊形條件平行四邊形矩形菱形正方形1.定義：兩組對邊分別平行2.兩組對邊分別相等3.兩組對角分別相等4.對角線互相平分5.一組對邊平行且相等1.定義：有一個角是直角的平行四邊形2.對角線相等的平行四邊形3.有三個角是直角的四邊形1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形;2.對角線互相垂直的平行四邊形,3.四條邊都相等的四邊形1.定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形3.有一個角是直角的菱形知識點二：幾種特殊四邊形的常用判定方法5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或對角線相等一組鄰邊相等或對角線垂直一組鄰邊相等或對角線垂直一個角是直角或對角線相等一個角是直角且一組鄰邊相等知識點三：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系1.兩條平行線之間的距離：2.三角形的中位線定理：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做兩條平行線之間的距離.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.3.直角三角形斜邊上的中線：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.知識點四：其他重要概念及性質考點1：平行四邊形的性質與判定1．

在?ABCD中，∠B＋∠D＝100°，則∠A等于(

)A．

50°B．

130°C．

100°D．

65°2．

如圖，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，則AB的長為(

)A．

5B．

6C．

10D．

11

A

B針對訓練

D4．

如圖，a∥b，點A，B分別在直線a，b上，∠1＝45°，點C在直線b上，且∠BAC＝105°．若a，b之間的距離為3，則線段AC的長度為

．

6

5．

在四邊形ABCD中，已知∠A＋∠B＝180°，請添加一個條件：

，使得四邊形ABCD為平行四邊形．(寫出一個即可)

AD＝BC(答案不唯一)

6．

(2023·鎮江)如圖，B是AC的中點，點D，E在AC同側，且AE＝BD，BE＝CD．(1)求證：△ABE≌△BCD；(2)連接DE，求證：四邊形BCDE是平行四邊形．

7．

如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．(1)BE與CD有怎樣的數量關系？請說明理由；(2)若BF恰好平分∠ABE，連接AC，DE，求證：四邊形ACED是平行四邊形．(1)解：BE＝CD．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD．∴∠DAE＝∠BEA．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．∴∠BEA＝∠BAE．∴BE＝AB．∴BE＝CD．

7．

如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．(1)BE與CD有怎樣的數量關系？請說明理由；(2)若BF恰好平分∠ABE，連接AC，DE，求證：四邊形ACED是平行四邊形．考點2：三角形的中位線8．

如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，BC的中點．若∠A＝45°，∠CED＝70°，則∠C的度數為(

)A．

45°

B．

50°

C．

60°

D．

65°

D

C考點3：矩形的性質與判定10．

下列說法不正確的是(

)A．

有一個角為直角的平行四邊形是矩形B．

有三個角為直角的四邊形是矩形C．

對角線相等的平行四邊形是矩形D．

對角線互相垂直的平行四邊形是矩形11．

如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB＝60°，AC＝4cm，則AB＝

cm，矩形ABCD的面積為

cm2．

2

D

12．

如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分線交BC于點E，則DE＝

．

13．

如圖，請添加一個條件使?ABCD成為矩形，這個條件可以是

．(寫出一個即可)

AC＝BD(答案不唯一)14．

如圖，點M在?ABCD的邊AD上，BM＝CM＝5，有以下三個選項：①M為AD的中點；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4，請從中選擇一個合適的選項作為條件，使?ABCD為矩形．(1)你選擇的條件是

(填序號)，并證明?ABCD為矩形；

(2)若AM＝3，求矩形ABCD的面積．

①或②

14．

如圖，點M在?ABCD的邊AD上，BM＝CM＝5，有以下三個選項：①M為AD的中點；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4，請從中選擇一個合適的選項作為條件，使?ABCD為矩形．(1)你選擇的條件是

(填序號)，并證明?ABCD為矩形；

(2)若AM＝3，求矩形ABCD的面積．

①或②

15．

如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分線，AD＝4，求DC的長．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB．∵CF＝AE，∴DF＝BE．∴四邊形BFDE是平行四邊形．又∵DE⊥AB，∴四邊形BFDE是矩形．15．

如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分線，AD＝4，求DC的長．

考點4：直角三角形斜邊上的中線16．

直角三角形中，兩直角邊長分別是12和5，則斜邊上的中線長是(

)

A．

34B．

26C．

6.5D．

8.517．

如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD＝5，AC＝6，則BC的長為

．

8

C18．

如圖J18－14，在△ABC中，CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，連接DE，G，F分別是BC，DE的中點，連接GF．求證：GF⊥DE．

考點5：菱形的性質與判定19．

(2024·通遼)如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，以下條件不能證明?ABCD是菱形的是(

)A．

∠BAC＝∠BCA

B．

∠ABD＝∠CBDC．

OA2＋OB2＝AD2D．

AD2＋OA2＝OD2

D20．

如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝5，則菱形ABCD的周長是(

)A．

10B．

15C．

20D．

30

C

AD∥BC(答案不唯一)

B23．

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中點，過點D作DE⊥AC交BC于點E，延長ED至點F，使DF＝DE，連接AE，AF，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若BE＝1，CE＝4，求EF的長．(1)證明：∵D是AC的中點，∴AD＝CD．又∵DF＝DE，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵DE⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．

24．

如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD交于點M，與BD交于點O，與BC交于點N，連接BM，DN．(1)求證：四邊形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面積．

24．

如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD交于點M，與BD交于點O，與BC交于點N，連接BM，DN．(1)求證：四邊形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面積．

(2)解：∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝8，∴AM＝8－DM．由(1)知DM＝BM，在Rt△BAM中，AB2＋AM2＝BM2，即42＋(8－DM)2＝DM2．解得DM＝5．∵AB⊥DM，∴S菱形BMDN＝DM·AB＝5×4＝20．∴菱形BMDN的面積為20．

考點6：正方形的性質與判定25．

下列條件中能判斷一個四邊形是正方形的是(

)A．

對角線互相垂直且相等B．

一組對邊平行且相等，有一個內角為90°C．

對角線平分每一組對角D．

四邊相等且有一個角是直角

D26．

如圖，在正方形ABCD的外側作等邊三角形ADE，連接BE，AC交于點G，則∠AGE的度數為(

)A．

15°B．

45°

C．

60°D．

90°

C27．

如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點D在y軸上且A(－2，0)，B(1.5，－2)，則點D的坐標為

．

(0，3.5)

28．

如圖，在Rt△ABC中，兩銳角的平分線AD，BE相交于點O，OF⊥AC于點F，OG⊥BC于點G．(1)求證：四邊形OGCF是正方形；(2)若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的邊長．(1)證明：如圖，過點O作OH⊥AB于點H．∵OF⊥AC，OG⊥BC，∴∠OFC＝∠OGC＝90°．又∵∠C＝90°，∴四邊形OGCF是矩形．∵AD，BE分別是∠BAC，∠ABC的平分線，OF⊥AC，OG⊥BC，OH⊥AB，∴OF＝OG＝OH．∴四邊形OGCF是正方形．

29．

如圖，在四邊形ABFC中，CF∥AB，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E．(1)求證：四邊形BECF是菱形；(2)當∠A為多少度時，四邊形BECF是正方形？請說明理由；(3)在(2)的條件下，若AC＝4，求四邊形ABFC的面積．(1)證明：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，BE＝CE．∴∠FCB＝∠FBC．∵CF∥AB，∴∠FCB＝∠CBE．∴∠FBC＝∠CBE．又∵BD＝BD，∠FDB＝∠EDB＝90°，∴△FDB≌△EDB(ASA)．∴BF＝BE．∴BF＝CF＝BE＝CE．∴四邊形BECF是菱形．(2)解：當∠A＝45°時，四邊形BECF是正方形．理由如下：∵四邊形BECF是菱形，要使得四邊形BECF是正方形，則∠CEB＝90°．又∵BE＝CE，∴△BCE是等腰直角三角形，即∠CBE＝45°．∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°．∴當∠A＝45°時，四邊形BECF是正方形．

判定平行四邊形的五種常用方法

專項突破一方法一

利用兩組對邊分別平行判定平行四邊形

方法二

利用兩組對邊分別相等判定平行四邊形

方法三

利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形

方法四

利用兩組對角分別相等判定平行四邊形

方法五

利用對角線互相平分判定平行四邊形

三角形中位線的構造方法

專項突破二類型一

已知雙中點（連接兩中點或第三邊）

B

類型二

已知單中點（取另一邊的中點并連接兩中點）

A

4（第4題）

（第5題）

類型三

已知角平分線+垂直（延長相關線段）（第7題）

A

（第8題）

DA.15

B.9

C.6

D.3

中點四邊形

專項突破三類型一

一般四邊形的中點四邊形是平行四邊形

4類型二

對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形

16類型三

對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形3.[2024·

荊州期末]

順次連接下列四邊形各邊中點所構成的四邊形中，為菱形的是(

)

B①平行四邊形；②矩形；③菱形；④對角線相等的四邊形；⑤對角線互相垂直的四邊形.A.①④

B.②④

C.②⑤

D.③⑤類型四

對角線互相垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形

結合小敏的思路作答：

正方形的幾個常考模型

專項突破四模型一

十字架模型【模型分析】模型圖_________________________________________________________________________________模型歸納

模型二

中心直角模型【模型分析】模型圖______________________________________________________________________________模型歸納

模型三

外角平分線模型【模型分析】模型圖___________________________________________________________________________________________________模型歸納

（1）請思考，提示中添加輔助線的意圖是得到條件：_________；

模型四

半角模型【模型分析】模型圖________________________________________________________________________模型歸納

A

特殊平行四邊形的折疊問題專項突破五類型一

矩形的折疊（第1題）

CA.7

B.8

C.9

D.10（第2題）

D

（第3題）

CA.Ⅰ，Ⅱ都正確

B.Ⅰ，Ⅱ都不正確C.只有Ⅰ正確

D.只有Ⅱ正確

（第4題）

折法一折法二________________________________________________________請根據以上信息，完成下列問題：

類型二

菱形的折疊

A

類型三

正方形的折疊

AA.甲、乙都對

B.甲對，乙錯

C.甲錯，乙對

D.甲、乙都錯

6

特殊平行四邊形的動態問題專項突破六類型一

矩形中的動態問題

類型二

菱形中的動態問題

DA.逐漸增加

B.先減小再增加

C.恒等于9

D.恒等于6

類型三

正方形中的動態問題

易錯點1.因混淆判定定理致錯【例1】下列說法正確的是 (

)A.對角線互相垂直的四邊形是菱形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形D.四個角相等的四邊形是矩形易混易錯錯解：A或B或C.錯解分析：因混淆四邊形的判定定理導致誤解，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故A錯誤，不符合題意；四條邊都相等的四邊形是菱形，故B錯誤，不符合題意；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故C錯誤，不符合題意；四個角相等的四邊形是矩形，故D正確，符合題意.正解：D.【針對訓練】下列命題，其中是真命題的是(

)A.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形B.有一個角是直角的四邊形是矩形C.對角線互相垂直的矩形是正方形D.對角線互相平分的四邊形是菱形C易錯點2.對平行四邊形的判定定理不理解【例2】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，試著再添加一個條件：

，使四邊形ABCD為平行四邊形.

錯解：∠3＝∠4或AB＝CD.錯解分析：由題意可知，四邊形已經有一組對邊平行，所以只要這組對邊相等或另一組對邊平行即可.而錯解中由∠3＝∠4推出的還是已知的AD∥BC，所以添加的這個條件是無效的.相反，添加∠1＝∠2是可行的，因為由∠1＝∠2可推出AB∥CD，此時利用兩組對邊分別平行的判定定理即可.錯解中的AB＝CD也不行，等腰梯形就是一個反例.正解：

∠1＝∠2或AB∥CD等.【針對訓練】已知四邊形ABCD是平行四邊形，M，N分別是直線AD，BC上的點(不與點A，B，C，D重合).請在圖中畫出你設計的圖形，并添加一個適當的條件：

(寫出一個即可)，使得點M，N與?ABCD的兩個頂點組成的四邊形是一個平行四邊形，并說明理由.

AM＝CN(答案不唯一)

解：如圖，添加AM＝CN.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴AD－AM＝BC－CN，即DM＝BN.又∵DM∥BN，∴四邊形MBND是平行四邊形.易錯點3.因缺少分類討論致錯【例3】在?ABCD中，∠DAB的平分線交直線CD于點E，且DE＝5，CE＝3，則?ABCD的周長為

.

錯解：26.錯解分析：本題錯誤原因是只考慮了當點E在線段DC上的情況，忽略了點E在線段DC的延長線上的情況.正解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC.∴∠BAE＝∠DEA.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠DAE＝∠DEA.∴AD＝DE＝5.當點E在線段DC上時，如圖①，此時?ABCD的周長為2(AD＋CD)＝2(DE＋DE＋CE)＝