考點(diǎn)五三角形——中考二輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)分析考點(diǎn)考點(diǎn)形式考試頻率線段與角余角和補(bǔ)角☆角平分線☆☆相交線與平行線相交線☆平行線☆☆☆命題與定理命題與定理☆三角形及其性質(zhì)三角形的三邊關(guān)系☆☆三角形的內(nèi)角和外角☆與三角形有關(guān)的重要線段三角形中的重要線段☆線段的垂直平分線☆☆角平分線的性質(zhì)☆☆全等三角形全等三角形的判定☆☆☆全等三角形的性質(zhì)與判定綜合☆☆☆特殊三角形等腰三角形☆☆☆等邊三角形☆☆直角三角形☆☆☆相似三角形平行線分線段成比例☆相似三角形的性質(zhì)☆☆☆相似三角形的有關(guān)證明與計(jì)算☆☆☆相似三角形的實(shí)際應(yīng)用☆☆位似位似☆☆銳角三角函數(shù)三角函數(shù)值的確定☆☆特殊角的三角函數(shù)值☆解直角三角形解直角三角形☆☆☆解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用☆☆☆基礎(chǔ)知識(shí)考點(diǎn)一幾何初步1.線段及其相關(guān)知識(shí)基本事實(shí)（1）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線（兩點(diǎn)確定一條直線）；（2）兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短）兩點(diǎn)間的距離連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度.線段的和與差在線段上取一點(diǎn)，則有：；；線段的中點(diǎn)點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段與，點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn)，幾何語(yǔ)言：垂線（1）基本事實(shí)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.圖中點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，最短，點(diǎn)到直線的距離是的長(zhǎng)度2.角及其相關(guān)知識(shí)度、分、秒的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=余角和補(bǔ)角互余互為余角應(yīng)用：同角（等角）的余角相等互補(bǔ)互為補(bǔ)角應(yīng)用：同角（等角）的補(bǔ)角相等角的平分線一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線3.交線、平行線及其相關(guān)知識(shí)對(duì)頂角性質(zhì)：對(duì)頂角相等.如與，與，與，與鄰補(bǔ)角性質(zhì)：互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角之和等于180°.如與，與，與等三線八角（1）同位角：與，與，與，與.（2）內(nèi)錯(cuò)角：與，與.（3）同旁內(nèi)角：與，與基本事實(shí)（平行公理）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行推論如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行平行線的判定和性質(zhì)（1）同位角相等兩直線平行.如圖；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行.如圖，；（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行.如圖，兩平行線間的距離定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質(zhì)：兩條平行線之間的距離處處相等考點(diǎn)二三角形及其全等1.三角形的分類及有關(guān)性質(zhì)分類按角分：按邊分：性質(zhì)三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.角的關(guān)系：（1）內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.（2）內(nèi)外角關(guān)系：a.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如圖，b.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角如圖，邊角關(guān)系：在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊（大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角）三角形具有穩(wěn)定性2.全等三角形相關(guān)知識(shí)概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高、角平分線、中位線都相等判定邊邊邊（）：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等邊角邊（）：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等角邊角：（）：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等角角邊（）：兩角對(duì)應(yīng)相等，且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形相等斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【提示】判定一般三角形全等，無(wú)論用哪種方法，都要有三組元素對(duì)應(yīng)相等，且其中最少要有一組對(duì)應(yīng)邊相等考點(diǎn)三特殊三角形1.等腰三角形的性質(zhì)圖形數(shù)學(xué)語(yǔ)言文字描述在中，因?yàn)?，所以等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）①因?yàn)椋云椒郑?②因?yàn)?，所以，且平?③因?yàn)椋椒郑?，且等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”）2.等腰三角形的判定等腰三角形的判定方法圖形表示幾何推理定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形為等腰三角形定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”）（等角對(duì)等邊）3.等邊三角形的概念及性質(zhì)定義性質(zhì)等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.（2）等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，三條對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為“中心”.（3）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)4.等邊三角形的判定等邊三角形的判定方法（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形.（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.（3）有一個(gè)叫角是60°的等腰三角形是等邊三角形5.直角三角形及其考點(diǎn)（1）含角的直角三角形的性質(zhì)具體內(nèi)容圖例含角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半在中，，，是斜邊的中點(diǎn)，則有（2）直角三角形的判定及面積①有一個(gè)角等于的三角形是直角三角形（定義）；②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形；④一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形，圖中若，則是以為直角的直角三角形⑤面積：，其中為兩直角邊，為斜邊，為斜邊上的高（3）勾股定理文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖示變式應(yīng)用直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.（4）勾股定理的逆定理與勾股定理的聯(lián)系與區(qū)別勾股定理勾股定理的逆定理?xiàng)l件在中，.在中，.結(jié)論區(qū)別勾股定理以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到數(shù)量關(guān)系“”，即由“形”到“數(shù)”勾股定理的逆定理以“一個(gè)三角形的三邊滿足”為條件，進(jìn)而得到“這個(gè)三角形是直角三角形”，即由“數(shù)”到“形”.聯(lián)系兩者都與三角形的三邊有關(guān)系6.垂直平分線的性質(zhì)、判定線段的垂直平分線圖形性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等直線是線段的垂直平分線，為上一點(diǎn)，則；反過(guò)來(lái)，若，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上判定與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上7.角平分線的性質(zhì)、判定內(nèi)容符號(hào)語(yǔ)言圖形角平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等如果點(diǎn)在的平分線上，且于點(diǎn)，于點(diǎn)，那么角平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上如果點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，那么點(diǎn)在的平分線上考點(diǎn)四圖形的相似與位似1.四條線段成比例：對(duì)于四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們長(zhǎng)度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說(shuō)這四條線段成比例.【注意】成比例線段是有順序的，即若是成比例線段，則（或），不能寫(xiě)成.2.比例的相關(guān)性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：若，則.（2）合比性質(zhì)：若，則.（3）分比性質(zhì)：若，則.（4）等比性質(zhì)：若，則.3.平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截.所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.4.平行線分線段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用在三角形中的結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.5.相似三角形的判定①利用平行線判定兩個(gè)三角形相似的定理定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.②利用兩邊和夾角判定兩個(gè)三角形相似的定理定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.幾何語(yǔ)言：如圖所示，在和中，,且，.③利用三邊判定兩個(gè)三角形相似的定理定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.幾何語(yǔ)言：如圖所示，在和中，，.④利用兩角判定兩個(gè)三角形相似的定理定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.幾何語(yǔ)言：如圖所示，在和中，,.⑤直角三角形相似的判定方法（1）一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似；（2）兩組直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似；（3）斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.6.相似三角形的性質(zhì)①根據(jù)三角形相似的定義可知，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.②相似三角形對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.即相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.③相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.④相似三角形面積的比等于相似比的平方.考點(diǎn)五解直角三角形1.銳角三角函數(shù)：的正弦、余弦、正切都是的銳角三角函數(shù).正弦、余弦、正切名稱定義符號(hào)語(yǔ)言圖示正弦在中，，的對(duì)邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，即.在中，，余弦在中，，的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作.在中，，正切在中，，的對(duì)邊與鄰邊的比叫做的正切，記作.在中，，【重點(diǎn)】（1）由于直角三角形的斜邊大于直角邊，且各邊的邊長(zhǎng)均為正數(shù)，所以銳角三角函數(shù)值都是正實(shí)數(shù)，且，，.（2），和都是以銳角為自變量的函數(shù)，一旦的度數(shù)確定，它們的值就唯一確定，即銳角三角函數(shù)值隨角度的變化而變化.2.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）同一銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：.（2）互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系：任意一個(gè)銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，即或.（3）任意銳角的正切值與它的余角的正切值互為倒數(shù)，即.3.特殊角的三角函數(shù)值14.解直角三角形的基本類型及解法圖形已知條件解法兩邊兩直角邊由，求斜邊、一直角邊（如）由，求一邊和一銳角一直角邊和一銳角一銳角與鄰邊（如）；一銳角與對(duì)邊（如）；一銳角與斜邊（如）；5.利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)問(wèn)題中的條件，選用合適的銳角三角函數(shù)解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案.【注意】（1）當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中涉及的圖形可以直接轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，可利用解直角三角形的知識(shí)直接求解.（2）數(shù)學(xué)問(wèn)題的解符合實(shí)際意義才可以成為實(shí)際問(wèn)題的解.考點(diǎn)突破1.諸葛亮的《誡子書(shū)》中有“非學(xué)無(wú)以廣才”,如圖是正方體的一種表面展開(kāi)圖,則原正方體中與“非”字所在的面相對(duì)的面上的漢字是()A.學(xué) B.以 C.廣 D.才2.如圖,直線,相交于點(diǎn)O,射線平分.若,則等于()A. B. C. D.3.如圖,將一副三角尺按圖中所示位置擺放,點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)C、F分別為直角頂點(diǎn),且,,若,則的度數(shù)是()A. B. C. D.4.下列命題：①對(duì)頂角相等；②同位角相等,兩直線平行；③若,則；④若,則.其中是真命題的是()A.②③ B.①② C.①②④ D.①②③④5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)O為位似中心，把縮小為原來(lái)的，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.或 B.C.或 D.6.如下圖,在中,,,分別是的中線和角平分線.若,則的度數(shù)為()A. B. C. D.7.如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，測(cè)得，，，則點(diǎn)A到的距離()A． B． C． D．8.如圖,在中,,,延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使,過(guò)點(diǎn)C作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若,則的長(zhǎng)為()A. B.4 C. D.29.如圖，在菱形中，于點(diǎn)E，，則的值為()A. B.2 C. D.10.如圖,已知在中,,點(diǎn)G是的重心,,垂足為E,如果,則線段的長(zhǎng)為()A. B. C. D.11.如圖,在銳角三角形中,是邊上的高,在,上分別截取線段,,使；分別以點(diǎn)E,F為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,在內(nèi),兩弧交于點(diǎn)P,作射線,交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N.若,,則______.12.如圖,四邊形中,,若,則______.13.如圖,在中,,,.D為上的一動(dòng)點(diǎn),連接,的垂直平分線分別交,于點(diǎn)E,F,則線段的長(zhǎng)是______,線段的長(zhǎng)的最大值是______.14.如圖1，把一個(gè)等腰三角形分割成三塊，恰好能按圖2方式拼放，則_______.15.如圖，在中，，是高，若，則的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______.16.如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E；平分，交于點(diǎn)F.求證：.

17.香積寺塔,位于陜西省禮泉縣香積寺內(nèi),俗稱薄太后塔,是一座樓閣式磚塔,現(xiàn)為陜西省文物保護(hù)單位某實(shí)踐小組欲測(cè)量香積寺塔(如圖1)的高度,如圖2,甲同學(xué)在地面上的點(diǎn)D處豎立一根標(biāo)桿,發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)E、標(biāo)桿頂端C和塔頂A恰好在一條直線上,乙同學(xué)將一架無(wú)人機(jī)置于點(diǎn)F處,測(cè)得塔頂A的仰角,經(jīng)測(cè)量,米,米,無(wú)人機(jī)距離地面的高度米,米已知B、D、E、G四點(diǎn)在同一水平直線上,、、,圖中所有的點(diǎn)都在同一平面內(nèi),請(qǐng)你計(jì)算該塔的高度.(結(jié)果保留根號(hào))18.“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市大型風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)戶，某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量.如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時(shí)，在與塔底D水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角.(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請(qǐng)利用公式計(jì)算的值；(2)求風(fēng)葉的長(zhǎng)度.19.如圖,在三角形中,,,,點(diǎn)E是上一點(diǎn),作,交于點(diǎn)F.(1)求證：；(2)求證：；(3)已知,,求.20.已知為等邊三角形，D是邊上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連.(1)如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使得，連接交于點(diǎn)N，求證；(3)如圖3，，點(diǎn)H是上一點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)K是上一點(diǎn)，，連接，，將沿翻折到，連接，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出的面積.

答案以及解析1.答案：D解析：由正方體的展開(kāi)圖特點(diǎn)可得：“非”和“才”相對(duì)；“學(xué)”和“以”相對(duì)；“無(wú)”和“廣”相對(duì)；故選：D.2.答案：B解析：直線,相交于點(diǎn)O,,射線平分,,故選：B.3.答案：A解析：,,,,,,,,,故選：A.4.答案：B解析：對(duì)頂角相等,故①為真命題；同位角相等,兩直線平行,故②為真命題；若,則或,故③為假命題；若,當(dāng)時(shí),則,故④為假命題；故選B.5.答案：A解析：∵以原點(diǎn)O為位似中心，把縮小為原來(lái)的，點(diǎn)A的坐標(biāo)分別為，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即或，故選：A.6.答案：B解析：∵是的中線,,,∴,,∵是的角平分線,∴,故選：B.7.答案：A解析：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)A作，則的長(zhǎng)度就是點(diǎn)A到的距離，，在中，，，，，．故選：A．8.答案：B解析：,,,,,,在和中,,,,,故選：B.9.答案：B解析：∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，故選：B.10.答案：C解析：如圖,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D.點(diǎn)G是的重心,點(diǎn)D為的中點(diǎn),,,,,,,,(公共角),,,,,,.故選：C.11.答案：6解析：作圖可知平分,∵是邊上的高,,,∴,∵,∴,∴,故答案為：6.12.答案：解析：∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,故答案為：.13.答案：8；解析：連接,過(guò)點(diǎn)F作于H,,,,.垂直平分,.若要使最大,則需要最小,設(shè),則,,.(垂線段最短),,解得.最小值為,的最大值為.故答案為：.14.答案：/0.75解析：如圖，根據(jù)題意，得，，∴，∴，∴，