第四章三角形第17課時相似三角形課前循環練（限時5分鐘）1.

（廣東真題）坐標平面內下列各點中，在x軸上的點是

（

）A.（0，3）B.（-3，0）

C.（-1，2）D.（-2，-3）B2.

（廣東真題）水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖4-17-1是一個正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的前面，則這個正方體的后面是

（

）A.0B.6C.快D.樂圖4-17-1B

圖4-17-2C4.

（廣東真題）如圖4-17-3，菱形ABCD的對角線AC=24，BD=10，則菱形的周長為

.

圖4-17-352

圖4-17-436°

①了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割.

②通過具體實例認識圖形的相似.

了解相似多邊形和相似比.

③掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

④了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似.

*了解相似三角形判定定理的證明.

課標要求

⑤了解相似三角形的性質定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方.

⑥了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小.

⑦會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.

⑧在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點）分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原圖形是位似的.對接教材

人教：九下第二十七章相似

北師：九上第四章圖形的相似

考點梳理

ad=bc

圖4-17-5C

C3.相似三角形三角分別

、三邊

的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比叫做

例3.

已知△ABC∽△ACD，若AB=5，AC=4，則AD=

.

相等成比例

相似比

4.相似三角形的判定（1）兩角分別

的兩個三角形相似.

（2）兩邊

且夾角

的兩個三角形相似.

（3）三邊

的兩個三角形相似.

（4）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似相等成比例相等成比例

例4.

如圖4-17-6，P是?ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，請從圖中找出兩對相似三角形：________________________________

.

圖4-17-6

△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP（答案不唯一）5.相似三角形的性質（1）相似三角形對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比都等于

.

（2）相似三角形的周長比等于

，面積比等于

相似比相似比相似比的平方

6.相似多邊形各角分別

、各邊

的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做

相等成比例

相似比例6.

如圖4-17-7所示的兩個四邊形相似，則x+y=

，α=

.

圖4-17-76385°7.相似多邊形的性質（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比等于相似比.（2）相似多邊形的周長比等于

，面積比等于_____________例7.

已知正方形ABCD的面積為9cm2，正方形A1B1C1D1的面積為16cm2，則兩個正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的相似比為

.

相似比相似比的平方3∶48.圖形的位似（1）位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點所在直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時相似比又稱位似比.（2）位似圖形的性質①位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于

；

②位似圖形的對應角

，對應邊

；

③位似圖形的對應線段

（或在同一條直線上）；

相似比相等

成比例

平行

④在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘同一個數k（k≠0），所對應的圖形與原圖形

，位似中心是

，它們的相似比為

位似坐標原點

例8.

如圖4-17-8，在邊長為1的正方形網格中，有一個△ABC，已知A，B，C三點的坐標分別是A（1，0），B（2，-1），C（3，1）.

（1）請在網格圖形中畫出平面直角坐標系；圖4-17-8答圖4-17-1解：（1）如答圖4-17-1.（2）以原點O為位似中心，將△ABC放大2倍，畫出放大后的△A'B'C'；（畫一個即可）（3）寫出△A'B'C'各頂點的坐標：A’

，B’

，C’

.

答圖4-17-1（-2，0）（-4，2）（-6，-2）解：（2）如答圖4-17-1.廣東中考1.

（2023·廣東題6，3分，黃金分割）我國著名數學家華羅庚曾為普及優選法作出重要貢獻.

優選法中有一種0.618法應用了

（

）A.黃金分割數

B.平均數C.眾數

D.中位數A2.

（2023·廣東題15，3分，相似三角形的判定與性質）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖4-17-9），則圖中陰影部分的面積為

.

圖4-17-9153.

（2024·廣東題22節選，4分，相似三角形的判定與性質；三角形中位線定理）如圖4-17-10，在△ABC中（AB<BC），DE是△ABC的中位線.

連接CD，將△ADC繞點D按逆時針方向旋轉，得到△A'DC'，連接A'B，C'C，作△A'BD的中線DF.

求證：2DF·CD=BD·CC'.

圖4-17-10證明：如答圖4-17-2，連接AA'.∵DE是△ABC的中位線，DF是△A'BD的中線，∴AD=BD，A'F=BF.∴DF是△AA'B的中位線.∴AA'=2DF.答圖4-17-2

答圖4-17-2高分擊破【典型考點】相似三角形的判定與性質

得分點分析1.

（2024·上海節選）如圖4-17-11，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD.求證：AD2=DE·DC.

圖4-17-11

圖4-17-11溫馨提示：此類考題可能見于廣東省中考數學試卷的第18題，分值一般為7分，答題時要注意書寫格式，分步書寫，慢做會求全對，評卷老師是分步給分的哦！【典型錯例】相似三角形中的分類討論2.

如圖4-17-12，在△ABC中，AB=8，AC=6，點D在邊AC上，且AD=2，在AB上是否存在一點E，使得以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出所有符合條件的AE的長；若不存在，請說明理由.

圖4-17-12

答圖4-17-3

答圖4-17-4

圖4-17-13【生長式訓練】知識生長→變式創新3.

（中考創新，原創題）如圖4-17-14，在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上.知識種子：基本概念（1）若DE∥AB，DE=6，AB=10，CE=3，則AE=

；

圖4-17-142種子生長：相似三角形的判定與性質（2）在（1）的條件下，若∠B=∠CAD.①求證：△ABD∽△DAE；①證明：∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE.又∵∠B=∠CAD，∴△ABD∽△DAE.圖4-17-14②求AD的長；

圖4-17-14生長變式：圖形變式（3）若AB=AC，∠B=∠ADE.求證：AB·CE=BD·CD；

圖4-17-14種子成樹：綜合創新（4）如圖4-17-15，若∠B=∠ADE=2∠C，AB=8，BC=10，且BD=CE，求BD的長.

圖4-17-15解：如答圖4-17-5，延長CB到點G，使GB=AB=8，則∠G=∠BAG.∴∠ABC=∠G+∠BAG=2∠G，CG=GB+BC=18.又∵∠ABC=2∠C，

∴∠G=∠C.∴AG=AC.答圖4-17-5

答圖4-17-5

答圖4-17-5中考演練（限時15分鐘）一、選擇題1.

（2024·重慶）若兩個相似三角形的相似比為1∶4，則這兩個三角形面積的比是

（

）A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶16D2.

（2024·連云港）下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似圖形的為

（

）圖4-17-16DA.甲和乙

B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁3.

（2024·哈爾濱）如圖4-17-17，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F.

若AE∶BE=1∶2，DF=3，則FC的長為（

）A.6

B.3

C.5

D.9圖4-17-17A

圖4-17-18B

圖4-17-19D二、填空題6.

（2024·濱州）如圖4-17-20，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上.

添加一個條件使△ADE∽△ACB，則這個條件可以是__________________

.

（寫出一種情況即可）

圖4-17-20

∠ADE=∠C（答案不唯一）

圖4-17-21

8.

（2024·重慶）如圖4-17-22，在△ABC中，延長AC至點D，使CD=CA，過點D作DE∥CB，且DE=DC，連接AE交BC于點F.若∠CAB=∠CFA，CF=1，則BF=

.

圖4-17-223三、解答題9.

（2024·廣州）如圖4-17-23，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2.

求證：△ABE∽△ECF.

圖4