微積分經典題目及答案1.題目：求函數\(f(x)=x^2\)在區間\([0,1]\)上的定積分。答案：\[\int_{0}^{1}x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}\]2.題目：計算極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)。答案：\[\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\]這是一個著名的極限，可以通過洛必達法則或者幾何方法證明。3.題目：求函數\(f(x)=e^x\)的導數。答案：\[f'(x)=e^x\]指數函數\(e^x\)的導數是其本身。4.題目：計算不定積分\(\int\frac{1}{x}\,dx\)。答案：\[\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\]其中\(C\)是積分常數。5.題目：求函數\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的極值點。答案：首先求導數：\[f'(x)=3x^2-6x\]令導數等于零求極值點：\[3x^2-6x=0\implies3x(x-2)=0\impliesx=0\text{或}x=2\]然后檢查二階導數以確定極值類型：\[f''(x)=6x-6\]對于\(x=0\)：\[f''(0)=-6<0\quad\text{(局部最大值)}\]對于\(x=2\)：\[f''(2)=6>0\quad\text{(局部最小值)}\]6.題目：計算二重積分\(\iint_D(x^2+y^2)\,dA\)，其中\(D\)是由\(x^2+y^2\leq1\)定義的圓盤。答案：使用極坐標\(x=r\cos\theta\)和\(y=r\sin\theta\)，積分變為：\[\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2\cdotr\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^3\,dr\,d\theta\]計算內積分：\[\int_{0}^{1}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}\]然后計算外積分：\[\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta=\frac{1}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}\]7.題目：求曲線\(y=x^2\)從\(x=0\)到\(x=1\)的長度。答案：曲線長度\(L\)由下式給出：\[L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx\]對于\(y=x^2\)，\(\frac{dy}{dx}=2x\)，所以：\[L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+(2x)^2}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}\,dx\]這個積分可以通過三角代換來解決，但結果為：\[L=\frac{1}{2}\left[x\sqrt{1+4x^2}+\frac{1}{2}\ln\left|x+\sqrt{1+4x^2}\right|\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\left[\sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{5})\right]\]8.題目：計算極限\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^x\)。答案：\[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^x=e^{-\lim_{x\to\infty}x\ln\left(\frac{1}{x}\right)}=e^{-\lim_{x\to\infty}(-\lnx)}=e^0=1\]9.題目：求函數\(f(x)=\lnx\)的二階導數。答案：一階導數為：\[f'(x)=\frac{1}{x}\]二階導數為：\[f''(x)=-\frac{1}{x^2}\]10.題目：計算定積分\(\int_{0}^{\pi/2}\sinx\cosx\,dx\)。答案：使用代換\(u=\sinx\)，則\(du=\cosx\,dx\)，積分限從\(x=0\)到\(x=\pi/2\)變為\(u=0\)到\(u=1\)：