答案第=page11頁，共=sectionpages22頁10.1隨機事件與概率10.1隨機事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機事件例1拋擲一枚硬幣，觀察它落地時哪一面朝上，寫出試驗的樣本空間.解：因為落地時只有正面朝上和反面朝上兩個可能結果，所以試驗的樣本空間可以表示為正面朝上，反面朝上.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間.例2拋擲一枚骰子（tóuzi），觀察它落地時朝上的面的點數，寫出試驗的樣本空間.解：用i表示朝上面的“點數為i”.因為落地時朝上面的點數有1，2，3，4，5，6共6個可能的基本結果，所以試驗的樣本空間可以表示為.例3拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，寫出試驗的樣本空間.解：擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結果用y表示，那么試驗的樣本點可用表示.于是，試驗的樣本空間（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）.如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝第一枚第二枚上”，那么樣本空間還可以簡單表示為.如圖10.1-1所示，畫樹狀圖可以幫助我們理解例3的解答過程.例4如圖10.1-2，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效.把這個電路是否為通路看成是一個隨機現象，觀察這個電路中各元件是否正常.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）用集合表示下列事件：“恰好兩個元件正常”；“電路是通路”；“電路是斷路”.解：（1）分別用，和表示元件A，B和C的可能狀態，則這個電路的工作狀態可用表示.進一步地，用1表示元件的“正常”狀態，用0表示“失效”狀態，則樣本空間.如圖10.1-3，還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結果.（2）“恰好兩個元件正常”等價于，且，，中恰有兩個為1，所以.“電路是通路”等價于，，且，中至少有一個是1，所以.同理，“電路是斷路”等價于，，或，.所以.練習1．寫出下列各隨機試驗的樣本空間：（1）采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學，并記錄其性別；（2）采用抽簽的方式，隨機選擇一名同學，觀察其ABO血型；（3）隨機選擇一個有兩個小孩的家庭，觀察兩個孩子的性別；（4）射擊靶3次，觀察各次射擊中靶或脫靶情況；（5）射擊靶3次，觀察中靶的次數.2．如圖，由A，B兩個元件分別組成串聯電路（圖（1））和并聯電路（圖（2）），觀察兩個元件正常或失效的情況.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）對串聯電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點；（3）對并聯電路，寫出事件N=“電路是斷路”包含的樣本點.3．袋子中有9個大小和質地相同的球，標號為1，2，3，4，5，6，7，8，9，從中隨機摸出一個球.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）用集合表示事件A=“摸到球的號碼小于5”，事件B=“摸到球的號碼大于4”，事件C=“摸到球的號碼是偶數”10.1.2事件的關系與運算例5如圖10.1-9，由甲、乙兩個元件組成一個并聯電路，每個元件可能正常或失效.設事件“甲元件正常”，“乙元件正常”.（1）寫出表示兩個元件工作狀態的樣本空間；（2）用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；（3）用集合的形式表示事件和事件，并說明它們的含義及關系.分析：注意到試驗由甲、乙兩個元件的狀態組成，所以可以用數組表示樣本點.這樣，確定事件A，B所包含的樣本點時，不僅要考慮甲元件的狀態，還要考慮乙元件的狀態.解：（1）用，分別表示甲、乙兩個元件的狀態，則可以用表示這個并聯電路的狀態.以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為.（2）根據題意，可得，，，.（3），；表示電路工作正常，表示電路工作不正常；和互為對立事件.例6一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球（標號為1和2），2個綠色球（標號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件“第一次摸到紅球”，“第二次摸到紅球”，“兩次都摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩個球顏色相同”，“兩個球顏色不同”.（1）用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；（2）事件R與，R與G，M與N之間各有什么關系？（3）事件R與事件G的并事件與事件M有什么關系？事件與事件的交事件與事件R有什么關系？解：（1）所有的試驗結果如圖10.1-10所示.用數組表示可能的結果，是第一次摸到的球的標號，是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間，事件“第一次摸到紅球”，即或2，于是；事件“第二次摸到紅球”，即或2，于是.同理，有，，，.（2）因為，所以事件包含事件R；因為，所以事件R與事件G互斥；因為，，所以事件M與事件N互為對立事件.（3）因為，所以事件Ｍ是事件R與事件G的并事件；因為，所以事件R是事件與事件的交事件.練習4．某人打靶時連續射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立的是（

）A．至多一次中靶 B．兩次都中靶 C．只有一次中靶 D．兩次都沒中靶5．拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：=“點數為i”，其中；=“點數不大于2”，=“點數大于2”，=“點數大于4”；E=“點數為奇數”，F=“點數為偶數”.判斷下列結論是否正確.（1）與互斥；（2），為對立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F為對立事件；（9）；（10）10.1.3古典概型例7單項選擇題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內容，他可以選擇唯一正確的答案.假設考生有一題不會做，他隨機地選擇一個答案，答對的概率是多少？解：試驗有選A、選B、選C、選D共4種可能結果，試驗的樣本空間可以表示為.考生隨機選擇一個答案，表明每個樣本點發生的可能性相等，所以這是一個古典概型.設“選中正確答案”，因為正確答案是唯一的，所以.所以，考生隨機選擇一個答案，答對的概率.例8拋擲兩枚質地均勻的骰子（標記為Ⅰ號和Ⅱ號），觀察兩枚骰子分別可能出現的基本結果.（1）寫出這個試驗的樣本空間，并判斷這個試驗是否為古典概型；（2）求下列事件的概率：“兩個點數之和是5”；“兩個點數相等”；“Ⅰ號骰子的點數大于Ⅱ號骰子的點數”.解：（1）拋擲一枚骰子有6種等可能的結果，Ⅰ號骰子的每一個結果都可與Ⅱ號骰子的任意一個結果配對，組成擲兩枚骰子試驗的一個結果.用數字m表示Ⅰ號骰子出現的點數是m，數字n表示Ⅱ號骰子出現的點數是n，則數組表示這個試驗的一個樣本點.因此該試驗的樣本空間，其中共有36個樣本點.由于骰子的質地均勻，所以各個樣本點出現的可能性相等，因此這個試驗是古典概型.（2）因為，所以，從而；因為，所以，從而；因為，所以，從而.例9袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：（1）“第一次摸到紅球”；（2）“第二次摸到紅球”；（3）“兩次都摸到紅球”.解：將兩個紅球編號為1，2，三個黃球編號為3，4，5.第一次摸球時有5種等可能的結果，對應第一次摸球的每個可能結果，第二次摸球時都有4種等可能的結果.將兩次摸球的結果配對，組成20種等可能的結果，用表10.1-2表示.表10.1-2（1）第一次摸到紅球的可能結果有8種（表中第1，2行），即，所以.（2）第二次摸到紅球的可能結果也有8種（表中第1、2列），即，所以.（3）事件包含2個可能結果，即，所以.例10從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人.（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間.（2）在三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率.解：設第一次抽取的人記為，第二次抽取的人記為，則可用數組表示樣本點.（1）根據相應的抽樣方法可知：有放回簡單隨機抽樣的樣本空間.不放回簡單隨機抽樣的樣本空間.按性別等比例分層抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間.（2）設事件“抽到兩名男生”，則對于有放回簡單隨機抽樣，.因為抽中樣本空間中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型.因此對于不放回簡單隨機抽樣，.因為抽中樣本空間中每一個樣本點的可能性都相等，所以這是一個古典概型.因此.因為按性別等比例分層抽樣，不可能抽到兩名男生，所以，因此.練習6．判斷下面的解答是否正確，并說明理由.某運動員連續進行兩次飛碟射擊練習，觀察命中目標的情況，用y表示命中，用n表示沒有命中，那么試驗的樣本空間，因此事件“兩次射擊都命中”的概率為0.25.7．從52張撲克牌（不含大小王）中隨機地抽一張牌，計算下列事件的概率：（1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；（3）抽到的牌是方片；（4）抽到J或Q或K；（5）抽到的牌既是紅心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；（7）抽到的牌是紅花色；（8）抽到的牌是紅花色或黑花色.8．從0~9這10個數中隨機選擇一個數，求下列事件的概率：（1）這個數平方的個位數字為1；（2）這個數的四次方的個位數字為1.10.1.4概率的基本性質例11從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機抽取一張，設事件“抽到紅心”，事件“抽到方片”，，那么（1）“抽到紅花色”，求；（2）“抽到黑花色”，求.解：（1）因為，且A與B不會同時發生，所以A與B是互斥事件.根據互斥事件的概率加法公式，得.（2）因為C與D互斥，又因為是必然事件，所以C與D互為對立事件.因此.例12為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料.若從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少？分析：“中獎”包括第一罐中獎但第二罐不中獎、第一罐不中獎但第二罐中獎、兩罐都中獎三種情況.如果設“中獎”，“第一罐中獎”，“第二罐中獎”，那么就可以通過事件的運算構建相應事件，并利用概率的性質解決問題.解：設事件“中獎”，事件“第一罐中獎”，事件“第二罐中獎”，那么事件“兩罐都中獎”，“第一罐中獎，第二罐不中獎”，“第一罐不中獎，第二罐中獎”，且.因為，，兩兩互斥，所以根據互斥事件的概率加法公式，可得.我們借助樹狀圖（圖10.1-11）來求相應事件的樣本點數.可以得到，樣本空間包含的樣本點個數為，且每個樣本點都是等可能的.因為，，，所以.上述解法需要分若干種情況計算概率.注意到事件A的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，由于“兩罐都不中獎”，而，所以.因此.練習9．已知.（1）如果，那么___________，___________；（2）如果A，B互斥，那么___________，___________.10．指出下列表述中的錯誤：（1）某地區明天下雨的概率為0.4，明天不下雨的概率為0.5；（2）如果事件A與事件B互斥，那么一定有.11．在學校運動會開幕式上，100名學生組成一個方陣進行表演，他們按照性別（M（男）、F（女））及年級（（高一）、（高二）、（高三））分類統計的人數如下表：M182014F17247若從這100名學生中隨機選一名學生，求下列概率：____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________習題10.1復習鞏固12．如圖，拋擲一藍、一黃兩枚質地均勻的正四面體骰子，分別觀察底面上的數字.（1）用表格表示試驗的所有可能結果；（2）列舉下列事件包含的樣本點：A=“兩個數字相同”，B=“兩個數字之和等于5”，C=“藍色骰子的數字為2”.13．在某屆世界杯足球賽上，a，b，c，d四支球隊進入了最后的比賽，在第一輪的兩場比賽中，a對b，c對d，然后這兩場比賽的勝者將進入冠亞軍決賽，這兩場比賽的負者比賽，決出第三名和第四名.比賽的一種最終可能結果記為acbd（表示a勝b，c勝d，然后a勝c，b勝d）.（1）寫出比賽所有可能結果構成的樣本空間；（2）設事件A表示a隊獲得冠軍，寫出A包含的所有可能結果；（3）設事件B表示a隊進入冠亞軍決賽，寫出B包含的所有可能結果.14．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”寫出樣本空間，并列舉A和B包含的樣本點；15．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，下列結論中正確的是（

）．A．A與B互為對立事件 B．A與B互斥C．A與B相等 D．16．判斷下列說法是否正確，若錯誤，請舉出反例（1）互斥的事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件；（2）互斥的事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件；（3）事件與事件B中至少有一個發生的概率一定比與B中恰有一個發生的概率大；（4）事件與事件B同時發生的概率一定比與B中恰有一個發生的概率小.17．生產某種產品需要2道工序，設事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“產品合格”，“產品不合格”．18．下面的三個游戲都是在袋子中裝球，然后從袋子中不放同地取球，分別計算三個游戲中甲獲勝的概率，你認為哪個游戲是公平的？游戲1游戲2游戲3袋子中球的數量和顏色1個紅球和1個白球2個紅球和2個白球3個紅球和1個白球取球規則取1個球依次取出2個球依次取出2個球獲勝規則取到紅球→甲勝兩個球同色→甲勝兩個球同色→甲勝取到白球→乙勝兩個球不同色→乙勝兩個球不同色→乙勝19．一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5的5張標簽，隨機地依次選取兩張標簽，根據下列條件求兩張標簽上的數字為相等整數的概率；（1）標簽的選取是不放回的；（2）標簽的選取是有放回的.20．從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，求這三條線段能構成一個三角形的概率.綜合運用21．一個盒子中裝有6支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若從中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？（1）A=“恰有1支一等品”；（2）B=“兩支都是一等品”；（3）C=“沒有三等品”.22．拋擲一紅一綠兩顆質地均勻的六面體骰子，記下骰子朝上面的點數，若用x表示紅色骰子的點數，用y表示綠色骰子的點數，用（x，y）表示一次試驗的結果，設A=“兩個點數之和等于8”，B=“至少有一顆骰子的點數為5”，C=“紅色骰子上的點數大于4”（1）求事件A，B，C的概率；（2）求的概率.23．某人有4把鑰匙，其中2把能打開門，如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率有多大？如果試過的鑰匙又混進去，第二次能打開門的概率又有多大？24．假設有5個條件類似的女孩（把她們分別記為A，B，C，D，E）應聘秘書工作，但只有2個秘書職位，因此5個人中只有2人能被錄用.如果5個人被錄用的機會相等，分別計算下列事件的概率；（1）女孩A得到一個職位；（2）女孩A和B各得到一個職位；（3）女孩A或B得到一個職位.25．某射擊運動員平時訓練成績的統計結果如下：命中環數678910頻率0.10.150.250.30.2如果這名運動員只射擊一次，以頻率作為概率，求下列事件的概率；（1）命中10環；（2）命中的環數大于8環；（3）命中的環數小于9環；（4）命中的環數不超過5環.26．將一枚質地均勻的骰子連續拋擲3次，求下列事件的概率：（1）沒有出現6點；（2）至少出現一次6點；（3）三個點數之和為9.拓廣探索27．如圖是某班級50名學生訂閱數學、語文、英語學習資料的情況，其中A表示訂閱數學學習資料的學生，B表示訂閱語文學習資料的學生，C表示訂閱英語學習資料的學生．(1)從這個班任意選擇一名學生，用自然語言描述1，4，5，8各區域所代表的事件；(2)用A，B，C表示下列事件：①至少訂閱一種學習資料；②恰好訂閱一種學習資料；③沒有訂閱任何學習資料.28．從1-20這20個整數中隨機選擇一個數，設事件A表示選到的數能被2整除，事件B表示選到的數能被3整除，求下列事件的概率；（1）這個數既能被2整除也能被3整除；（2）這個數能被2整除或能被3整除；（3）這個數既不能被2整除也不能被3整除.29．某品牌計算機售后保修期為1年，根據大量的維修記錄資料，這種品牌的計算機在使用一年內需要維修1次的占15%，需要維修2次的占6%，需要維修3次的占4%.（1）某人購買了一臺這個品牌的計算機，設=“一年內需要維修k次”，k=0,1,2,3,請填寫下表：事件概率事件是否滿足兩兩互斥？是否滿足等可能性？（2）求下列事件的概率：①A=“在1年內需要維修”;②B=“在1年內不需要維修”；③C=“在1年內維修不超過1次”.變式練習題30．指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件．(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍．(2)出租車司機小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈．(3)若x∈R，則x2＋1≥1.(4)拋一枚骰子兩次，朝上面的數字之和小于2.31．同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤①得到的數為x，轉盤②得到的數為y，結果為(x，y)．(1)寫出這個試驗的樣本空間；(2)求這個試驗的樣本點的總數；(3)“x+y=5”這一事件包含哪幾個樣本點？“x<3且y>1”呢？(4)“xy=4”這一事件包含哪幾個樣本點？“x=y”呢？32．盒子里有大小和質地均相同的6個紅球和4個白球現從中任取3個球，設事件{3個球中有1個紅球2個白球}，事件{3個球中有2個紅球、1個白球}，事件{3個球中至少有1個紅球}，事件{3個球中既有紅球又有