高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市高郵市2024-2025學年高二下學期期中學情調(diào)研測試數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.可表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以可設，則有，，，解得，，，故.故選：A.3.5名男生分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，不同報法的種數(shù)是（）A.6 B.120 C.125 D.243【答案】D【解析】依題意，每名男生都可以報名參加3個運動隊中的任何一個，且每人限報其中的一個，故每名男生的報名方法都是3種，因此5名男生的不同報法種數(shù)為.故選：D.4.對于空間中任意一點O和不共線的三點A，B，C，能得到點P在平面ABC內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因A，B，C三點不共線，則不共線，則點P在平面ABC內(nèi)，即四點共面，也即存在唯一的一組實數(shù)，滿足，即，整理得：.對于A，因，可得，因，故此時點P不在平面ABC內(nèi)，故A錯誤；對于B，因，可得，因，故此時點P不在平面ABC內(nèi)，故B錯誤；對于C，因，可得，因，故點P在平面ABC內(nèi)，故C正確；對于D，由可得，整理得：，因，故點P不在平面ABC內(nèi)，故D錯誤.故選：C.5.設，則直線能作為下列函數(shù)圖象的切線的有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線可知，其斜率為.對于A，由可得，即該曲線上的任何點的切線斜率均為非負數(shù)，故A錯誤；對于B，由可得，原因同上可知B錯誤；對于C，由可得，因有解，故C正確；對于D，由可得，即無解，故D錯誤.故選：C.6.在長方體中,，點E在棱BC上，且，點G為的重心，則點G到直線AE的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在長方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，由，得，由點E在棱BC上，且，得，的重心，則，，，，所以點G到直線AE的距離.故選：A7.若函數(shù)在存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以，因為函數(shù)在存在單調(diào)減區(qū)間，所以有解，即有解，則，又，且，當時，，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：B8.設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對，均有，且，則（）A. B.C. D.是函數(shù)的極小值點【答案】C【解析】因為，所以當時，由可得，，A錯誤；當時，，所以當時，，所以當時，，為常數(shù)，所以當時，，因為，所以，所以，故當時，，因為滿足關系，所以，，又，所以，，所以，故，B錯誤；因為，，所以，，所以，C正確；因為，令可得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點，D錯誤；故選：C.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.滿足不等式的x的值可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】ABC【解析】由可得：，即，由化簡得：，即，解得或，綜上可得，又，故x的值可能為3，4，5，6，7.故選：ABC.10.在空間直角坐標系中，，則（）A.向量在向量上的投影向量為B.若某直線的方向向量為，則該直線與平面平行C.異面直線與所成角的余弦值為D.點在平面內(nèi)的射影為點【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，，所以向量在向量上的投影向量為，A正確；對于B，設平面的法向量為，則，又，，所以，取，可得，，所以為平面的一個法向量，因為，故，所以該直線可能在平面內(nèi)或與平面平行，B錯誤；對于C，由已知，，設異面直線與所成的角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，C正確；對于D，因為，，所以，又為平面的一個法向量，所以，所以點不在平面內(nèi)，D錯誤，故選：AC.11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.當時，函數(shù)有三個零點B.當時，函數(shù)有兩個極值點C.當時，函數(shù)關于點對稱D.當時，若，則【答案】BCD【解析】對于A，當時，，則，令，得；令，得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，且時，，則函數(shù)只有一個零點，故A錯誤；對于B，由，，則，由于，則有兩個不同的實數(shù)根，根據(jù)極值點的定義，函數(shù)有兩個極值點，故B正確；對于C，當時，，則，，則，則，所以函數(shù)關于點對稱，故C正確；對于D，當時，由，則，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即時，，若，則，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.設定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為=_________．【答案】4050【解析】.故答案為：405013.已知，則_________．（用數(shù)字作答）【答案】495【解析】由可得，故.故答案為：495.14.已知正方體的棱長為2，是棱的中點，點在側面內(nèi)，若，則面積的最小值為_________．【答案】【解析】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，則，，，由得，得，故，故由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，取得最小值，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，因平面，故，故，故的面積最小值為，故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.己知函數(shù)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解：（1）因為，所以，則得，故.（2）令，得或，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，的極大值為，極小值為，又因為，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16.如圖，在空間四邊形OABC中，D為棱BC上一點，且滿足，E為線段AD的中點，設．（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值．解：（1）因為，由向量的線性運算法則，可得：.（2）由，所以.17.（1）現(xiàn)將學號分別為1，2，3，4，5，6，7號的七名同學站成一排，如果學號為1，2的兩人之間恰好有3個人，有多少種不同的排法？（用數(shù)字作答）（2）由1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，且奇數(shù)數(shù)字從小到大排列（由高數(shù)位到低數(shù)位），這樣的七位數(shù)有多少個？（用數(shù)字作答）（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任選5個組成一個沒有重復數(shù)字的“五位凸數(shù)”（滿足），這樣的“五位凸數(shù)”有多少個？（用數(shù)字作答）解：（1）先排學號為1，2的兩人，有種；再在其余5人中選擇3人站在學號為1，2的兩人之間，有種；再將這5人看作整體與另外2人排成一排，有種；由分步計數(shù)原理知，共種排法；（2）不考慮限制條件，有個七位數(shù)；則4個奇數(shù)的位置一定，共有個七位數(shù)；（3）先從7個數(shù)字中選出5個數(shù)字，有種；將選出的5個數(shù)中的最大數(shù)排在最中間，有1種；在選出5個數(shù)中的其余4個數(shù)中，選擇2個排在中間數(shù)的左邊，有種；將選出的5個數(shù)中的剩下的2個數(shù)，排在中間數(shù)的右邊，有1種；由分步計數(shù)原理知，共種排法.18.如圖，等邊三角形ABC的邊長為，，分別為所在邊的中點，為線段的中點，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得二面角為直二面角．（1）求線段的長度；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）棱上是否存在異于端點的點，使得點到平面的距離為．若存在，請指出點的位置；若不存在，請說明理由．解：（1）由已知，連接，因為為線段的中點，所以；因為平面平面，又平面平面，又面，所以平面；取邊的中點記為，則；以點為原點，以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，所以；（2）由（1），，，，所以，，，記平面的法向量為，所以，不妨取，得，所以為平面的一個法向量；記直線與平面的所成角為，則，所以，直線與平面的所成角的正弦值為；（3）設，其中，，，，，，記平面的一個法向量為，則有，不妨取，解得，即；則點到平面的距離，整理得：即，解得或（舍去），所以，當點位于線段的靠近點的三等分點時，點到平面的距離為．19.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的最小值為，求a的值；（3）證明：當時，．解：（1）由函數(shù)，可得其定義域為，可得，①當時，若，恒成立，恒成立，可得，所以在內(nèi)單調(diào)遞減；②當時，令，，可得；令得：，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，綜上所述，當時，在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．（2）由函數(shù)，可得，①當時，在區(qū)間上恒成立，區(qū)間上單調(diào)遞增，所以（舍去）；②當時，令，可得，（i）當時，即，區(qū)間上單調(diào)遞增，（舍）；（ii）當時，即，區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；令函數(shù)，可得，所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故關于方程的解為；（iii）當時，即，區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得（舍去）；綜上所述，實數(shù)的值為．（3）當時，，要證，即證，記函數(shù)，定義域為，可得，令，由，可得在為單調(diào)增函數(shù)，因為，且，所以存在，使得，即，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；所以，將代入得，其中，故，即故當時，．江蘇省揚州市高郵市2024-2025學年高二下學期期中學情調(diào)研測試數(shù)學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.可表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以可設，則有，，，解得，，，故.故選：A.3.5名男生分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的一個運動隊，不同報法的種數(shù)是（）A.6 B.120 C.125 D.243【答案】D【解析】依題意，每名男生都可以報名參加3個運動隊中的任何一個，且每人限報其中的一個，故每名男生的報名方法都是3種，因此5名男生的不同報法種數(shù)為.故選：D.4.對于空間中任意一點O和不共線的三點A，B，C，能得到點P在平面ABC內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因A，B，C三點不共線，則不共線，則點P在平面ABC內(nèi)，即四點共面，也即存在唯一的一組實數(shù)，滿足，即，整理得：.對于A，因，可得，因，故此時點P不在平面ABC內(nèi)，故A錯誤；對于B，因，可得，因，故此時點P不在平面ABC內(nèi)，故B錯誤；對于C，因，可得，因，故點P在平面ABC內(nèi)，故C正確；對于D，由可得，整理得：，因，故點P不在平面ABC內(nèi)，故D錯誤.故選：C.5.設，則直線能作為下列函數(shù)圖象的切線的有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由直線可知，其斜率為.對于A，由可得，即該曲線上的任何點的切線斜率均為非負數(shù)，故A錯誤；對于B，由可得，原因同上可知B錯誤；對于C，由可得，因有解，故C正確；對于D，由可得，即無解，故D錯誤.故選：C.6.在長方體中,，點E在棱BC上，且，點G為的重心，則點G到直線AE的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在長方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，由，得，由點E在棱BC上，且，得，的重心，則，，，，所以點G到直線AE的距離.故選：A7.若函數(shù)在存在單調(diào)減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以，因為函數(shù)在存在單調(diào)減區(qū)間，所以有解，即有解，則，又，且，當時，，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：B8.設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對，均有，且，則（）A. B.C. D.是函數(shù)的極小值點【答案】C【解析】因為，所以當時，由可得，，A錯誤；當時，，所以當時，，所以當時，，為常數(shù)，所以當時，，因為，所以，所以，故當時，，因為滿足關系，所以，，又，所以，，所以，故，B錯誤；因為，，所以，，所以，C正確；因為，令可得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點，D錯誤；故選：C.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.滿足不等式的x的值可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】ABC【解析】由可得：，即，由化簡得：，即，解得或，綜上可得，又，故x的值可能為3，4，5，6，7.故選：ABC.10.在空間直角坐標系中，，則（）A.向量在向量上的投影向量為B.若某直線的方向向量為，則該直線與平面平行C.異面直線與所成角的余弦值為D.點在平面內(nèi)的射影為點【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，，所以向量在向量上的投影向量為，A正確；對于B，設平面的法向量為，則，又，，所以，取，可得，，所以為平面的一個法向量，因為，故，所以該直線可能在平面內(nèi)或與平面平行，B錯誤；對于C，由已知，，設異面直線與所成的角為，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，C正確；對于D，因為，，所以，又為平面的一個法向量，所以，所以點不在平面內(nèi)，D錯誤，故選：AC.11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.當時，函數(shù)有三個零點B.當時，函數(shù)有兩個極值點C.當時，函數(shù)關于點對稱D.當時，若，則【答案】BCD【解析】對于A，當時，，則，令，得；令，得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，且時，，則函數(shù)只有一個零點，故A錯誤；對于B，由，，則，由于，則有兩個不同的實數(shù)根，根據(jù)極值點的定義，函數(shù)有兩個極值點，故B正確；對于C，當時，，則，，則，則，所以函數(shù)關于點對稱，故C正確；對于D，當時，由，則，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即時，，若，則，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.設定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為=_________．【答案】4050【解析】.故答案為：405013.已知，則_________．（用數(shù)字作答）【答案】495【解析】由可得，故.故答案為：495.14.已知正方體的棱長為2，是棱的中點，點在側面內(nèi)，若，則面積的最小值為_________．【答案】【解析】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，則，，，由得，得，故，故由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，取得最小值，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，因平面，故，故，故的面積最小值為，故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.己知函數(shù)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．解：（1）因為，所以，則得，故.（2）令，得或，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，的極大值為，極小值為，又因為，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16.如圖，在空間四邊形OABC中，D為棱BC上一點，且滿足，E為線段AD的中點，設．（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值．解：（1）因為，由向量的線性運算法則，可得：.（2）由，所以.17.（1）現(xiàn)將學號分別為1，2，3，4，5，6，7號的七名同學站成一排，如果學號為1，2的兩人之間恰好有3個人，有多少種不同的排法？（用數(shù)字作答）（2）由1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，且奇數(shù)數(shù)字從小到大排列（由高數(shù)位到低數(shù)位），這樣的七位數(shù)有多少個？（用數(shù)字作答）（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任選5個組成一個沒有重復數(shù)字的“五位凸數(shù)”（滿足），這樣的“五位凸數(shù)”有多少個？（用數(shù)字作答）解：（1）先排學號為1，2的兩人，有種；再在其余5人中選擇3人站在學號為1，2的兩人之間，有種；再將這5人看作整體與另外2人排成一排，有種；由分步計數(shù)原理知，共種排法；（2）不考慮限制條件，有個七位數(shù)；則4個奇數(shù)的位置一定，共有個七位數(shù)；（3）先從7個數(shù)字中選出5個數(shù)字，有種；將選出的5個數(shù)中的最大數(shù)排在最中間，有1種；在選出5個數(shù)中的其余4個數(shù)中，選擇2個排在中間數(shù)的左邊，有種；將選出的5個數(shù)中的剩下的2個數(shù)，排在中間數(shù)的右邊，有1種；由分步計數(shù)原理知，共種排法.18.如圖，等邊三角形ABC的邊長為，，分別為所在邊的中點，為線段的中點，現(xiàn)將三角形沿直線折