高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市常熟市2024-2025學年高一上學期期中考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知命題：“，”，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】易知“，”的否定為“，”.故選：B2.已知，則的最小值為（）A.4 B.5 C.3 D.2【答案】C【解析】當時，，當且僅當時取等號，所以的最小值為3.故選：C3.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數的定義域為，則在中，，解得，所以函數的定義域為.故選：D4.若函數是冪函數，且在上單調遞減，則實數的值為（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】因為函數是冪函數，所以，解得或，當時，函數，y=fx在0,+∞上單調遞減，符合題意，當時，函數，y=fx在0,+∞上單調遞增，不符合題意.綜上所述：實數的值為.故選：A.5.常熟“叫花雞”，又稱“富貴雞”，既是常熟的特產，也是聞名四海的佳肴，以其鮮美、香噴、酥嫩著稱.雙十一購物節來臨，某店鋪制作了300只“叫花雞”，若每只“叫花雞”的定價是40元，則均可被賣出；若每只“叫花雞”在定價40元的基礎上提高（）元，則被賣出的“叫花雞”會減少只.要使該店鋪的“叫花雞”銷售收入超過12495元，則該店鋪的“叫花雞”每只定價應為（）A.48元 B.49元 C.51元 D.50元【答案】D【解析】根據題意可得，整理得，解得，又，所以，該店鋪的“叫花雞”每只定價應為.故選：D.6.已知是奇函數，對于任意（），均有成立，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由任意（），均有成立，得函數在上單調遞增，而是奇函數，則在上單調遞增，不等式中，令，則，又，于是t+2<0f(t)>0或t+2>0f(t)<0，當時，f(t)>f(-2)當時，或，解得，則，解得，所以不等式的解集為.故選：C7.通過研究發現：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數，為奇函數，則函數圖象的對稱中心為（）參考公式：A. B. C. D.【答案】C【解析】設函數y=fx的對稱中心為點，則是奇函數，則，代入整理得，比較系數可得，解得，所以對稱中心為.故選：C.8.已知正實數，滿足，則代數式的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，可得；所以；因此，當且僅當時，即時，等號成立；此時.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關于的不等式（）的解集可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】不等式中，當時，，解得，A可能；當時，不等式化為，解得，當時，不等式化為，若，則；B可能；若，則或；若，則或，C不可能，D可能.故選：ABD10.若非零實數，，滿足，則下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】根據題意，不妨取滿足，此時不成立，即A錯誤；易知，可知，即，可得B正確；同理可得，即，所以C正確；若，滿足，此時，即D錯誤.故選：BC11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.為奇函數B.在上單調遞增C.關于的方程有2個解D.若關于的不等式恰有1個整數解，則正實數的范圍是【答案】ACD【解析】易知函數的定義域為，即定義域為關于原點對稱；且滿足，即可得為奇函數，即A正確；當時，可得，可得函數在上單調遞減，即B錯誤；畫出函數圖象如下圖所示：易知代表函數圖象與和交點個數，由圖可知方程有2個解，即C正確；關于的不等式可得，結合圖象可知，當時，可知不等式有無數個整數解；當時，區間上無整數解，因此只需在上包含一個即可，當時，,當時，，因此若不等式恰有1個整數解，只需，解得；又為正實數，所以正實數的范圍是，可得D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則集合的真子集個數為______.【答案】3【解析】集合的真子集為：，共3個.所以集合的真子集個數為3.故答案為：313.已知函數，則不等式的解集為______.【答案】【解析】當時，函數在上單調遞增，，當時，函數在上單調遞增，，因此函數在R上是增函數，不等式，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：14.已知函數，記，，若，則實數的取值范圍是______.【答案】或【解析】當時，所以，解得或，設的兩個根為，（設，，，，由，得，由于，則，故，此時，,符合題意，當時，，解得，此時，此時對，故對任意的恒成立，故,滿足，綜上可知或故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設全集，集合.（1）當時，求，；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）由，得，解得，所以，當時，，所以或，所以，或x>2}=x|-4<x<-1；（2）當時，得，解得，當時，由，則2a-1≤a+22a-1>-4a+2<1，解得，綜上所述：實數的取值范圍為或.16.已知函數（，）.（1）若是否存在，使命題：“，”與命題：“，”均為真命題，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由；（2）若，且在區間上的最小值為，求的值.解：（1）由，得，解得，，由，，得，解得；由，，得，解得，而命題均為真命題，則，所以存在，使命題均為真命題，的取值范圍是.（2）由，得，，當時，，解得，因此；當時，，解得或，因此，所以或.17.已知為定義在上的偶函數，當時，且.（1）求實數的值及在上的解析式：（2）判斷并證明在上的單調性；（3）解關于的不等式：.解：（1）由為定義在上的偶函數，，得，而當時，則，解得；當時，，，所以在上的解析式為.（2）由（1）知，，函數在0,2上單調遞減.證明如下：，，由，得，則，即，因此，所以函數在0,2上單調遞減.（3）由（2）知，不等式，又函數在0,2上單調遞減，則，即或，解得或，所以原不等式的解集為.18.某市為了改善交通，緩解交通壓力，完善交通道路網，在該市交通部門的配合下，對該市某個重要路口的交通情況做了一個調查統計，發現一天中，該路口的交通擁堵指數與時刻（時）有如下關系：（常數，我們把的最大值記作，用作為當天的擁堵指數.（1）當時，求當天擁堵指數的值；（2）求當天擁堵指數的表達式.解：（1）當時，，，當時，，當且僅當時取等號，當時，，當且僅當取等號，而，所以當天擁堵指數的值為.（2）由（1）知，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此函數在上單調遞增，函數值集合為，在上單調遞減，函數值集合為，而，函數在的圖象與直線有唯一公共點，令該公共點的橫坐標為，則，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，當時，，而，，，顯然，，則當時，；當時，，所以當天擁堵指數的表達式.19.已知函數定義域為，若存在，，實數大于0，對，有成立，則稱為定義在上的函數.（1）已知為定義在上函數，求最大的區間；（2）已知為定義在上的函數，求實數的取值范圍；（3）已知為定義在上的函數，求的最小值及此時，的值.解：（1）即解得:故最大的區間為：（2）恒成立，即且即且令則且則且a>1故（3）因為為定義在上函數,所以對恒成立,分別取,得,則所以.,,當時,,解得:.故答案為：.江蘇省蘇州市常熟市2024-2025學年高一上學期期中考試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知命題：“，”，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】易知“，”的否定為“，”.故選：B2.已知，則的最小值為（）A.4 B.5 C.3 D.2【答案】C【解析】當時，，當且僅當時取等號，所以的最小值為3.故選：C3.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數的定義域為，則在中，，解得，所以函數的定義域為.故選：D4.若函數是冪函數，且在上單調遞減，則實數的值為（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】因為函數是冪函數，所以，解得或，當時，函數，y=fx在0,+∞上單調遞減，符合題意，當時，函數，y=fx在0,+∞上單調遞增，不符合題意.綜上所述：實數的值為.故選：A.5.常熟“叫花雞”，又稱“富貴雞”，既是常熟的特產，也是聞名四海的佳肴，以其鮮美、香噴、酥嫩著稱.雙十一購物節來臨，某店鋪制作了300只“叫花雞”，若每只“叫花雞”的定價是40元，則均可被賣出；若每只“叫花雞”在定價40元的基礎上提高（）元，則被賣出的“叫花雞”會減少只.要使該店鋪的“叫花雞”銷售收入超過12495元，則該店鋪的“叫花雞”每只定價應為（）A.48元 B.49元 C.51元 D.50元【答案】D【解析】根據題意可得，整理得，解得，又，所以，該店鋪的“叫花雞”每只定價應為.故選：D.6.已知是奇函數，對于任意（），均有成立，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由任意（），均有成立，得函數在上單調遞增，而是奇函數，則在上單調遞增，不等式中，令，則，又，于是t+2<0f(t)>0或t+2>0f(t)<0，當時，f(t)>f(-2)當時，或，解得，則，解得，所以不等式的解集為.故選：C7.通過研究發現：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數，為奇函數，則函數圖象的對稱中心為（）參考公式：A. B. C. D.【答案】C【解析】設函數y=fx的對稱中心為點，則是奇函數，則，代入整理得，比較系數可得，解得，所以對稱中心為.故選：C.8.已知正實數，滿足，則代數式的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，可得；所以；因此，當且僅當時，即時，等號成立；此時.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關于的不等式（）的解集可以是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】不等式中，當時，，解得，A可能；當時，不等式化為，解得，當時，不等式化為，若，則；B可能；若，則或；若，則或，C不可能，D可能.故選：ABD10.若非零實數，，滿足，則下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】根據題意，不妨取滿足，此時不成立，即A錯誤；易知，可知，即，可得B正確；同理可得，即，所以C正確；若，滿足，此時，即D錯誤.故選：BC11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.為奇函數B.在上單調遞增C.關于的方程有2個解D.若關于的不等式恰有1個整數解，則正實數的范圍是【答案】ACD【解析】易知函數的定義域為，即定義域為關于原點對稱；且滿足，即可得為奇函數，即A正確；當時，可得，可得函數在上單調遞減，即B錯誤；畫出函數圖象如下圖所示：易知代表函數圖象與和交點個數，由圖可知方程有2個解，即C正確；關于的不等式可得，結合圖象可知，當時，可知不等式有無數個整數解；當時，區間上無整數解，因此只需在上包含一個即可，當時，,當時，，因此若不等式恰有1個整數解，只需，解得；又為正實數，所以正實數的范圍是，可得D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則集合的真子集個數為______.【答案】3【解析】集合的真子集為：，共3個.所以集合的真子集個數為3.故答案為：313.已知函數，則不等式的解集為______.【答案】【解析】當時，函數在上單調遞增，，當時，函數在上單調遞增，，因此函數在R上是增函數，不等式，即，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：14.已知函數，記，，若，則實數的取值范圍是______.【答案】或【解析】當時，所以，解得或，設的兩個根為，（設，，，，由，得，由于，則，故，此時，,符合題意，當時，，解得，此時，此時對，故對任意的恒成立，故,滿足，綜上可知或故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設全集，集合.（1）當時，求，；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）由，得，解得，所以，當時，，所以或，所以，或x>2}=x|-4<x<-1；（2）當時，得，解得，當時，由，則2a-1≤a+22a-1>-4a+2<1，解得，綜上所述：實數的取值范圍為或.16.已知函數（，）.（1）若是否存在，使命題：“，”與命題：“，”均為真命題，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由；（2）若，且在區間上的最小值為，求的值.解：（1）由，得，解得，，由，，得，解得；由，，得，解得，而命題均為真命題，則，所以存在，使命題均為真命題，的取值范圍是.（2）由，得，，當時，，解得，因此；當時，，解得或，因此，所以或.17.已知為定義在上的偶函數，當時，且.（1）求實數的值及在上的解析式：（2）判斷并證明在上的單調性；（3）解關于的不等式：.解：（1）由為定義在上的偶函數，，得，而當時，則，解得；當時，，，所以在上的解析式為.（2）由（1）知，，函數在0,2上單調遞減.證明如下：，，