高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市2024-2025學年高一上學期1月期末考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，且，則（）A. B.1 C. D.0【答案】A【解析】因為集合，且，則，解得.故選：A.2.若與角終邊相同，則是第（）象限角.A.一 B.二 C.三 D.四【答案】C【解析】因為與角終邊相同，所以，則，所以是第三象限角.故選：C.3.已知函數則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】易知，所以.故選：D.4.已知扇形的半徑為2，面積為4，則圓心角為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】記圓心角為，因為扇形的半徑為2，面積為4，所以，則.故選：C.5.已知函數，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為fx=lnx的定義域為對于選項AD：例如，則，，即，且，故AD錯誤；對于選項C：例如，則，，即，故C錯誤；對于選項B：因為，故B正確.故選：B.6.已知命題，命題，若均為真命題，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若命題為真命題，可得即可，即；若命題為真命題，可得，即可得，因此若均為真命題，可得，即實數的取值范圍為.故選：B.7.用總長為的籬笆圍成一塊矩形菜地，其中一邊空出的缺口作為進出通道.若要使菜地的面積最大，則有缺口的一邊的籬笆長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設有缺口的一邊的籬笆長為米，則矩形的另一邊長為米，菜地的面積為平方米，則，即，則，，由基本不等式得，當且僅當即時，取得最大面積，所以當有缺口的一邊的籬笆長為米時，菜地的面積最大.故選：C.8.設為上的奇函數，則當時，“單調遞增”是“”的（）條件.A.充要 B.必要不充分C.充分不必要 D.不充分不必要【答案】D【解析】若，如圖：當時，單調遞增不能推出；若，如圖：當時，不能推出單調遞增；所以“單調遞增”是“”的不充分不必要條件.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列集合表示圖中陰影部分的為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】易知圖中的陰影部分表示在集合中去除兩集合的交集部分，即可表示為，即A正確；還可表示為集合的補集與集合的交集，即，即D正確.故選：AD.10.下列結論正確的是（）A.的圖象可由的圖象向左平移個單位得到B.的最小正周期是的2倍C.與的單調性一致，且零點相同D.正切函數是增函數，且是奇函數【答案】AC【解析】對于A，將圖象向左平移個單位可以得到，即A正確；對于B，的最小正周期是，而的最小正周期是；因此的最小正周期是的倍，即B錯誤；對于C，根據余弦函數圖象性質可知與的單調性一致，且零點相同，即C正確；對于D，正切函數在區(qū)間上單調遞增，不是增函數，其圖象關于原點對稱，是奇函數，因此D錯誤.故選：AC.11.對于函數，下列結論正確的是（）A.B.C.，且D.，且【答案】ABD【解析】因為函數.對于選項A：因為，由零點存在性定理可知，故A正確；對于選項B：根據指數函數、冪函數單調性特征可知：，當時，，即，當時，，所以，故B正確；對于選項C：假設，且，可知在內單調遞增，因為，可知在內不單調，兩者相矛盾，假設不成立，故C錯誤；對于選項D：因為在內單調遞增，可知在內單調遞增，所以對，且，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是奇函數，且當時，，則__________.【答案】0【解析】由奇函數可得，又，所以.13.已知角的終邊經過點，若角與的終邊關于__________對稱（請在“軸”，“軸”，“原點”中任選一個填寫），則__________.【答案】軸或軸或原點（選填其中一個）（當空1填軸時）；（當空1填軸時）；（當空1填原點時）【解析】由角的終邊經過點可得；若選擇“軸”，則可得角的終邊經過點，因此可得；所以；若選擇“軸”，則可得角的終邊經過點，因此可得；所以；若選擇“原點”，則可得角的終邊經過點，因此可得；所以.14.設.若，則__________.（結果用表示）【答案】【解析】由可得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍.解：（1）因為或，當時，，此時，或.（2）由（1）可得，因為“”是“”的充分條件，則，所以且，則，因此，實數的取值范圍是.16.設函數與在區(qū)間上的圖象交于點.（1）求、；（2）若，求的值.解：（1）由題意可得，則，即，整理可得，即，因為，則，解得，所以，.（2）因為，所以.17.為了提升某水域的生態(tài)環(huán)境，科研人員于2020年初在該水域投放一種微生物，投放量為1個單位數量.這種微生物在開始的4年內繁殖速度越來越快，隨后越來越慢，設投放年后這種微生物的數量為個單位.已知與的關系擬合后的分段函數的圖象如圖所示：請從①；②；③中選擇合適的兩個確定關于的函數解析式，并求該水域生態(tài)環(huán)境最佳的時長.（注：微生物的數量在個單位之間生態(tài)環(huán)境最佳）解：易知模型③在上單調遞減，因此可排除；因為這種微生物在開始的4年內繁殖速度越來越快，根據二次函數性質可得①符合題意；又隨后越來越慢，由冪函數性質可得②符合題意；因此在時，，當時，；結合圖象可知經過點；即，解得，即；函數經過點，即，解得，即；因此符合題意的兩函數解析式為①和②；因為微生物的數量在個單位之間生態(tài)環(huán)境最佳，當時，令，解得；當時，令，解得；綜上可得，當時，滿足題意；因此該水域生態(tài)環(huán)境最佳的時長為.18.對于定義域為A的函數，如果存在，對任意的，都有，那么稱函數具有性質.（1）判斷函數是否具有性質，并說明理由；（2）若函數具有性質，求證：為定值；（3）若函數具有性質，求的最小值.解：（1）假設函數具有性質，且的定義域為，又滿足存在，對任意，都有，所以，又，所以滿足，此方程無解，所以數不具有性質.（2）若函數具有性質，且函數定義域為0，+∞所以存在，對任意的x∈0，+∞即，所以，故為定值.（3）因為函數具有性質，定義域為0，+∞所以存在，對任意的x∈0，+∞即，所以，即，所以，令，所以或，又，所以，所以，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為4.19.已知函數，其中為自然對數的底數.（1）判斷并證明函數在上的單調性；（2）記函數的零點為為函數的圖象上橫坐標分別為的兩點，點，求證：（i）；（ii）.解：（1）因為，函數在上單調遞增，證明如下：任取，令，則，因為，則，可得，即，所以函數在上單調遞增.（2）（i）令，因為，則，可得，則，可知函數內均有零點，由題意可知：函數的零點為且，所以.（ⅱ）由題意可知：，則，即，因為，即，等價于，即，等價于，因為，則，又因為，則，由（1）可在函數在上單調遞增，可知，即，所以，即.江蘇省南通市2024-2025學年高一上學期1月期末考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，且，則（）A. B.1 C. D.0【答案】A【解析】因為集合，且，則，解得.故選：A.2.若與角終邊相同，則是第（）象限角.A.一 B.二 C.三 D.四【答案】C【解析】因為與角終邊相同，所以，則，所以是第三象限角.故選：C.3.已知函數則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】易知，所以.故選：D.4.已知扇形的半徑為2，面積為4，則圓心角為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】記圓心角為，因為扇形的半徑為2，面積為4，所以，則.故選：C.5.已知函數，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為fx=lnx的定義域為對于選項AD：例如，則，，即，且，故AD錯誤；對于選項C：例如，則，，即，故C錯誤；對于選項B：因為，故B正確.故選：B.6.已知命題，命題，若均為真命題，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若命題為真命題，可得即可，即；若命題為真命題，可得，即可得，因此若均為真命題，可得，即實數的取值范圍為.故選：B.7.用總長為的籬笆圍成一塊矩形菜地，其中一邊空出的缺口作為進出通道.若要使菜地的面積最大，則有缺口的一邊的籬笆長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設有缺口的一邊的籬笆長為米，則矩形的另一邊長為米，菜地的面積為平方米，則，即，則，，由基本不等式得，當且僅當即時，取得最大面積，所以當有缺口的一邊的籬笆長為米時，菜地的面積最大.故選：C.8.設為上的奇函數，則當時，“單調遞增”是“”的（）條件.A.充要 B.必要不充分C.充分不必要 D.不充分不必要【答案】D【解析】若，如圖：當時，單調遞增不能推出；若，如圖：當時，不能推出單調遞增；所以“單調遞增”是“”的不充分不必要條件.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列集合表示圖中陰影部分的為（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】易知圖中的陰影部分表示在集合中去除兩集合的交集部分，即可表示為，即A正確；還可表示為集合的補集與集合的交集，即，即D正確.故選：AD.10.下列結論正確的是（）A.的圖象可由的圖象向左平移個單位得到B.的最小正周期是的2倍C.與的單調性一致，且零點相同D.正切函數是增函數，且是奇函數【答案】AC【解析】對于A，將圖象向左平移個單位可以得到，即A正確；對于B，的最小正周期是，而的最小正周期是；因此的最小正周期是的倍，即B錯誤；對于C，根據余弦函數圖象性質可知與的單調性一致，且零點相同，即C正確；對于D，正切函數在區(qū)間上單調遞增，不是增函數，其圖象關于原點對稱，是奇函數，因此D錯誤.故選：AC.11.對于函數，下列結論正確的是（）A.B.C.，且D.，且【答案】ABD【解析】因為函數.對于選項A：因為，由零點存在性定理可知，故A正確；對于選項B：根據指數函數、冪函數單調性特征可知：，當時，，即，當時，，所以，故B正確；對于選項C：假設，且，可知在內單調遞增，因為，可知在內不單調，兩者相矛盾，假設不成立，故C錯誤；對于選項D：因為在內單調遞增，可知在內單調遞增，所以對，且，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是奇函數，且當時，，則__________.【答案】0【解析】由奇函數可得，又，所以.13.已知角的終邊經過點，若角與的終邊關于__________對稱（請在“軸”，“軸”，“原點”中任選一個填寫），則__________.【答案】軸或軸或原點（選填其中一個）（當空1填軸時）；（當空1填軸時）；（當空1填原點時）【解析】由角的終邊經過點可得；若選擇“軸”，則可得角的終邊經過點，因此可得；所以；若選擇“軸”，則可得角的終邊經過點，因此可得；所以；若選擇“原點”，則可得角的終邊經過點，因此可得；所以.14.設.若，則__________.（結果用表示）【答案】【解析】由可得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍.解：（1）因為或，當時，，此時，或.（2）由（1）可得，因為“”是“”的充分條件，則，所以且，則，因此，實數的取值范圍是.16.設函數與在區(qū)間上的圖象交于點.（1）求、；（2）若，求的值.解：（1）由題意可得，則，即，整理可得，即，因為，則，解得，所以，.（2）因為，所以.17.為了提升某水域的生態(tài)環(huán)境，科研人員于2020年初在該水域投放一種微生物，投放量為1個單位數量.這種微生物在開始的4年內繁殖速度越來越快，隨后越來越慢，設投放年后這種微生物的數量為個單位.已知與的關系擬合后的分段函數的圖象如圖所示：請從①；②；③中選擇合適的兩個確定關于的函數解析式，并求該水域生態(tài)環(huán)境最佳的時長.（注：微生物的數量在個單位之間生態(tài)環(huán)境最佳）解：易知模型③在上單調遞減，因此可排除；因為這種微生物在開始的4年內繁殖速度越來越快，根據二次函數性質可得①符合題意；又隨后越來越慢，由冪函數性質可得②符合題意；因此在時，，當時，；結合圖象可知經過點；即，解得，即；函數經過點，即，解得，