高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省高郵市2024-2025學年高一下學期期中學情調研測試數學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數的零點是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以函數的零點是.故選：C2（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C3.設，是平面內兩個不共線的非零向量，已知，，，若，，三點共線，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，則，又，，三點共線，則與共線，，即，解得，故選：D.4.的值等于（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】，，因，則，則.故選：A.5.如圖，在中，在線段上，滿足，為線段上一點，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知為線段上一點，設，，則，又，則，所以，則，解得，故選：D.6.已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則使得有兩組解的a的值可以為（）A.10 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】有兩組解，需滿足，即，，所以a的值可以為8，B正確，ACD錯誤.故選：B7.已知的內角，，所對的邊分別為，，，若，則角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，則中，由正弦定理可得，則，即，又由余弦定理可知，所以，當且僅當，即時等號成立，又，所以，故選：A.8.在中，點D是邊中點，且，若點P為平面內一點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為D為的中點，所以，所以不妨以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為，則，，設，則，所以，.即：的最小值為.故選：D.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列有關向量的說法，正確的有（）A.若是等邊三角形，則向量，的夾角為60°B.兩個非零向量，若，則與共線且反向C.若，，則可作為平面向量的一組基底D已知非零向量，滿足，則A，B，C，D四點構成一個梯形【答案】BC【解析】對于A，因是等邊三角形，則，由向量夾角的定義可知，，的夾角為120°，故A錯誤；對于B，，可得，即，即，則，因，則，則與共線且反向，故B正確；對于C，因，則與不共線，則可作為平面向量的一組基底，故C正確；對于D，由，則，則直線或四點共線，故D錯誤.故選：BC10.已知，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，整理可得，即，故A正確；對于選項B：，故B正確；對于選項C：因為，則，可得，可知可能為第一、二、三，四象限，即的符號無法判斷，故C錯誤；對于選項D：因為，故D正確；故選：ABD.11.如圖，已知的內接四邊形ABCD中，，，，則（）A.四邊形ABCD的面積為B.該外接圓的半徑為C.過D作交BC于F點，則D.【答案】BCD【解析】對于A：連接，由題意可知，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，且，則，即，所以四邊形的面積，故A錯誤；對B：該四邊形的外接圓為即為的外接圓，設外接圓的半徑為，在中，由正弦定理可得，即，故B正確；對于C：由題意可得：，過作，垂足，則為的中點，可得，在方向上的投影向量即為，所以，故C正確；對于D：過作，垂足，則為的中點，可得，過作，垂足，可得，故，即在方向上的投影向量為，所以，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知向量，的夾角為45°，且，，則______.【答案】【解析】因為向量，的夾角為45°，且，，所以.故答案為：.13.已知，則______．【答案】【解析】，．故答案為：.14.在非鈍角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點P是的重心且，則角______；若，，則______.【答案】①.②.2【解析】因為，則，整理可得，顯然，則，即，又因為，可得；因為點P是的重心，則，可得，即，整理可得，解得或（舍去）.故答案為：；2.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，其中，.（1）求；（2）求.解：（1），，.（2），，所以16.已知是同一平面內的三個向量，其中.（1）若，且，求的坐標；（2）若，且與垂直，求在方向上的投影向量（用坐標表示）.解：（1）法一：因為，可設，因為，可得，解得，所以或.法二：設，因為且，可得，解得或，所以或.（2）因與垂直，可得，所以，可得，解得，所以向量在方向上的投影向量.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，，.（1）求線段AC的長度；（2）求的值.解：（1），，，，在中，由余弦定理得：，；（2）在中，由正弦定理得：，，，，，在中，由正弦定理得：，，.18.已知函數的最小正周期為.（1）求的解析式；（2）若關于x的方程在區間上有相異兩解，.①求實數m的取值范圍；②當時，函數取最大值，設，求.解：（1）由題，因為的最小正周期為，且，所以，解得，所以；（2）①由，即，關于x的方程在區間上有相異兩解，，也即函數與的圖象在區間上有兩個交點，由，得，又在上單調遞增，在上單調遞減，作出在區間上的圖象如圖，由圖可知，要使函數與的圖象在區間上有兩個交點，則有，所以實數m的取值范圍.②解法一：由①和正弦函數的對稱性可知，與關于直線對稱，則有，所以，則有，即，也即，整理得，所以，故解法二：由①和正弦函數的對稱性可知，與關于直線對稱，則有，所以，，其中，則當，即時，取最大值，則，則有19.“費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內角都小于時，費馬點與三角形三個頂點的連線構成的三個角都為.已知點P為的費馬點，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若，求的值；（3）若，，求實數的最小值.解：（1）因為，由正弦定理得，即，所以，所以，即，又所以，得；（2）由即①，由余弦定理得②，由①②得，由且點為的費馬點，則，故，化簡得：，即；（3）設，，，在，，中，由余弦定理得，，，又則得，，即，由，則，故，即有，解得或（舍去），當且僅當且且，解得時，等號成立，故實數的最小值為.江蘇省高郵市2024-2025學年高一下學期期中學情調研測試數學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.函數的零點是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以函數的零點是.故選：C2（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C3.設，是平面內兩個不共線的非零向量，已知，，，若，，三點共線，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，，則，又，，三點共線，則與共線，，即，解得，故選：D.4.的值等于（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】，，因，則，則.故選：A.5.如圖，在中，在線段上，滿足，為線段上一點，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知為線段上一點，設，，則，又，則，所以，則，解得，故選：D.6.已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則使得有兩組解的a的值可以為（）A.10 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】有兩組解，需滿足，即，，所以a的值可以為8，B正確，ACD錯誤.故選：B7.已知的內角，，所對的邊分別為，，，若，則角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，則中，由正弦定理可得，則，即，又由余弦定理可知，所以，當且僅當，即時等號成立，又，所以，故選：A.8.在中，點D是邊中點，且，若點P為平面內一點，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為D為的中點，所以，所以不妨以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為，則，，設，則，所以，.即：的最小值為.故選：D.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列有關向量的說法，正確的有（）A.若是等邊三角形，則向量，的夾角為60°B.兩個非零向量，若，則與共線且反向C.若，，則可作為平面向量的一組基底D已知非零向量，滿足，則A，B，C，D四點構成一個梯形【答案】BC【解析】對于A，因是等邊三角形，則，由向量夾角的定義可知，，的夾角為120°，故A錯誤；對于B，，可得，即，即，則，因，則，則與共線且反向，故B正確；對于C，因，則與不共線，則可作為平面向量的一組基底，故C正確；對于D，由，則，則直線或四點共線，故D錯誤.故選：BC10.已知，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對于選項A：因為，整理可得，即，故A正確；對于選項B：，故B正確；對于選項C：因為，則，可得，可知可能為第一、二、三，四象限，即的符號無法判斷，故C錯誤；對于選項D：因為，故D正確；故選：ABD.11.如圖，已知的內接四邊形ABCD中，，，，則（）A.四邊形ABCD的面積為B.該外接圓的半徑為C.過D作交BC于F點，則D.【答案】BCD【解析】對于A：連接，由題意可知，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，且，則，即，所以四邊形的面積，故A錯誤；對B：該四邊形的外接圓為即為的外接圓，設外接圓的半徑為，在中，由正弦定理可得，即，故B正確；對于C：由題意可得：，過作，垂足，則為的中點，可得，在方向上的投影向量即為，所以，故C正確；對于D：過作，垂足，則為的中點，可得，過作，垂足，可得，故，即在方向上的投影向量為，所以，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知向量，的夾角為45°，且，，則______.【答案】【解析】因為向量，的夾角為45°，且，，所以.故答案為：.13.已知，則______．【答案】【解析】，．故答案為：.14.在非鈍角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點P是的重心且，則角______；若，，則______.【答案】①.②.2【解析】因為，則，整理可得，顯然，則，即，又因為，可得；因為點P是的重心，則，可得，即，整理可得，解得或（舍去）.故答案為：；2.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，其中，.（1）求；（2）求.解：（1），，.（2），，所以16.已知是同一平面內的三個向量，其中.（1）若，且，求的坐標；（2）若，且與垂直，求在方向上的投影向量（用坐標表示）.解：（1）法一：因為，可設，因為，可得，解得，所以或.法二：設，因為且，可得，解得或，所以或.（2）因與垂直，可得，所以，可得，解得，所以向量在方向上的投影向量.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，，.（1）求線段AC的長度；（2）求的值.解：（1），，，，在中，由余弦定理得：，；（2）在中，由正弦定理得：，，，，，在中，由正弦定理得：，，.18.已知函數的最小正周期為.（1）求的解析式；（2）若關于x的方程在區間上有相異兩解，.①求實數m的取值范圍；②當時，函數取最大值，設，求.解：（1）由題，因為的最小正周期為，且，所以，解得，所以；（2）①由，即，關于x的方程在區間上有相異兩解，，也即函數與的圖象在區間上有兩個交點，由，得，又在上單調遞增，在上單調遞減，作出在區間上的圖象如圖，由圖可知，要使函數與的圖象在區間上有兩個交點，則有，所以實數m的取值范圍.②解法一：由①和正弦函數的對稱性可知，與關于直線對稱，則有，所以，則有，即，也即，整理得，所以，故解法二：由①和正弦函數的對稱性可知，與關于直線對稱，則有，所以，，其中，則當，即時，取最大值，則，則有1