高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省三新H11G10教育聯盟2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的班級、姓名、準考證號寫在試題卷和答題卡上，并將準考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上相應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，將答題卡上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】解法一：∵，解法二：,,∴.則所求復數對應的點為，位于第二象限.故選：B.2.有可以表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由排列數公式可得，故選：D.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易得，且，則，由二項式定理得展開式的通項公式為，令，.故選：A.4.已知數列滿足，且，則數列的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，左右同乘，所以，為首項是1，公差為3的等差數列，所以，所以，故選:C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，.，則，則.故選：A.6.已知集合，直線中的，，是取自集合的三個不同元素，并且該直線的傾斜角為鈍角，符合以上所有條件的直線的條數為（）A.40 B.32 C.24 D.23【答案】D【解析】可得，從集合中任取三個不同元素，且，異號，若，共有條，若，共有條，總共種.又因為當，，和，，時，都表示直線，所以符合條件的直線的條數為種.故選：D.7.為研究不同性別學生對“deepseek”應用程序的了解情況，某學校進行了一次抽樣調查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設事件"了解deepseek"，“學生為女生”，據統計，，將樣本的頻率視為概率，現從全校的學生中隨機抽取40名學生，設其中了解deepseek的學生的人數為，則當取得最大值時的值為（）A.16 B.17 C.18 D.19【答案】C【解析】已知，，抽取男生和女生各50名，所以.根據條件概率公式，可得.再根據條件概率公式，可得.所以隨機變量，令，解得，因為，所以當時，取得最大值.故選：C.8.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.馬爾科夫鏈因俄國數學家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第，，，?次狀態無關.現有，兩個盒子，各裝有1個黑球和1個紅球，現從，兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復進行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個數為，恰有1個紅球的概率為.則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設第次操作后盒子中恰有2個紅球的概率為，則沒有紅球的概率為.由題意知，，，因為，所以.又因為，所以是以為首項，為公比的等比數列.所以，.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.正方體的表面積和體積是相關關系B.已知函數，則C.若，且，則D.已知隨機變量，若，則函數為偶函數【答案】CD【解析】A是確定的函數關系，所以錯誤；B選項，∵，∴.故B錯誤；C選項，因為，所以.又，所以，故C正確；D選項，若，則區間和關于直線對稱，∴，則，∴函數為偶函數.故選：CD.10.已知點,為圓上兩動點,且,點為直線上動點，則（）A.圓心到直線的距離為B.以為直徑的圓與直線相離C.的最大值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于選項A，設的中點為，如圖1，連接，.則，，所以，故選項A正確；對于選項B，由A知，點在以為圓心，為半徑圓上，又原點到的距離為，所以點到直線的距離的最小值為，因為，故以為直徑的圓與直線相離，所以選項B正確；對于選項C，如圖2，當直線與直線平行，且，，共線時，為等腰三角形，此時最小，最小值為，又，故此時最大，且，則，所以，則，故選項C錯誤；對于選項D，，當，，，共線，且在，之間時取等號，，所以的最小值為，所以選項D正確，故選：ABD.11.已知函數，為常數，若函數有兩個零點，，且，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A：因為有兩個零點，，且，所以在上有兩個根，即在上有兩個交點，，，故A錯誤；對于B：作出圖象，與關系如圖，，則，故B正確；對于C：由A選項可知，當時，顯然成立.當時，等價于，可知，，，可知函數在區間上單調遞增，又，單調遞減.要讓，只需證，又∵，∴只需證，令，則，∵，∴，∴，∴函數在區間上單調遞增，∴，∴，∴，∴，故C正確；對于D：，，，，又，，，，∴，只需要證明，.令，，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.下列5個數據，，1，，的第40百分位數為______.【答案】0.9【解析】從小到大排列后，得到，由于，則求與1的平均數為0.9.則第40百分位數為0.9.故答案為：0.9.13.直線經過橢圓的兩個頂點，則該橢圓的離心率______.【答案】【解析】由題意，直線過點，，代入橢圓方程得，解得，，所以橢圓方程為，所以，，，則.故答案為：.14.已知正三棱柱中，，，是的中點，點是線段上的動點，過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最大值為______.【答案】【解析】如圖1，設的中點為,連接，截面如圖2，且，.因為平面，平面，則，則點在以為直徑的圓上.當點在弧的中點時，此時點到底面距離的最大，且最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答過程應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數列的首項，公比，在中每相鄰兩項之間都插入6個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等比數列.（1）求數列的通項公式.（2）記數列前項的乘積為，試問：是否有最大值？如果有，請求出此時的值以及的最大值；若沒有，請說明理由.解：（1），公比，，設新數列的公比為，則，，由，所以.（2）.令，當或6時，有最大值30.所以的最大值為，此時或6.16.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形，平面，.（1）棱上是否存在點，使平面，若存在，請求出的值；（2）點在線段運動（包括端點，不包括端點），當二面角夾角最小時，試確定點的位置.解：（1）如圖，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，則，，由于，故.設，，則，則，要使平面，則，解得，故存在點，當時，.（2）設，，則，設平面一個法向量為，故，，，，令，則.設平面的一個法向量為，故，，，令，則，設二面角為，，，因為，所以，令，則可化為，由二次函數性質得在上單調遞增，由復合函數性質得在上單調遞減，則，則當時，最大，此時二面角夾角最小，故點在點處，與點重合.17.已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的標準方程.（2）若橢圓上存在一點（點在第一象限），點關于軸的對稱點為，與直線平行的直線與橢圓相交于，兩點，直線，分別與軸交于，兩點.若四邊形為菱形，求滿足條件的點坐標.解：（1）由題意可知，解得，.所以橢圓的標準方程為.（2）設點關于軸的對稱點的坐標為.直線的斜率為.直線與平行，設直線的方程為.由得，由（點在橢圓上），，且，設，，則，，四邊形為菱形，所以，所以.即，化簡可得.將韋達定理代入可得，化簡可得，又因為點在第一象限，所以.18.設函數，.（1）試判斷函數在區間上是否存在極值點，并說明理由；（2）若任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1），令，則，則，恒小于0，單調遞減，且，，∴，，，，單調遞增，，，單調遞減，故函數存在極大值點，無極小值點.（2），則.又令，，①當，即時，恒成立，∴在區間上單調遞增，∴，∴，∴在區間上單調遞增，∴（不合題意）；②當，即時，，∴在區間上單調遞減，∴，∴，∴在區間上單調遞減，∴（符合題意）；③當，即時，由，，∴，使，且時，，，，∴在上單調遞增，∴（不符合題意）；綜上，的取值范圍是.19.生物研究工作中，統計鳥類主要是研究鳥類種群數量和分布規律.統計人員發現某鳥類在區域經常出沒，在區域統計時發現該鳥類有兩個品種，分別記為I種和II種.統計人員在區域隨機捕獲了50只該鳥，再將捕獲的鳥全部放回，作為一次試驗結果.記第次試驗中I種的數目為隨機變量.設該區域中I種的數目為，II種的數目為.（1）（i）求在第1次試驗中隨機變量的分布列.（ii）假設每一次試驗均相互獨立，統計人員完成所有試驗后，得到的實際取值分別為，其平均值，方差.記隨機變量.采用和分別代替期望和方差，試給出，的估計值（結果保留整數）.參考公式：從含件次品的件產品中，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取件,設抽取的件產品中次品數為,如果采取有放回抽樣，則方差；如果采取不放回抽樣，則方差為.隨機變量與滿足.若隨機變量與相互獨立,則.（2）假設統計人員每次隨機捕獲一只該鳥，統計種類，再將捕獲的鳥放回，重復進行次.“使得的取值達到最大時的作為的估計值”的思想稱為最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然參數估計方法稱為最大似然估計.具體步驟：先對參數構建對數似然函數,再對其關于參數求導,得到似然方程，最后求解參數的估計值.已知的參數的對數似然函數為，其中，求參數的估計值，并且說明頻率估計概率的合理性.解：（1）（i）依題意，均服從完全相同的超幾何分布，故的分布列為，其中為整數，且.（ii）由于每一次試驗均相互獨立，且均服從完全相同的超幾何分布，則，，則由公式可得，，由公式可得，，即，解得，.（2）由，則，令，得，故，則，得；，得，故在上單調遞增，在上單調遞減，即當時，取最大值，故，因此，用最大似然估計的參數與頻率估計概率的是一致的，故用頻率估計概率是合理的.湖南省三新H11G10教育聯盟2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的班級、姓名、準考證號寫在試題卷和答題卡上，并將準考證條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上相應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，將答題卡上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在復平面內，對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】解法一：∵，解法二：,,∴.則所求復數對應的點為，位于第二象限.故選：B.2.有可以表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由排列數公式可得，故選：D.3.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易得，且，則，由二項式定理得展開式的通項公式為，令，.故選：A.4.已知數列滿足，且，則數列的通項公式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，左右同乘，所以，為首項是1，公差為3的等差數列，所以，所以，故選:C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，.，則，則.故選：A.6.已知集合，直線中的，，是取自集合的三個不同元素，并且該直線的傾斜角為鈍角，符合以上所有條件的直線的條數為（）A.40 B.32 C.24 D.23【答案】D【解析】可得，從集合中任取三個不同元素，且，異號，若，共有條，若，共有條，總共種.又因為當，，和，，時，都表示直線，所以符合條件的直線的條數為種.故選：D.7.為研究不同性別學生對“deepseek”應用程序的了解情況，某學校進行了一次抽樣調查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設事件"了解deepseek"，“學生為女生”，據統計，，將樣本的頻率視為概率，現從全校的學生中隨機抽取40名學生，設其中了解deepseek的學生的人數為，則當取得最大值時的值為（）A.16 B.17 C.18 D.19【答案】C【解析】已知，，抽取男生和女生各50名，所以.根據條件概率公式，可得.再根據條件概率公式，可得.所以隨機變量，令，解得，因為，所以當時，取得最大值.故選：C.8.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，也是機器學習和人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.馬爾科夫鏈因俄國數學家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關，與第，，，?次狀態無關.現有，兩個盒子，各裝有1個黑球和1個紅球，現從，兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復進行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個數為，恰有1個紅球的概率為.則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設第次操作后盒子中恰有2個紅球的概率為，則沒有紅球的概率為.由題意知，，，因為，所以.又因為，所以是以為首項，為公比的等比數列.所以，.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.正方體的表面積和體積是相關關系B.已知函數，則C.若，且，則D.已知隨機變量，若，則函數為偶函數【答案】CD【解析】A是確定的函數關系，所以錯誤；B選項，∵，∴.故B錯誤；C選項，因為，所以.又，所以，故C正確；D選項，若，則區間和關于直線對稱，∴，則，∴函數為偶函數.故選：CD.10.已知點,為圓上兩動點,且,點為直線上動點，則（）A.圓心到直線的距離為B.以為直徑的圓與直線相離C.的最大值為D.的最小值為【答案】ABD【解析】對于選項A，設的中點為，如圖1，連接，.則，，所以，故選項A正確；對于選項B，由A知，點在以為圓心，為半徑圓上，又原點到的距離為，所以點到直線的距離的最小值為，因為，故以為直徑的圓與直線相離，所以選項B正確；對于選項C，如圖2，當直線與直線平行，且，，共線時，為等腰三角形，此時最小，最小值為，又，故此時最大，且，則，所以，則，故選項C錯誤；對于選項D，，當，，，共線，且在，之間時取等號，，所以的最小值為，所以選項D正確，故選：ABD.11.已知函數，為常數，若函數有兩個零點，，且，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A：因為有兩個零點，，且，所以在上有兩個根，即在上有兩個交點，，，故A錯誤；對于B：作出圖象，與關系如圖，，則，故B正確；對于C：由A選項可知，當時，顯然成立.當時，等價于，可知，，，可知函數在區間上單調遞增，又，單調遞減.要讓，只需證，又∵，∴只需證，令，則，∵，∴，∴，∴函數在區間上單調遞增，∴，∴，∴，∴，故C正確；對于D：，，，，又，，，，∴，只需要證明，.令，，，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.下列5個數據，，1，，的第40百分位數為______.【答案】0.9【解析】從小到大排列后，得到，由于，則求與1的平均數為0.9.則第40百分位數為0.9.故答案為：0.9.13.直線經過橢圓的兩個頂點，則該橢圓的離心率______.【答案】【解析】由題意，直線過點，，代入橢圓方程得，解得，，所以橢圓方程為，所以，，，則.故答案為：.14.已知正三棱柱中，，，是的中點，點是線段上的動點，過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最大值為______.【答案】【解析】如圖1，設的中點為,連接，截面如圖2，且，.因為平面，平面，則，則點在以為直徑的圓上.當點在弧的中點時，此時點到底面距離的最大，且最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答過程應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數列的首項，公比，在中每相鄰兩項之間都插入6個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等比數列.（1）求數列的通項公式.（2）記數列前項的乘積為，試問：是否有最大值？如果有，請求出此時的值以及的最大值；若沒有，請說明理由.解：（1），公比，，設新數列的公比為，則，，由，所以.（2）.令，當或6時，有最大值30.所以的最大值為，此時或6.16.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的正方形，平面，.（1）棱上是否存在點，使平面，若存在，請求出的值；（2）點在線段運動（包括端點，不包括端點），當二面角夾角最小時，試確定點的位置.解：（1）如圖，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，則，，由于，故.設，，則，則，要使平面，則，解得，故存在點，當時，.（2）設，，則，設平面一個法向量為，故，，，，令，則.設平面的一個法向量為，故，，，令，則，設二面角為，，，因為，所以，令，則可化為，由二次函數性質得在上單調遞增，由復合函數性質得在上單調遞減，則，則當時，最大，此時二面角夾角最小，故點在點處，與點重合.17.已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的標準方程.（2）若橢圓上存在一點（點在第一象限），點關于軸的對稱點為，與直線平行的直線與橢圓相交于，兩點，直線，分別與軸交于，兩點.若四邊形為菱形，求滿足條件的點坐標.解：（1）由題意可知，解得，.所以橢圓的標準方程為.（2）設點關于軸的對稱點的坐標為.直線的斜率為.直線與平行，設直線的方程為.由得，由（點在橢圓上），，且，設，，則，，四邊形為菱形，所以，所以.即，化簡可得.將韋達定理代入可得，化簡可得，又因為點在第一象限，所以.18.設函數，.（1）試判斷函數在區間上是否存在極值點，并說明理由；（2）若任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1），令，則，則，恒小于0，單調遞減，且，，∴，，，，單調遞增，，，單調遞減，故函數存在極大值點，無極小值點.（2），