高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省宜昌市部分示范高中2024-2025學年高二下學期期中聯合考試數學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交，一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知直線，點和點，若，則實數的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】，由于，則直線的斜率為即，故選：B2.二項式的展開式中，的系數等于（）A.60 B. C.240 D.【答案】A【解析】展開式通項為，令，解得：，所以的系數等于,故選：A3.在數列中，，若為等差數列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由為等差數列得，解得.故選：A4.曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則當時，，，故曲線在處的切線方程為，即．故選：D5.現要用種不同顏色對如圖所示的五個區域進行涂色，要求相鄰的區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（）A.180種 B.192種 C.300種 D.420種【答案】D【解析】先涂區域有種選擇，再涂區域有種選擇，然后涂區域有種選擇，若區域與區域同色，此時區域有種選擇，若區域與區域不同色，則區域有種選擇，區域有種選擇，故有種涂色方法.故選：D6.設等比數列中，，使函數在時取得極值，則的值是（

）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】由題意，因為在時取得極值，所以，解得或，當，時，，所以在上單調遞增，不合題意，當，時，，所以時，，時，，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以當時取得極小值，滿足題意，所以，又，，同號，所以.故選：.7.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，雙曲線的兩條漸近線分別交橢圓于A、C和B、D四點，若多邊形為正六邊形，則橢圓與雙曲線的離心率之和為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】∵多邊形為正六邊形，設邊長為，∴，，故選：C．8.如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點是線段上的動點（不含端點），若線段上存在點（不含端點），使得異面直線與成的角，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，取中點，連接，因平面，平面，故平面平面，因是以為斜邊的等腰直角三角形，故，又平面，且平面平面，所以平面，如圖分別以和過點與平行的直線為軸建立空間直角坐標系.則，設，設，故，得又因為，且異面直線與成的角，故，即即因則有，則故得.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖所示，在長方體中，若，E、F分別是、的中點，則下列結論中一定成立的是（）A.EF與垂直B.EF與所成的角大小為C.EF與平面所成角大小為D.直線EF與平面平行【答案】ACD【解析】如圖所示：A.連接，則，由平面，平面，則，所以，故A正確；B.由選項A知：EF與所成的角為，因為長度不定，所以EF與所成的角不確定，故錯誤；C.易知平面，則平面，所以EF與平面所成角大小為，故正確；D.由選項A知：，且平面，平面，所以直線EF與平面平行，故正確，故選：ACD10.關于多項式的展開式，下列結論正確的是（）A.各項系數之和為1B.各項系數的絕對值之和為C.常數項為140D.的系數為40【答案】BD【解析】對于A，令，可得各項系數之和為，故A錯誤；對于B，多項式的展開式各項系數的絕對值之和與多項式的展開式各項系數之和相等，在多項式中，令，可得各項系數之和為，故B正確；對于C，的展開式的通項公式為，的展開式的通項公式為，令，則有4種情況：當時，該項為；當時，該項為；當時，該項為；當時，該項為.故常數項，故C錯誤；對于D，令，結合，則有，解得或，當時，該項為；當時，該項為，所以，系數為，故D正確.故選：BD.11.已知數列和滿足，，，.則（）A. B.數列是等比數列C.數列是等差數列 D.【答案】BCD【解析】對A選項，令，則，，則，則，則，則A錯誤，

對B選項，由題意中兩式相加得，故B正確，對C選項，由題意中兩式作差得，即，則C正確，對D選項，由B得，，兩式相加得，則，則若，顯然，則成立,故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將5名同學安排到3個小區參加創建文明城市宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有______種．（用數字作答）【答案】150【解析】將5名同學安排到3個小區參加創建文明城市宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，分組方法有（113），（122）兩種分法，當分成（113）時，有種安排方法；當分成（122）時，有種安排方法；綜上，共有150種安排方法.故答案為：15013.若圓與直線相交于點A，B,且，則k的值為______．【答案】【解析】由得，，圓心，半徑，所以，又，所以圓心到直線的距離為，解得，故答案為：．14.已知函數，若關于的方程恰有四個不同的解，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】設，則在是偶函數，當時，，由得，記，，，故函數在增，而，所以在減，在增，，當時，，當時，，因此的圖象為因此實數的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某市場上供應的氣球中，甲廠產品占60%，乙廠產品占40%，甲廠生產的氣球合格率為90%，乙廠生產的氣球合格率為80%．（1）從該市場上隨便購買一個氣球，求它是合格產品的概率；（2）如果小李購買了一個氣球是次品，求該氣球是甲廠生產的概率．解：（1）設“氣球合格”為事件，“氣球是甲廠生產”為事件，“氣球是乙廠生產的為事件，由題可知，，則．（2）．16.已知數列滿足，，為數列的前項和．（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）求數列的前項和．解：（1）對整理有：，等式兩邊同時除以可得,等式兩邊再同時減得,即，又由，可得，故，則數列是首項為，公比為的等比數列．（2）由（1）得的通項公式為,得,所以.（3）由（2）知，所以．17.如圖，在以A、B、C、D、E、F為頂點的六面體中（其中平面），四邊形是正方形，平面，且平面平面．（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角所成角的正弦值．解：（1）設AB和CD交于點，取BE中點，連接，，∵平面平面BDE，平面平面，平面，平面BDE，為正方形，，平面，平面，，平面平面BDE，故，又平面平面平面BEF．（2）、為中點，，，平面平面，平面，四點共面，平面平面，，，為平行四邊形，故，以為原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，，設平面法向量，則，令，故，設平面法向量，則，令，故，設平面與平面的所成的二面角為，所以，所以二面角所成角的正弦值．18.已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，求證：．解：（1）定義域為，，令得和-1①若，則在上恒成立，則在單調遞增；②若，則由解得，解得，則在上單調遞減，在單調遞增，綜上所述，時，在單調遞增；時，在上單調遞減，在單調遞增.（2）當時，，欲證，只需證，即證，令，則又，則，設，則，則在上單調遞增，又，所以，使得，即，即，所以當時，，即，當時，，即，所以在單調遞減，在上單調遞增，所以所以，故命題得證.19.已知橢圓的右焦點為，右頂點為，離心率為，且點在橢圓上．（1）求出橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點，且，試探究直線是否恒過一個定點，若是，求出該定點，若不是，說明理由．解：（1）因為離心率為，所以，因為點在橢圓上，所以，因為，所以解得，則橢圓C的標準方程為.（2）①若直線斜率不存在，根據對稱性可知為等腰直角三角形，得到，此時，則直線，與橢圓方程聯立，解得，故直線過橢圓左焦點，即，②若直線斜率存，如圖，設，聯立方程組，消去得，由韋達定理可知，由已知得，且設，可以求出直線方程為，令，得到，，故，又因為，故，代入韋達定理得，求得，即，得到或，當時，直線過，此時三點重合，不符合題意；當時，直線方程為，此時直線AB過定點綜上所述：直線過定點．湖北省宜昌市部分示范高中2024-2025學年高二下學期期中聯合考試數學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交，一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知直線，點和點，若，則實數的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】，由于，則直線的斜率為即，故選：B2.二項式的展開式中，的系數等于（）A.60 B. C.240 D.【答案】A【解析】展開式通項為，令，解得：，所以的系數等于,故選：A3.在數列中，，若為等差數列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由為等差數列得，解得.故選：A4.曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，則當時，，，故曲線在處的切線方程為，即．故選：D5.現要用種不同顏色對如圖所示的五個區域進行涂色，要求相鄰的區域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有（）A.180種 B.192種 C.300種 D.420種【答案】D【解析】先涂區域有種選擇，再涂區域有種選擇，然后涂區域有種選擇，若區域與區域同色，此時區域有種選擇，若區域與區域不同色，則區域有種選擇，區域有種選擇，故有種涂色方法.故選：D6.設等比數列中，，使函數在時取得極值，則的值是（

）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】由題意，因為在時取得極值，所以，解得或，當，時，，所以在上單調遞增，不合題意，當，時，，所以時，，時，，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以當時取得極小值，滿足題意，所以，又，，同號，所以.故選：.7.如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，雙曲線的兩條漸近線分別交橢圓于A、C和B、D四點，若多邊形為正六邊形，則橢圓與雙曲線的離心率之和為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】∵多邊形為正六邊形，設邊長為，∴，，故選：C．8.如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面，點是線段上的動點（不含端點），若線段上存在點（不含端點），使得異面直線與成的角，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，取中點，連接，因平面，平面，故平面平面，因是以為斜邊的等腰直角三角形，故，又平面，且平面平面，所以平面，如圖分別以和過點與平行的直線為軸建立空間直角坐標系.則，設，設，故，得又因為，且異面直線與成的角，故，即即因則有，則故得.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖所示，在長方體中，若，E、F分別是、的中點，則下列結論中一定成立的是（）A.EF與垂直B.EF與所成的角大小為C.EF與平面所成角大小為D.直線EF與平面平行【答案】ACD【解析】如圖所示：A.連接，則，由平面，平面，則，所以，故A正確；B.由選項A知：EF與所成的角為，因為長度不定，所以EF與所成的角不確定，故錯誤；C.易知平面，則平面，所以EF與平面所成角大小為，故正確；D.由選項A知：，且平面，平面，所以直線EF與平面平行，故正確，故選：ACD10.關于多項式的展開式，下列結論正確的是（）A.各項系數之和為1B.各項系數的絕對值之和為C.常數項為140D.的系數為40【答案】BD【解析】對于A，令，可得各項系數之和為，故A錯誤；對于B，多項式的展開式各項系數的絕對值之和與多項式的展開式各項系數之和相等，在多項式中，令，可得各項系數之和為，故B正確；對于C，的展開式的通項公式為，的展開式的通項公式為，令，則有4種情況：當時，該項為；當時，該項為；當時，該項為；當時，該項為.故常數項，故C錯誤；對于D，令，結合，則有，解得或，當時，該項為；當時，該項為，所以，系數為，故D正確.故選：BD.11.已知數列和滿足，，，.則（）A. B.數列是等比數列C.數列是等差數列 D.【答案】BCD【解析】對A選項，令，則，，則，則，則，則A錯誤，

對B選項，由題意中兩式相加得，故B正確，對C選項，由題意中兩式作差得，即，則C正確，對D選項，由B得，，兩式相加得，則，則若，顯然，則成立,故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.將5名同學安排到3個小區參加創建文明城市宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有______種．（用數字作答）【答案】150【解析】將5名同學安排到3個小區參加創建文明城市宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，分組方法有（113），（122）兩種分法，當分成（113）時，有種安排方法；當分成（122）時，有種安排方法；綜上，共有150種安排方法.故答案為：15013.若圓與直線相交于點A，B,且，則k的值為______．【答案】【解析】由得，，圓心，半徑，所以，又，所以圓心到直線的距離為，解得，故答案為：．14.已知函數，若關于的方程恰有四個不同的解，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】設，則在是偶函數，當時，，由得，記，，，故函數在增，而，所以在減，在增，，當時，，當時，，因此的圖象為因此實數的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某市場上供應的氣球中，甲廠產品占60%，乙廠產品占40%，甲廠生產的氣球合格率為90%，乙廠生產的氣球合格率為80%．（1）從該市場上隨便購買一個氣球，求它是合格產品的概率；（2）如果小李購買了一個氣球是次品，求該氣球是甲廠生產的概率．解：（1）設“氣球合格”為事件，“氣球是甲廠生產”為事件，“氣球是乙廠生產的為事件，由題可知，，則．（2）．16.已知數列滿足，，為數列的前項和．（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）求數列的前項和．解：（1）對整理有：，等式兩邊同時除以可得,等式兩邊再同時減得,即，又由，可得，故，則數列是首項為，公比為的等比數列．（2）由（1）得的通項公式為,得,所以.（3）由（2）知，所以．17.如圖，在以A、B、C、D、E、F為頂點的六面體中（其中平面），四邊形是正方形，平面，且平面平面．（1）求證：直線平面；（2）若，求二面角所成角的正弦值．解：（1）設AB和CD交于點，取BE中點，連接，，