高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省楚天協作體2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題號的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內、寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知點關于直線對稱的點為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，直線為線段的垂直平分線，且，所以直線的斜率為，又因為線段的中點為，所以直線的方程為，整理可得.故選：C.2.若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則的值為（）A. B.9 C. D.12【答案】B【解析】由題意可知：，所以，解得：，故選：B3.已知為等差數列的前n項和，若，，則的值為（）A.21 B.20 C.19 D.18【答案】A【解析】因為為等差數列的前n項和，設公差為，所以，，即得，所以，所以，則.故選：A.4.點P是曲線上任意一點，則點P處切線傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得：，即，結合傾斜角與斜率的變化關系可知取值范圍為，故選：B5.若雙曲線的兩漸近線的夾角為，實軸長為6且焦點在x軸上，則該雙曲線的標準方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】因兩漸近線的夾角為，由雙曲線漸近線的對稱性可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為或，即得或，解得或..故選：D.6.已知m，且，則下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.若，則【答案】A【解析】，，，A錯誤；，B正確；，，C正確，由，可得，即，又，解得：，D正確；故選：A7.已知數列的前n項和為，前n項的積為，若，當取最小值時，（）A.10 B.11 C.12 D.12或13【答案】C【解析】，，當時，，兩式相減得，而，解得，因此數列是等比數列，，數列是遞增正項數列，，因此，所以當取最小值時，.故選：C8.設，，，則a、b、c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，令，則，令，則，所以在單調遞減，所以，即，所以在單調遞減，因為，所以，即，所以.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，圓，則下列命題正確的有（）A.直線l過定點B.若直線l過C點，則C.存在實數t，使得直線l與圓C相切D.若直線l與圓C相交于A，B兩點，則A，B兩點間的最短距離為【答案】AB【解析】對于A，直線顯然經過點，故A正確；對于B，直線l過點，則有，則，故B正確；對于C，由圓心到直線的距離，可得，顯然的值不存在，故C錯誤；對于D，由垂徑定理，要使弦長最短，需使圓心到直線的距離最長，而直線l過定點，當且僅當時，，此時，，但是，此時軸，直線的斜率不存在，顯然不合題意，故D錯誤.故選：AB.10.對任意實數x，有.則下列結論正確是（）A. B.（，1，…，9）的最大值為C. D.【答案】BCD【解析】對于A，令，得，故A錯誤；對于B，由，則展開式的通項公式為，所以為負，為正，當時，計算可得，，，，，所以（，1，…，9）的最大值為，故B正確；對于C，令，可得，令，可得，所以，又，可得，故C正確；對于D，由B可知，故D正確.故選：BCD.11.已知函數（）存在兩個極值點，（），且，.設的零點個數為m，方程的實根個數為n，則（）A. B.n的取值為2、3、4C. D.mn的取值為3、6、9【答案】AD【解析】由，可得為二次函數，（）為的零點，由，得或，因為，令，解得或；令，解得，所以在和內單調遞增，在內單調遞減，則為極大值點，為極小值點，所以，又，，即，若，則，此時，與矛盾，故A正確；因為，所以有2個解，有1個解，所以有3個解，故B錯誤；當時，如圖所示，零點個數為，所以，，故，當時，如圖所示，的零點個數為，所以，，故，當時，如圖所示，的零點個數為，所以，，故，故C錯誤，D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓和圓，則兩圓的公共弦長為_______.【答案】【解析】如圖，由圓與圓相減，整理可得兩圓的公共弦所在直線方程為：，由圓的圓心到直線的距離為，由弦長公式，可得兩圓的公共弦長為.故答案為：.13.某高中為開展新質課堂，豐富學生的課余生活，開設了若干個社團，高二年級有5名同學打算參加“書法協會”、“舞動青春”、“紅袖添香”和“羽乒協會”四個社團.若每名同學必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，則這5個同學中至多有1人參加“舞動青春”社團的不同方法數為__________.（用數字作答）【答案】360【解析】(1)計算0人參加“舞動青春”社團的方法數：將名同學分配到“書法協會”、“紅袖添香”和“羽乒協會”三個社團，且每個社團至多兩人參加.可先將人分成，，三組，有種，再將這三組在三個社團上全排列，可得，故方法數為種；(2)計算人參加“舞動青春”社團的方法數：先從人中選人參加“舞動青春”社團，有種.然后將剩下的人分配到“書法協會”、“紅袖添香”和“羽乒協會”三個社團，且每個社團至多兩人參加，可將人按照，或，，分組①若按照，分組，則有種，再將分好的兩組全排列，安排到三個社團中的兩個，則有種，故方法數為種；②若按照，，分組，則有種，再將這三組在三個社團上全排列，則有，故方法數為種.故有人參加“舞動青春”社團的方法數為種.綜上(1)，(2)，這5個同學中至多有1人參加“舞動青春”社團的不同方法數為：種.故答案為：360.14.已知且，集合和集合，若，則實數a的取值范圍為__________.【答案】【解析】或，當，對于等價于，若，則，故此時不等式不成立，即此時一定落在的內部，滿足，若，要滿足，需滿足對于在恒成立，即，即，構造函數，求導可得：，由，可得，由，可得，所以在單調遞增，在單調遞減，最大值為，所以，即，綜上可知：實數a的取值范圍為四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15.已知的展開式中的第項、第項和第項的二項式系數成等差數列.（1）求的值.（2）記，求被除的余數.解：（1）的展開式的第項、第項和第項的二項式系數依次為、和，由題意有，即，整理得，因為，解得.（2）因為，所以，，所以能被整除因此，被除的余數為.16.已知數列滿足，（）.（1）證明：數列是等比數列.（2）設，求.解：（1）數列滿足，（），則，∴，又∵，∴數列是以1為首項，為公比的等比數列.（2）由（1）知，則（），∴，∴.17.已知函數，（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數有最小值，且的最小值大于，求實數a的取值范圍.解：（1）當時，，∴，故∴曲線在處的切線方程為：，即.（2）因的定義域為，當時，，則在上單調遞增，無最小值；故.由得，由得，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴當時，有最小值，依題意，，即，∵，∴，設，（），則，因，則在上單調遞增，又，故由可得，即，解得，故實數a的取值范圍是.18.已知以為焦點的拋物線C的頂點為原點，點P是拋物線C的準線上任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，設直線PA，PB的斜率分別是和.（1）求拋物線C的標準方程及其準線方程.（2）求證：為定值.（3）求面積的最小值.解：（1）由題意知拋物線C的標準方程為（）且，∴，∴拋物線C的標準方程為，準線方程為；（2）設點P的坐標為，，由題意知過點P與拋物線C相切的直線的斜率存在且不為0，設切線的斜率為k，則切線的方程為，聯立方程組，消去x，得，∴得（*），又∵、為方程（*）的兩根，由韋達定理得為定值；（3）由題知直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為，，，聯立方程組整理得，，∴，，∵，∴，整理得，代入有，∴，∴且，∴AB：，故直線AB過定點.∴，，∴，點P到直線AB的距離為，∴，因函數在單調遞增，而，∴當時，，所以面積的最小值為.19.已知函數.（1）證明：當時，.（2）設，令.（ⅰ）討論的單調性.（ⅱ）若存在兩個極值點，（），證明：.解：（1）在定義域內是增函數∴當時，要證，只需證設（）∴∵在上單調遞增且∴在上單調遞減，在上單調遞增∴故時，.（2）（ⅰ）當時，.定義域為∴①當時，在上恒成立（當且僅當，時取等號）∴恒成立，故在上單調遞減.②當時，令，則有兩不等正實根當時，當時，∴在和上單調遞減，在上單調遞增.（ⅱ）若存在兩個極值點，由（ⅰ）知.∵的兩個極值點、為方程的兩根.∴，，∴，要證等價于證明.設（）∴∴在上單調遞增∴∴.即.湖北省楚天協作體2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題號的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內、寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知點關于直線對稱的點為，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，直線為線段的垂直平分線，且，所以直線的斜率為，又因為線段的中點為，所以直線的方程為，整理可得.故選：C.2.若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則的值為（）A. B.9 C. D.12【答案】B【解析】由題意可知：，所以，解得：，故選：B3.已知為等差數列的前n項和，若，，則的值為（）A.21 B.20 C.19 D.18【答案】A【解析】因為為等差數列的前n項和，設公差為，所以，，即得，所以，所以，則.故選：A.4.點P是曲線上任意一點，則點P處切線傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得：，即，結合傾斜角與斜率的變化關系可知取值范圍為，故選：B5.若雙曲線的兩漸近線的夾角為，實軸長為6且焦點在x軸上，則該雙曲線的標準方程為（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】因兩漸近線的夾角為，由雙曲線漸近線的對稱性可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為或，即得或，解得或..故選：D.6.已知m，且，則下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.若，則【答案】A【解析】，，，A錯誤；，B正確；，，C正確，由，可得，即，又，解得：，D正確；故選：A7.已知數列的前n項和為，前n項的積為，若，當取最小值時，（）A.10 B.11 C.12 D.12或13【答案】C【解析】，，當時，，兩式相減得，而，解得，因此數列是等比數列，，數列是遞增正項數列，，因此，所以當取最小值時，.故選：C8.設，，，則a、b、c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，令，則，令，則，所以在單調遞減，所以，即，所以在單調遞減，因為，所以，即，所以.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，圓，則下列命題正確的有（）A.直線l過定點B.若直線l過C點，則C.存在實數t，使得直線l與圓C相切D.若直線l與圓C相交于A，B兩點，則A，B兩點間的最短距離為【答案】AB【解析】對于A，直線顯然經過點，故A正確；對于B，直線l過點，則有，則，故B正確；對于C，由圓心到直線的距離，可得，顯然的值不存在，故C錯誤；對于D，由垂徑定理，要使弦長最短，需使圓心到直線的距離最長，而直線l過定點，當且僅當時，，此時，，但是，此時軸，直線的斜率不存在，顯然不合題意，故D錯誤.故選：AB.10.對任意實數x，有.則下列結論正確是（）A. B.（，1，…，9）的最大值為C. D.【答案】BCD【解析】對于A，令，得，故A錯誤；對于B，由，則展開式的通項公式為，所以為負，為正，當時，計算可得，，，，，所以（，1，…，9）的最大值為，故B正確；對于C，令，可得，令，可得，所以，又，可得，故C正確；對于D，由B可知，故D正確.故選：BCD.11.已知函數（）存在兩個極值點，（），且，.設的零點個數為m，方程的實根個數為n，則（）A. B.n的取值為2、3、4C. D.mn的取值為3、6、9【答案】AD【解析】由，可得為二次函數，（）為的零點，由，得或，因為，令，解得或；令，解得，所以在和內單調遞增，在內單調遞減，則為極大值點，為極小值點，所以，又，，即，若，則，此時，與矛盾，故A正確；因為，所以有2個解，有1個解，所以有3個解，故B錯誤；當時，如圖所示，零點個數為，所以，，故，當時，如圖所示，的零點個數為，所以，，故，當時，如圖所示，的零點個數為，所以，，故，故C錯誤，D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓和圓，則兩圓的公共弦長為_______.【答案】【解析】如圖，由圓與圓相減，整理可得兩圓的公共弦所在直線方程為：，由圓的圓心到直線的距離為，由弦長公式，可得兩圓的公共弦長為.故答案為：.13.某高中為開展新質課堂，豐富學生的課余生活，開設了若干個社團，高二年級有5名同學打算參加“書法協會”、“舞動青春”、“紅袖添香”和“羽乒協會”四個社團.若每名同學必須參加且只能參加1個社團且每個社團至多兩人參加，則這5個同學中至多有1人參加“舞動青春”社團的不同方法數為__________.（用數字作答）【答案】360【解析】(1)計算0人參加“舞動青春”社團的方法數：將名同學分配到“書法協會”、“紅袖添香”和“羽乒協會”三個社團，且每個社團至多兩人參加.可先將人分成，，三組，有種，再將這三組在三個社團上全排列，可得，故方法數為種；(2)計算人參加“舞動青春”社團的方法數：先從人中選人參加“舞動青春”社團，有種.然后將剩下的人分配到“書法協會”、“紅袖添香”和“羽乒協會”三個社團，且每個社團至多兩人參加，可將人按照，或，，分組①若按照，分組，則有種，再將分好的兩組全排列，安排到三個社團中的兩個，則有種，故方法數為種；②若按照，，分組，則有種，再將這三組在三個社團上全排列，則有，故方法數為種.故有人參加“舞動青春”社團的方法數為種.綜上(1)，(2)，這5個同學中至多有1人參加“舞動青春”社團的不同方法數為：種.故答案為：360.14.已知且，集合和集合，若，則實數a的取值范圍為__________.【答案】【解析】或，當，對于等價于，若，則，故此時不等式不成立，即此時一定落在的內部，滿足，若，要滿足，需滿足對于在恒成立，即，即，構造函數，求導可得：，由，可得，由，可得，所以在單調遞增，在單調遞減，最大值為，所以，即，綜上可知：實數a的取值范圍為四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15.已知的展開式中的第項、第項和第項的二項式系數成等差數列.（1）求的值.（2）記，求被除的余數.解：（1）的展開式的第項、第項和第項的二項式系數依次為、和，由題意有，即，整理得，因為，解得.（2）因為，所以，，所以能被整除因此，被除的余數為.16.已知數列滿足，（）.（1）證明：數列是等比數列.（2）設，求.解：（1）數列滿足，（），則，∴，又∵，∴數列是以1為首項，為公比的等比數列.（2）由（1）知，則（），∴，∴.17.已知函數，（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數有最小值，且的最小值大于，求實數a的取值范圍.解：（1）當時，，∴，故∴曲