高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省周口市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.若集合，則中元素的個數為（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】因為，所以中有4個元素．故選：C．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．故選：B.3.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，由，得．故選：C．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.5.要得到函數的圖象，只需把函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】A【解析】因為，所以把的圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象．故選：A.6.若函數有意義，且在區間上單調遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知且．設，則在區間上單調遞減，由復合函數的單調性可得，即．又因為當時，所以，解得．綜上得．故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，兩式相加，得，即．故選：B.8.已知函數，若方程有3個不同的實數根，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，畫出大致圖象．方程有3個不同的實數根，即函數的圖象與直線有3個交點，由圖可知．易知：是方程的根，即的根，所以．當時，令，可得，所以時，．所以．所以的取值范圍是．故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的是（）A.若A，B均為非空集合且，則“”是“”的必要不充分條件B.若a，，則“”是“”的充分不必要條件C.若x，，則“”是“”的充要條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】對于A，由“”可以推出“”，但由“”不能推出“”，則“”是“”的必要不充分條件，A正確；對于B，由，得，從而，但由只能得到，不能得到，則“”是“”的充分不必要條件，B正確；對于C，等式成立的前提是，則“”不是“”的充要條件，C錯誤；對于D，若，則，必有，反之不成立，則“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：ABD.10.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對于A，D，取，則，故A，D錯誤；對于B，因為，所以，所以，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以，結合B選項的分析，可得，所以，故C正確．故選：BC.11.若函數滿足對任意，都有，且當時，則（）A.的值不可能是0 B.C.是奇函數 D.是增函數【答案】AC【解析】對于A，在中，令，得或，若，則當時，，與已知矛盾，所以，故A正確；對于B，令，得，所以，故B錯誤；對于C，令，得，所以是奇函數，故C正確；對于D，取，是符合已知條件的函數，但不是增函數，故D錯誤．故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則，的最大值為__________．【答案】【解析】因為，所以，故，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為．13.已知某種食品的保鮮時間y（單位：h）與儲存溫度x（單位：）滿足的關系式為，若該食品在時的保鮮時間是，在時的保鮮時間是在時保鮮時間的2倍，則該食品在時的保鮮時間是__________．【答案】64【解析】由該食品在時的保鮮時間是，得，所以，由在時的保鮮時間是在時保鮮時間的2倍，得，所以，所以該食品在時的保鮮時間是．故答案為：64.14.已知函數，在上的最大值為，則__________．【答案】1【解析】，當時，，所以，所以，所以．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的圖象關于直線對稱，的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）求的單調遞增區間．解：（1）因為的最小正周期為，所以，因為圖象關于直線對稱，所以，即，又，所以，所以．（2）因為的單調遞增區間為，所以令，得，所以的單調遞增區間為.16.已知函數．（1）若的圖象經過點，求不等式的解集；（2）若存在x，使得，求a的取值范圍．解：（1）因為的圖象經過點，所以，即，又，所以．因為的定義域為，且在上單調遞增，所以由，得，解得，故原不等式的解集為．（2），即，化簡可得，所以方程在時有解．易知在上的值域為，所以，又，所以，即a的取值范圍為．17.已知．（1）求；（2）若，且，求．解：（1）因為，所以．（2）因為，所以．因為，①兩邊平方得，所以，又因為，所以，所以，②①②聯立，得，所以，故．18.已知是偶函數．（1）求的值；（2）用單調性的定義證明在上單調遞增；（3）解關于不等式．解：（1）因為是偶函數，其定義域為，所以，即，所以（負值舍去）．當時，，滿足，是偶函數，所以．（2）由（1）知．，且，有，由，得，所以，即，所以在上單調遞增．（3）由（1）知，故原不等式為，可得．若，得，原不等式的解集為，若，原不等式等價于，因為，所以原不等式的解集為，若，原不等式等價于，當時，原不等式的解集為，當，即時，原不等式的解集為，當，即時，原不等式的解集為．19.給定區間D，若在D上有最大值M及最小值m，且，則稱為D上的“單位距函數”．（1）若是上的“單位距函數”，求a的值．（2）若函數在區間上的最小值為．（i）求的表達式；（ii）若為整數，且為區間上的“單位距函數”，求m，a的值．解：（1）因為，當時，，當且僅當時取等號，所以，此時；，此時．因為為上的“單位距函數”，所以，所以．（2）（i）．設，當，即時，在上單調遞增，；當，即時，；當，即時，在上單調遞減，．綜上，（ii）由（i）知，當時，，，因為為整數，所以為整數，因為，所以，所以，即．由題意知為區間上的“單位距函數”，由（i）知在區間上單調遞增，所以，所以．河南省周口市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.若集合，則中元素的個數為（）A.1 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】因為，所以中有4個元素．故選：C．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．故選：B.3.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，由，得．故選：C．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以．故選：D.5.要得到函數的圖象，只需把函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】A【解析】因為，所以把的圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象．故選：A.6.若函數有意義，且在區間上單調遞減，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題知且．設，則在區間上單調遞減，由復合函數的單調性可得，即．又因為當時，所以，解得．綜上得．故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，兩式相加，得，即．故選：B.8.已知函數，若方程有3個不同的實數根，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，畫出大致圖象．方程有3個不同的實數根，即函數的圖象與直線有3個交點，由圖可知．易知：是方程的根，即的根，所以．當時，令，可得，所以時，．所以．所以的取值范圍是．故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結論正確的是（）A.若A，B均為非空集合且，則“”是“”的必要不充分條件B.若a，，則“”是“”的充分不必要條件C.若x，，則“”是“”的充要條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】對于A，由“”可以推出“”，但由“”不能推出“”，則“”是“”的必要不充分條件，A正確；對于B，由，得，從而，但由只能得到，不能得到，則“”是“”的充分不必要條件，B正確；對于C，等式成立的前提是，則“”不是“”的充要條件，C錯誤；對于D，若，則，必有，反之不成立，則“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：ABD.10.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對于A，D，取，則，故A，D錯誤；對于B，因為，所以，所以，因為，所以，所以，故B正確；對于C，因為，所以，所以，結合B選項的分析，可得，所以，故C正確．故選：BC.11.若函數滿足對任意，都有，且當時，則（）A.的值不可能是0 B.C.是奇函數 D.是增函數【答案】AC【解析】對于A，在中，令，得或，若，則當時，，與已知矛盾，所以，故A正確；對于B，令，得，所以，故B錯誤；對于C，令，得，所以是奇函數，故C正確；對于D，取，是符合已知條件的函數，但不是增函數，故D錯誤．故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則，的最大值為__________．【答案】【解析】因為，所以，故，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為．13.已知某種食品的保鮮時間y（單位：h）與儲存溫度x（單位：）滿足的關系式為，若該食品在時的保鮮時間是，在時的保鮮時間是在時保鮮時間的2倍，則該食品在時的保鮮時間是__________．【答案】64【解析】由該食品在時的保鮮時間是，得，所以，由在時的保鮮時間是在時保鮮時間的2倍，得，所以，所以該食品在時的保鮮時間是．故答案為：64.14.已知函數，在上的最大值為，則__________．【答案】1【解析】，當時，，所以，所以，所以．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的圖象關于直線對稱，的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）求的單調遞增區間．解：（1）因為的最小正周期為，所以，因為圖象關于直線對稱，所以，即，又，所以，所以．（2）因為的單調遞增區間為，所以令，得，所以的單調遞增區間為.16.已知函數．（1）若的圖象經過點，求不等式的解集；（2）若存在x，使得，求a的取值范圍．解：（1）因為的圖象經過點，所以，即，又，所以．因為的定義域為，且在上單調遞增，所以由，得，解得，故原不等式的解集為．（2），即，化簡可得，所以方程在時有解．易知在上的值域為，所以，又，所以，即a的取值范圍為．17.已知．（1）求；（2）若，且，求．解：（1）因為，所以．（2）因為，所以．因為，①兩邊平方得，所以，又因為，所以，所以，②①②聯立，得，所以，故．18.已知是偶函數．（1）求的值；（2）用單調性的定義證明在上單調遞增；（3）解關于不等式．解：（1）因為是偶函數，其定義域為，所以，即，所以（負值舍去）．當時，，滿足，是偶函數，所以．（2）由（1）知．，且，有，由，得，所以，即，所以在上單調遞增．（3）由（1）知，故原不等式為，可得．若，得，原不等式的解集為，若，原不等式等價于，因為，所以原不等式的解集為，若，原不等式等價于，當時，原不等式的解集為，當，即時，原不等式的解集為，當，即時，原不等式的解集為．19.給定區間D，若在D上有最大值M及最小值m，且，則稱