第2章·軸對稱圖形2.4線段、角的軸對稱性第3課時角平分線的性質與判定學習目標1.探索并證明角平分線的性質定理和判定定理；2.了解角平分線是具有特殊性質的點的集合.知識回顧1.下圖中表示點P到直線l的距離的是________________.線段PC的長點到直線的距離是指：點到直線的垂線段的長度.●P●A●B●D●C2.如果點P在線段AB的垂直平分線上，那么____________；反過來，如果QA=QB，那么點Q在______________________.PA=PB線段AB的垂直平分線上探索與思考操作1

在一張薄紙上畫∠AOB．活動一

探究角的軸對稱性OBA探索與思考活動一

探究角的軸對稱性操作2

折疊紙片使角的兩邊重合．BAO思考

它是軸對稱圖形嗎？對稱軸在哪里？如何描述角的對稱軸？探索與思考角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.活動一

探究角的軸對稱性OBA探索與思考活動二

探究角平分線性質操作1

在折痕上任取一點P，分別畫點P到OA和OB的垂線段PC和PD.OBA●PDE探索與思考活動二

探究角平分線性質操作2

沿原折痕折疊，你有什么發現？OBA●PDE點D和點E重合，PD=PE.探索與思考活動二

探究角平分線性質思考1

你能利用角的軸對稱性驗證你的結論嗎？OBA●PDE理由如下：把△POD沿OP翻折，∵∠AOP=∠BOP，∴OA與OB重合．∵PD⊥OA，PE⊥OB，依據基本事實“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，∴PD與PE重合，∴PD=PE．探索與思考活動二

探究角平分線性質思考2

你還有其他的證明方法嗎？OBA●PDE三角形全等

探索與思考活動二

探究角平分線性質思考3

像這樣的點P還有嗎？為什么？OBA●PDE●P1D1E1●P2D2E2●P2D3E3還有，無數個新知歸納角平分線的性質定理：角平分線上的點

到角兩邊的距離相等．OABCPDEP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點∵OC平分∠AOB，點P在OC上，

PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）.符號語言：注意：一定要表明是兩條垂線段.用途：推出相等的線段.新知鞏固（1）∵

如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，().

角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC判斷下列的寫法是否正確？理由：沒有垂直，不能確定BD、CD是點D到角兩邊的距離.新知鞏固(2)∵

如圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()角內任意一條線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC理由：無法確定點D在∠BAC的平分線上.

在角平分線上和垂直這兩個條件缺一不可．探索與思考活動三

探究角平分線的判定方法OBA●QDE討論1：你能寫出角平分線的性質定理的逆命題嗎？小組討論探索與思考活動三

探究角平分線的判定方法OBA●QDE猜想：如果一個點到角兩邊的距離相等，那么這個點在角的平分線上.這個命題是真的嗎？如果是假的，怎么修改能成為真的呢？角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.探索與思考活動三

探究角平分線的判定方法OBA●QDE求證：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.已知：如圖，若點Q在∠AOB內部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，求證：點Q在∠AOB的角平分線上.探索與思考活動三

探究角平分線的判定方法OBA●DE

Q求證：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.∵QD＝QE，QD⊥OA，QE⊥OB，新知歸納角平分線的判定定理：∴點Q在∠AOB的平分線上.

（角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上）.符號語言：用途：證明點在角平分線上，即可以判定角平分線.注意：一定要表明是兩條垂線段.角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上.OABQDE探索與思考活動三

探究角平分線的判定方法OBA●QDE討論2：如果點到角兩邊的距離不相等，那么這個點會在這個角的平分線上嗎？為什么？解：這個點不會在這個角的平分線上.理由如下：如圖，假設點Q在∠AOB的平分線上，∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴QD=QE．這與QD≠QE矛盾.∴如果點到角兩邊的距離不相等，那么這個點不會在這個角的平分線上.探索與思考在角平分線上的點都具有同一個性質而毫無例外;反之,具有這一性質的點都在這個角平分線上而無一遺漏.由此發現了：OBA●DEQ角平分線是角的內部到角的兩邊距離相等的點的集合.新知歸納角的平分線的性質角的平分線的判定圖形已知條件結論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB1.如圖，①∵OC平分_______，點P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N，PM=2，∴PN=

=

.

②∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=

，∴點P在∠AOB的平分線上,即OC平分

.

∠AOBPM2PN∠AOB新知鞏固OBANCMP2.利用網格線畫圖：(1)在BC上找一點P，使點P到AB和AC的距離相等；新知鞏固ABC●P2.利用網格線畫圖：新知鞏固(2)在射線AP上找一點Q，使QB=QC.ABC●P●Q新知應用例

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°.

∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.新知應用變式：如圖所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD.求證：AD平分∠BAC.ABCDMN

新知歸納1.應用角平分線的性質時，“角的平分線”“角平分線上的點到角兩邊的距離”兩個條件缺一不可，不能錯用為“角平分線上的點到角兩邊任意點的距離相等”.2.應用角平分線的判定時，需要滿足兩個條件：“垂直”和“相等”.3.常用輔助線：過角平分線上一點向兩邊作垂線段.課堂小結角平分線性質定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段的長度相等判定定理在一個角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上常用輔助線：過角平分線上一點向兩邊作垂線段.當堂檢測1.如圖，P是∠AOB的平分線OC上一點，PD⊥OB，垂足為D，若PD=2，則點P到邊OA的距離是(

)A.2B.3C.1D.4DEOBA●DPC當堂檢測2.如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結論中不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．PO平分∠APBC．OA＝OB

D．AB垂直平分OPDO●BPA當堂檢測3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，則△