考試內容等級要求函數的概念B函數的基本性質B指數與對數B指數函數的圖象與性質B對數函數的圖象與性質B冪函數A函數與方程B函數模型及其應用B§2.1函數及其表示考情考向分析以基本初等函數為載體，考查函數的表示法、定義域；分段函數以及函數與其他知識的綜合是高考熱點，題型既有填空題，又有解答題，中檔偏上難度．1．函數與映射函數映射兩個集合A，B設A，B是兩個非空數集設A，B是兩個非空集合對應法則f：A→B如果按某種對應法則f，使對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應如果按某種對應法則f，使對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應名稱稱y＝f(x)，x∈A為從集合A到集合B的一個函數稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射記法函數y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函數的有關概念(1)函數的定義域、值域在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數y＝f(x)的定義域；對于A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應．我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數的值域．(2)函數的三要素：定義域、對應法則和值域．(3)函數的表示法表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法．3．分段函數若函數在其定義域的不同子集上，因對應法則不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．知識拓展簡單函數定義域的類型(1)當f(x)為分式型函數時，定義域為使分母不為零的實數集合；(2)當f(x)為偶次根式型函數時，定義域為使被開方式非負的實數的集合；(3)當f(x)為對數式時，函數的定義域是真數為正數、底數為正且不為1的實數集合；(4)若f(x)＝x0，則定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)；(5)指數函數的底數大于0且不等于1；(6)正切函數y＝tanx的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對于函數f：A→B，其值域就是集合B.(×)(2)若兩個函數的定義域與值域相同，則這兩個函數相等．(×)(3)函數f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個交點．(√)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其對應是從A到B的映射．(×)(5)分段函數是由兩個或幾個函數組成的．(×)題組二教材改編2．[P83例1]函數f(x)＝eq\r(x＋3)＋log2(6－x)的定義域是________．答案[－3,6)3．[P30練習T2]函數y＝f(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是________；值域是________；其中只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]題組三易錯自糾4．已知函數f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，則x0的值為______．答案2解析當x≥0時，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即xeq\o\al(2,0)＝4，解得x0＝2；當x<0時，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－xeq\o\al(2,0)＝4，無解．所以x0＝2.5．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2，x≥0，,－x2＋3，x<0，))若f(a)＝2，則a的值為________．答案－1或2解析當a≥0時，2a－2＝2，解得a＝2；當a<0時，－a2＋3＝2，解得a＝－1.綜上，a的值為－1或2.6．已知函數f(x)＝ax3－2x的圖象過點(－1,4)，則a＝________.答案－2解析由題意知點(－1,4)在函數f(x)＝ax3－2x的圖象上，所以4＝－a＋2，則a＝－2.題型一函數的概念1．已知A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是從定義域A到值域B的一個函數，求a，k的值．解由對應法則知，1→4,2→7,3→10，k→3k＋1.由a4≠10，故a2＋3a＝10，解得a＝2或a＝－5(舍去)，所以a4＝16.于是3k＋1＝16，所以k＝5.2．有以下判斷：①f(x)＝eq\f(|x|,x)與g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))表示同一函數；②f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1表示同一函數；③若f(x)＝|x－1|－|x|，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝0.其中正確判斷的序號是________．答案②解析對于①，由于函數f(x)＝eq\f(|x|,x)的定義域為{x|x∈R且x≠0}，而函數g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))的定義域是R，所以二者不是同一函數，故①不正確；對于②，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應法則均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數，故②正確；對于③，由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(0)＝1，故③不正確．綜上可知，正確的判斷是②.思維升華函數的值域可由定義域和對應法則唯一確定；當且僅當定義域和對應法則都相同的函數才是同一函數．值得注意的是，函數的對應法則是就結果而言的(判斷兩個函數的對應法則是否相同，只要看對于函數定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應法則算出的函數值是否相同)．題型二函數的定義域問題命題點1求函數的定義域典例(1)函數f(x)＝eq\f(1,x)lneq\r(x2－3x＋2)＋eq\r(－x2－3x＋4)的定義域為________．答案[－4,0)∪(0,1)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠0，,x2－3x＋2＞0，,－x2－3x＋4≥0，))解得－4≤x＜0或0＜x＜1，故函數f(x)的定義域為[－4,0)∪(0,1)．(2)若函數y＝f(x)的定義域為[0,2018]，則函數g(x)＝eq\f(fx＋1,x－1)的定義域為________．答案[－1,1)∪(1,2017]解析使函數f(x＋1)有意義，則0≤x＋1≤2018，解得－1≤x≤2017，故函數f(x＋1)的定義域為[－1，2017]．所以使函數g(x)有意義的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤2017，,x－1≠0，))解得－1≤x＜1或1＜x≤2017.故函數g(x)的定義域為[－1,1)∪(1,2017]．引申探究本例(2)中，若將“函數y＝f(x)的定義域為[0,2018]”，改為“函數f(x－1)的定義域為[0,2018]，”則函數g(x)＝eq\f(fx＋1,x－1)的定義域為________．答案[－2,1)∪(1,2016]解析由函數f(x－1)的定義域為[0,2018]．得函數y＝f(x)的定義域為[－1,2017]，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x＋1≤2017，,x≠1，))則－2≤x≤2016且x≠1.所以函數g(x)的定義域為[－2,1)∪(1,2016]．命題點2已知函數的定義域求參數范圍典例(1)若函數y＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定義域為R，則實數m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))解析要使函數的定義域為R，則mx2＋4mx＋3≠0恒成立，①當m＝0時，顯然滿足條件；②當m≠0時，由Δ＝(4m)2－4m×3＜0，得0＜m＜eq\f(3,4).由①②得0≤m＜eq\f(3,4).(2)若函數f(x)＝eq\r(ax2＋abx＋b)的定義域為{x|1≤x≤2}，則a＋b的值為________．答案－eq\f(9,2)解析函數f(x)的定義域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集為{x|1≤x≤2}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,1＋2＝－b，,1×2＝\f(b,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2)，,b＝－3，))所以a＋b＝－eq\f(3,2)－3＝－eq\f(9,2).思維升華(1)求給定函數的定義域往往轉化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)取交集時可借助于數軸，要特別注意端點值的取舍．(2)求抽象函數的定義域①若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域．(3)已知函數定義域求參數范圍，可將問題轉化成含參數的不等式，然后求解．跟蹤訓練(1)函數y＝eq\f(\r(9－x2),log2x＋1)的定義域是________．答案(－1,0)∪(0,3]解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9－x2≥0，,x＋1＞0，,x＋1≠1，))解得－1＜x≤3且x≠0，∴函數的定義域是(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函數y＝f(x2－1)的定義域為[－eq\r(3)，eq\r(3)]，則函數y＝f(x)的定義域為________．答案[－1,2]解析∵y＝f(x2－1)的定義域為[－eq\r(3)，eq\r(3)]，∴x∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定義域為[－1,2]．(3)若函數y＝eq\f(ax＋1,\r(ax2－4ax＋2))的定義域為R，則實數a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析由ax2－4ax＋2>0恒成立，得a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝－4a2－4×a×2<0，))解得0≤a<eq\f(1,2).題型三求函數解析式1．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋x－2，則f(x)＝________.答案x2－2(x≥2或x≤－2)解析∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－2，又eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))x＋eq\f(1,x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))≥2，∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．2．已知f(x)是二次函數且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________.答案eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2解析設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝1，,a＋b＝－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(3,2).))∴f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.3．已知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________.答案eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)(x＞0)解析在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq\r(\f(1,x))－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2fx·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).思維升華函數解析式的求法(1)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可用待定系數法．(2)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍．(3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．(4)消去法：已知f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．題型四分段函數命題點1求分段函數的函數值典例已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosπx，x≤1，,fx－1＋1，x>1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))的值為________．答案1解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＋1＝coseq\f(π,3)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))＋1＝1.命題點2分段函數與方程、不等式問題典例(1)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，則f(6－a)＝________.答案－eq\f(7,4)解析函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2x＋1，x>1，))且f(a)＝－3，若a≤1，則2a－1－2＝－3，即有2a－1＝－1<0，方程無解；若a>1，則－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，則f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－eq\f(7,4).(2)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2，x≥0，))g(x)為定義在R上的奇函數，且當x<0時，g(x)＝x2－2x－5，若f(g(a))≤2，則實數a的取值范圍是________．答案(－∞，－1]∪[0,2eq\r(2)－1]解析∵g(x)為定義在R上的奇函數，∴g(0)＝0，若x>0，則－x<0，g(－x)＝x2＋2x－5，∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x＋5，x>0，由題意，知f(－2)＝2，∴f(g(a))≤2即為f(g(a))≤f(－2)．又f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2，x≥0，))∴g(a)≥－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a2－2a－5≥－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－a2－2a＋5≥－2))或a＝0，∴a≤－1或0≤a≤2eq\r(2)－1.思維升華(1)分段函數的求值問題的解題思路①求函數值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區間，然后代入該段的解析式求值，當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值；②求自變量的值：先假設所求的值在分段函數定義區間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗．(2)分段函數與方程、不等式問題的求解思路依據不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結果并起來．跟蹤訓練設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))則使f(x)＝eq\f(1,2)的x的取值集合為__________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\r(2)，\f(\r(2),2)))解析由題意知，若x≤0，則2x＝eq\f(1,2)，解得x＝－1；若x>0，則|log2x|＝eq\f(1,2)，解得x＝或x＝.故x的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\r(2)，\f(\r(2),2))).分類討論思想在函數中的應用典例(1)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是________．(2)(2017·全國Ⅲ)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x＞0，))則滿足f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＞1的x的取值范圍是________．思想方法指導(1)求分段函數的函數值，首先要確定自變量的范圍，通過分類討論求解；(2)當給出函數值或函數值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時，應根據每一段解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或取值范圍是否符合相應段的自變量的值或取值范圍．解析(1)令f(a)＝t，則f(t)＝2t，當t<1時，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，得g′(t)>0，∴g(t)在(－∞，1)上為增函數，∴g(t)<g(1)＝0，∴3t－1＝2t無解．當t≥1時，2t＝2t成立，由f(a)≥1，得當a＜1時，有3a－1≥1，解得a≥eq\f(2,3)，∴eq\f(2,3)≤a＜1；當a≥1時，有2a≥1，解得a≥0，∴a≥1.綜上，a≥eq\f(2,3).(2)當x＞eq\f(1,2)時，f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝2x＋＞2x＞eq\r(2)＞1；當0＜x≤eq\f(1,2)時，f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝2x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋1＝2x＋x＋eq\f(1,2)＞2x＞1；當x≤0時，f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝x＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋1＝2x＋eq\f(3,2)，∴由f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＞1，得2x＋eq\f(3,2)＞1，即x＞－eq\f(1,4)，即－eq\f(1,4)＜x≤0.綜上，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).答案(1)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))1．(2017·蘇州中學月考)從集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1,0,1,2}，則B中至少有________個元素．答案3解析根據映射的定義，可得x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，故集合B中至少有3個元素．2．(2016·江蘇)函數y＝eq\r(3－2x－x2)的定義域是________．答案[－3,1]解析要使原函數有意義，需且僅需3－2x－x2≥0.解得－3≤x≤1.故函數定義域為[－3,1]．3．(2017·靖江中學調研)直線x＝a和函數y＝x2＋x－1的圖象公共點的個數為________．答案1解析∵函數y＝x2＋x－1的定義域為R，∴根據函數的概念可得直線x＝a和函數y＝x2＋x－1的圖象公共點的個數為1.4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x≤0，,log3x，x＞0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝________.答案9解析∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))＝log3eq\f(1,9)＝－2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))))＝f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9.5．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(x2＋1,x2)＋eq\f(1,x)，則f(x)＝________.答案x2－x＋1(x≠1)解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(x2＋1,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)))2－eq\f(x＋1,x)＋1，令eq\f(x＋1,x)＝t(t≠1)，則f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．6.如圖，△AOD是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形OBD是四分之一圓的扇形，點P在線段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于點Q，設AP＝x(0<x<2)，圖中陰影部分表示的平面圖形APQ(或APQD)的面積為y，則函數y＝f(x)的大致圖象是________．答案①解析觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當0<x≤1時，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越快．(2)當1<x<2時，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越慢．分析四個答案中的圖象，只有選項①符合條件．7．(2017·山東改編)設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0＜x＜1，,2x－1，x≥1，))若f(a)＝f(a＋1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝________.答案6解析由當x≥1時f(x)＝2(x－1)是增函數可知，若a≥1，則f(a)≠f(a＋1)，所以0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)得eq\r(a)＝2(a＋1－1)，解得a＝eq\f(1,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2(4－1)＝6.8．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2ax＋3a，x<1，,lnx，x≥1))的值域為R，那么a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))解析要使函數f(x)的值域為R，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0，,ln1≤1－2a＋3a，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)，,a≥－1，))∴－1≤a＜eq\f(1,2).即a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).9．已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)＝________.答案x2－1(x≥1)解析令eq\r(x)＋1＝t，則x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．10．已知函數f(x)的圖象如圖所示，則函數g(x)＝logf(x)的定義域是__________．答案(2,8]解析要使函數有意義，需f(x)>0，由f(x)的圖象可知，當x∈(2,8]時，f(x)>0.11．設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x<1，,x，x≥1，))則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________________．答案(－∞，8]解析當x<1時，由ex－1≤2，得x≤1＋ln2，∴x<1；當x≥1時，由x≤2，得x≤8，∴1≤x≤8.綜上，符合題意的x的取值范圍是x≤8.12．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lgx2＋1，x＜1，))則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．答案02eq\r(2)－3解析∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝0.當x≥1時，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(2)－3，當且僅當x＝eq\r(2)時取等號，此時f(x)min＝2eq\r(2)－3<0；當x＜1時，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，當且僅當x＝0時取等號，此時f(x)min＝0.∴f(x)的最小值為2eq\r(2)－3.13．設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,－x2，x≥0，))若f(f(a))≤3，則實數a的取值范圍是________．答案(－∞，eq\r(3)]解析令f(a)＝t，則f(t)≤3等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t<0，,t2＋2t≤3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥0，,－t2≤3，))解得t≥－3，則f(a)≥－3等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a2＋2a≥－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,－a2≥－3，))解得a≤eq\r(3)，則實數a的取值范圍是(－∞，eq\r(3)]．14．已知函數f(x)滿足對任意的x∈R都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))＝2成立，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,8)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))＝________.答案7解析由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＋feq\