威遠中學校屆高二下期5月月考數學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分分，考試時間分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共分）選擇題：本大題共85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知等差數列滿足，則（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根據等差數列的性質求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：B.2.展開式的常數項為（）A.20B.90C.40D.120【答案】A【解析】【分析】根據二項展開式的通項公式賦值即可求出．【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項．故選：A．3.設等比數列前項和為，若，則（）第1頁/共18頁A.B.3C.1D.【答案】B【解析】【分析】設公比為，推導出，即可求出的值.【詳解】設公比為，當時，不符合題意；當時，又，所以，解得.故選：B4.已知函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】對函數求導，根據函數在上單調遞增列不等式，分離常數后，進而求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，因為在區間上單調遞增，所以，對任意恒成立，所以對任意恒成立，因為，，所以，即實數的取值范圍是.故選：B.第2頁/共18頁5.函數的部分圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據函數的奇偶性可排除BD，根據時函數值的正負可排除A求解.【詳解】由于的定義域為，關于原點對稱，且，故為奇函數，此時可排除BD,當時，，此時排除A，故選：C6.已知3123456.將這3張卡片排成一排，則可構成不同的三位數的個數為（）A.120B.60C.48D.36【答案】C【解析】【分析】根據分步乘法計數原理即可解題.【詳解】將3張卡片排成一排，每一張卡片數字有兩種情況，則不同的數字組合有種，再將3個數字進行排列，則有種，所以構成的不同三位數有種.故選：C第3頁/共18頁，數列滿足，則（）A.23B.22C.24D.25【答案】D【解析】【分析】利用取整函數的定義及，直接計算即可.【詳解】由于，而，故.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對取整函數定義的理解.8.設，，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，先構造函數，比較，再構造函數，通過與的大小，最后構造函數與的大小關系，從而得出結果.【詳解】令，則，所以在上單調遞減，所以，也即，令，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以，故當時有，第4頁/共18頁所以，令，則，因為，當時，，所以，函數在上單調遞減，所以，也即，所以，故，故選：B.二多選題（本題共3個小題，每題6分，有多個選項，共分）9.2025年某影院在春節檔引入了5部電影，包含3部喜劇電影、2部動畫電影．其中《哪吒之魔童鬧海》票房超150億，成為全球動畫票房冠軍．該影院某天預留了一個影廳用于放映這5部電影，這5部電影當天全部放映，則下列選項正確的是（）A.《哪吒之魔童鬧海》不排在第1場，共有96種排法B.60種排法C.兩部動畫片相鄰放映，共有48種排法D.3部喜劇電影不相鄰，共有24種排法【答案】ABC【解析】【分析】由特殊元素優先法即可判斷A，由倍縮法即可判斷B，由捆綁法即可判斷C，由插空法即可判斷D.【詳解】對于A4部電影全排列，則有種排法，故A正確；對于B，5部電影全排列有種排法，因為兩部動畫片放映的先后順序固定，則有種排法，故B正確；對于C，先將兩部動畫片捆綁，再與另外三部電影全排列，則有種排法，故C正確；第5頁/共18頁則有種排法；故選：ABC10.已知數列前項和為，下列說法正確的是（）A.若是等差數列，，則使的最大正整數的值為15B.若是等比數列，（C.若是等比數列，則D.若，則數列為遞增等差數列【答案】BD【解析】【分析】由等差數列，等比數列的性質與前項和公式逐項判斷即可.【詳解】若是等差數列，，所以，則，所以使的最大正整數的值為30.故A錯誤；若是等比數列，，則，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，故B正確；若是等比數列，則，故C錯誤；若，所以，所以，所以，第6頁/共18頁即，所以，所以是以為首項，為公差的遞增等差數列，故D正確；故選：BD.定義在上的函數，其導函數為，且滿足，若，且，則下列不等式一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】對于AB：由題意可知在上單調遞增，根據單調性分析判斷；對于CD：令，分析可知在上單調遞增，可得，進而分析判斷即可.【詳解】A選項：因為，可知在上單調遞增，且，則，所以，A正確；B選項：因為，且，則，即，因為在上單調遞增，所以，B正確；C選項：令，則，可知在上單調遞增，因為，所以，即，第7頁/共18頁所以，C錯誤；D選項：由C可知，且，則，令當單調遞增，所以，所以，所以，所以，D正確．故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題共分）三填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分，請把答案填在答題卡相應位置上.12.一個1，兩個2，三個3組成一個六位數，則相同數字不相鄰的個數為__________.【答案】10【解析】【分析】根據給定條件，列舉出所有可能的排列結果可.【詳解】相同數字不相鄰的情況：三個3之間的兩個位置只有兩個2，有323231，132323；三個3之間的兩個位置只有一個1和一個2，有232313，323132，231323，313232；三個31和一個22312323321323323123，323213，所以相同數字不相鄰的個數為10個.故答案為：1013.已知等比數列的前項和為，且，則__________.【答案】21第8頁/共18頁【分析】根據等比數列片段和的性質可求的值.【詳解】因為為等比數列，其前項和為，所以為等比數列，故為等比數列，故，故，故答案為：2114.“朗博變形”是借助指數運算或對數運算，將化成，的變形技巧，已知函數，，若，則的最小值為__________【答案】1【解析】在上單調遞增，則，所以，令，設，利用導數求其最小值即可.【詳解】依題意：，即，則，設，則在恒成立，所以函數在上單調遞增，則，，第9頁/共18頁令，顯然在上單調遞增，,設，，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，.故答案為：1.四、解答題（本大題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數（1）求曲線在處的切線的方程；（2）求函數的極值；【答案】（1）（2）的極小值為，極大值為【解析】1）求出、即可；（2）利用導數求出的單調性，然后可得答案.【小問1詳解】因為，所以，所以所以曲線在處的切線的方程為，即【小問2詳解】因為所以當時，當時所以在、上單調遞增，在上單調遞減所以極小值為，極大值為16.已知數列是公差為2的等差數列，且是與的等差中項.第10頁/共18頁（1）求的通項公式；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】1（2）根據題意，由裂項相消法代入計算，即可求解.【小問1詳解】，，又，.【小問2詳解】原式.17.已知函數（其中為自然對數的底數）.（1）求函數的最小值；（2）若，且在上恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】第11頁/共18頁1）利用導數分析函數的單調性，可求出函數的最小值；（2得出，的最大值.小問1詳解】因為，所以.當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增，所以.【小問2詳解】令，則，由得出；由得出，所以，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，所以，則，令，，則，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，故，故的最大值為.18.已知函數．（1）討論函數的單調區間；（2）當時，證明：；（3）函數有兩個零點、，求證：．【答案】（1）答案見解析第12頁/共18頁【解析】1的取值進行分類討論，利用函數的單調性與導數的關系可得出函數的增區間和減區間；（2造函數，利用導數求函數的最小值，即可證得結論成立；（3）設，由已知等式推導出，將所證不等式等價變形為函數的單調性，即可證得結論成立.【小問1詳解】函數的定義域為，，當時，對任意的，，由可得，由可得，此時，函數的減區間為，增區間為；當時，由可得，由可得或，此時函數的減區間為，增區間為、；當時，對任意的，，此時函數的增區間為；當時，由可得，由可得或，第13頁/共18頁此時，函數的減區間為，增區間為、.綜上所述，當時，函數的減區間為，增區間為；當時，函數的減區間為，增區間為、；當時，的增區間為，無減區間；當時，函數的減區間為，增區間為、.【小問2詳解】當時，，即證，令，即證，即證，因為，則函數在上單調遞增，當時，；當時，，所以函數的值域為，令，其中，則，由可得，由可得，所以函數的減區間為，增區間為，則，故，即，故原不等式得證.【小問3詳解】，因為函數有兩個零點、，不妨設，則，所以，，整理可得，即，第14頁/共18頁要證，即證，即證，令，即證，令，其中，則，所以函數在上為增函數，則，即，即，故原不等式得證.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.19.在數列“次生數列”，其中表示數列中最小的項.（1中各項均不相等，只有4項，的所有“次生數列”；（2）若滿足，且為等比數列，的“次生數列”為.（i）求的值；（ii）求的前項和.【答案】（1）或或；第15頁/共18頁【解析】1有3或或.（2i）根據為等比數列，求出公比，求出，從而根據次生數列的定義得到，，得到的值；（ii）當為偶數時，，故，錯位相減法求和，再求出當為奇數時，，檢驗時，也符合上式，從而得到答案.【小問1詳解】因為，，中各項均不相等，所以，若，此時“次生數列”為，若，此時“次生數列”為，若，此時“次生數列”為，所以“次生數列”的定義可知有3個，分別為或或.【小問2