多元函數(shù)微分學(xué)

為此,過(guò)空間中一點(diǎn)分別作三條互相垂直的數(shù)軸

(見(jiàn)右圖所示)，常稱這三條數(shù)軸為三個(gè)坐標(biāo)軸，分別記為軸、軸和軸．

第六章多元函數(shù)6.1.1二元函數(shù)的概念1.空間解析幾何簡(jiǎn)介

為了確定空間上一個(gè)點(diǎn)的位置，我們需要引入空間直角坐標(biāo)系．6.1二元函數(shù)的極限與連續(xù)

三條坐標(biāo)軸中任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)平面，分別是三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成八個(gè)部分,稱為八個(gè)卦限.xOy面yOz面zOx面xyz軸、軸、軸上找到一個(gè)點(diǎn)A、B、C,使得OA=,OB=,OZ=,然后,分別過(guò)A、B、C三點(diǎn)作平面,(見(jiàn)右圖所示)使其分別OA=,OB=,OC=,那么點(diǎn)唯一確定了一個(gè)三元的有序數(shù)組;反過(guò)來(lái),對(duì)于任意一個(gè)三元有序數(shù)組,必可以分別在

設(shè)為空間中任意一個(gè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作三個(gè)平面,并使得其分別與軸軸軸垂直,則該三個(gè)平面分別與三個(gè)坐標(biāo)軸各有唯一一個(gè)交點(diǎn)A、B、C,設(shè)

2.空間點(diǎn)的坐標(biāo)

3.空間兩點(diǎn)間的距離

設(shè)為空間任意兩點(diǎn),則這兩點(diǎn)之間的距離為

解點(diǎn)(2,4,-1)到軸的距離,顯然即為點(diǎn)(0,4,-1)到原點(diǎn)(0,0,0)的距離,于是其距離為:

為點(diǎn)的坐標(biāo),記作

有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.于是,我們稱三元有序數(shù)組垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸,那么這三個(gè)平面必然交于一個(gè)點(diǎn).可見(jiàn)空間中任何一個(gè)點(diǎn)必然與一個(gè)三元有序數(shù)組例1求空間中點(diǎn)(2,4,-1)到坐標(biāo)軸的距離.顯然有在直角三角形中而在直角三角形中因此6.1.2空間曲面和空間曲線的一般方程

曲面的方程

曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程，則稱此方程為曲面的方程，而曲面就叫做方程的圖形。在空間解析幾何中，任何曲面都可以看作點(diǎn)的幾何軌跡

6.1.3二元函數(shù)例1矩形面積S與長(zhǎng)x，寬y有下列依賴關(guān)系

S=xy(x>0,y>0)，1.引例其中長(zhǎng)x和寬y是兩個(gè)獨(dú)立的變量，在它們變化范圍內(nèi)，當(dāng)x，y的值取定后，矩形面積S有一個(gè)確定值之對(duì)應(yīng).

為某商品的銷(xiāo)售量，為商品的銷(xiāo)售價(jià)格，為購(gòu)買(mǎi)商品的人數(shù)為設(shè)此種商品的銷(xiāo)售量與，有關(guān)系：其中，，，均為正常數(shù)例22.二元函數(shù)的定義定義

設(shè)有三個(gè)變量x，y，z，如果對(duì)于變量x，y的變化范圍內(nèi)所取的每一對(duì)值，變量z都按照一定的規(guī)則，有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱z

為x，y的二元函數(shù)，記作

z=f(x,y)或z=z(x,y)，其中x，y稱為自變量，z稱為函數(shù)(或因變量).自變量x，y的變化范圍稱為函數(shù)的定義域.類似地，可以定義三元函數(shù)u=f(x,y,z)以及三元以上的函數(shù).二元以及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).

與一元函數(shù)一樣，定義域和對(duì)應(yīng)法則是二元函數(shù)的兩個(gè)要素。函數(shù)的定義域是函數(shù)概念的一個(gè)重要組成部分.求函數(shù)的定義域，就是求出使函數(shù)有定義的所有自變量的取值范圍.例：

求函數(shù)的定義域(a>0,b>0).其圖形是矩形內(nèi)部(包括邊界).解函數(shù)的定義域由不等式組例：

求函數(shù)的定義域.解函數(shù)的定義域?yàn)樗膱D形是單位圓內(nèi)部(不包括邊界).二元函數(shù)定義域的圖形可以是全平面，也可以是一條或幾條曲線圍成的平面的一部分，或者是零星的一些點(diǎn).全平面，或者滿足下述三個(gè)條件的平面點(diǎn)集稱為平面開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱平面區(qū)域.這三個(gè)條件是：(1)其邊界是由一條或幾條曲線所組成,(2)點(diǎn)集內(nèi)不包含邊界上的點(diǎn),(3)點(diǎn)集內(nèi)任意兩點(diǎn)，存在一條全部含于該點(diǎn)集內(nèi)的折線，將該兩點(diǎn)連接起來(lái).點(diǎn)集內(nèi)包含邊界上所有的點(diǎn).這種平面點(diǎn)集稱為平面閉區(qū)域.如果一個(gè)區(qū)域可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的某個(gè)圓內(nèi)，則稱此區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，否則稱其為無(wú)界區(qū)域.如果上述條件(1)，(3)不變，將(2)改為：定義

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域有定義(點(diǎn)(x0,y0)可以除外),如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)以任意方式趨于定點(diǎn)(x0,y0)時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值f(x,y)趨于一個(gè)確定數(shù)A，則稱A為函數(shù)z=f(x,y),當(dāng)時(shí)的極限，記作值，則可以斷定函數(shù)在該點(diǎn)的極限不存在.當(dāng)P(x,y)以不同路徑趨于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)趨于不同的或

6.1.4二元函數(shù)的極限與連續(xù)對(duì)于二元函數(shù)的極限存在，是指當(dāng)P(x,y)以任意方式趨于定點(diǎn)P0(x0,y0)，函數(shù)都無(wú)限接近于A.定義

如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)的極限存在，且等于它在點(diǎn)P0(x0,y0)處的函數(shù)值f(x0,y0)，即則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù).

如果函數(shù)z=f(x,y)在開(kāi)區(qū)域D上各點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在開(kāi)區(qū)域D上連續(xù).連續(xù)的二元函數(shù)z=f(x,y)在幾何上表示一張無(wú)孔無(wú)隙的曲面.如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱點(diǎn)P0(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的不連續(xù)點(diǎn)，或稱間斷點(diǎn).如果函數(shù)z=f(x,y)有下列情形之一：(1)在點(diǎn)P0(x0,y0)沒(méi)有定義，(2)在點(diǎn)P0(x0,y0)有定義，不存在，(3)在點(diǎn)P0(x0,y0)有定義，且

存在，但則點(diǎn)P0(x0,y0)為函數(shù)的z=f(x,y)的間斷點(diǎn).與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)：性質(zhì)1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)在D上一定有最大值和最小值.性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次.定義

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0，而x在x0處有增量△x時(shí)，相應(yīng)函數(shù)有增量

6.2.1偏導(dǎo)數(shù)6.2偏導(dǎo)數(shù)和全微分偏增量稱為關(guān)于x的偏增量．記為相應(yīng)的即1.偏導(dǎo)數(shù)的定義如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).記作即類似地，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為記為如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)都存在對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，即存在，顯然這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是x，y的函數(shù)，稱它為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作偏導(dǎo)函數(shù):如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)都存在對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，即存在，顯然這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是x，y的函數(shù)，稱它為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作偏導(dǎo)函數(shù):2、偏導(dǎo)數(shù)的求法求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)就相當(dāng)于求一元函數(shù)導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式對(duì)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然適用.

例如，給定一個(gè)二元函數(shù)z=f(x,y)，求時(shí)，可將自變量y

看成常數(shù)(即將z看成x的一元函數(shù))，只需z對(duì)x求導(dǎo).

若求函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，只需先求偏導(dǎo)函數(shù)fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的函數(shù)值，即，這樣就得到了函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).也可以先將y=y0代入z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后對(duì)x求導(dǎo)數(shù)fx(x,y0)，再以x=x0代入.兩種做法是一致的.因?yàn)樵谶@個(gè)過(guò)程中，y為常數(shù)y0.例：設(shè)，求，，和解：=-1=-14例：設(shè)，求和解：類似可得，

由上面的例子可以看出，函數(shù)對(duì)于x或y的偏導(dǎo)數(shù)仍是x，y的二元函數(shù)，如果，對(duì)自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則他們的偏導(dǎo)數(shù)稱為的二階偏導(dǎo)數(shù)，記為純導(dǎo)數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)或簡(jiǎn)記為或例：設(shè)，求二階偏導(dǎo)數(shù).解：

、、、

例：設(shè)，求，，，，解：

問(wèn)題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？例：設(shè)，求的二階混合偏導(dǎo)數(shù).解：

當(dāng)時(shí)，

=0=1顯然，問(wèn)題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等．定理如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及6.2.2全微分

全增量設(shè)二元函數(shù)y=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)自變量x，y在點(diǎn)(x0,y0)的該鄰域內(nèi)分別取得增量和時(shí)，函數(shù)的全增量為一、全微分的定義例：設(shè)矩形金屬薄板長(zhǎng)為x，寬為y，則面積S=xy.薄板受熱膨脹，長(zhǎng)自x0增加，寬自y0增加，其面積相應(yīng)增加全增量由三項(xiàng)組成.

比其余兩項(xiàng)小得多.定義

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，如果z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量可表示為其中A，B與無(wú)關(guān)，是比高階的無(wú)窮小，則稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，記作dz，即也稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微.二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

從二元函數(shù)全微分定義可知，全增量與全微分之差是的高階無(wú)窮小，所以當(dāng)很小時(shí)有又從而例：求z=xy在點(diǎn)(2,3)處，關(guān)于的全增量與全微分.解將各值代入上式，得到例：求的近似值.解計(jì)算的值可以近似看作時(shí)當(dāng)?shù)闹等?.3.1復(fù)合函數(shù)的微分法

設(shè)z=f(u,v)是變量u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的函數(shù)，即，如果能構(gòu)成z是x,y的二元復(fù)合函數(shù)如何求出函數(shù)z對(duì)自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)呢？6.3復(fù)合函數(shù)與隱含數(shù)的微分法定理

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖是1.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)只是自變量x的函數(shù)，求z對(duì)x的導(dǎo)數(shù).可得下面借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出全導(dǎo)數(shù)公式.例：設(shè)求解法1得解法2對(duì)于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間變量u，v，用x，y代入，則得到

，z是x，y二元復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，得例：設(shè),其中f(u,v)為可微函數(shù)，求解令，可得其中不能再具體計(jì)算了，這是因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)f僅是抽象的函數(shù)記號(hào)，沒(méi)有具體給出函數(shù)表達(dá)式.例：設(shè)求解在該例中，我們清楚看出與含意是不同的.顯然不等于.例：設(shè)求解得一、由方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=y(x)的求導(dǎo)公式

若函數(shù)F(x,

y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)，則方程F(x,y)=0在點(diǎn)P0的一個(gè)鄰域內(nèi)，確定了一個(gè)隱函數(shù)y=y(x)，并假定y(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x,y)可微，那么如何求呢？利用二元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)出隱函數(shù)求導(dǎo)的一般公式.6.3.2隱含數(shù)的微分法二、由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數(shù)z=z(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)公式將z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式前面已假定，由上式解出，得將上式左端看成x，y的復(fù)合函數(shù)，兩端對(duì)x和y求導(dǎo)，得例：設(shè)解將方程定成，令若，方程F(x,y,z)=0確定了函數(shù)z=z(x,y)，由公式(4)，得定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)任何點(diǎn)的函數(shù)值恒有

則稱點(diǎn)(x0,y0)為函數(shù)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).f(x0,y0)為極大值(或極小值)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).6.4.1二元函數(shù)的極值6.4二元函數(shù)的極值

注（1）極值點(diǎn)一定是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（2）不等式f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(x0,y0))也只在某個(gè)鄰域的局部范圍內(nèi)成立，不要求在函數(shù)整個(gè)定義域上成立定理

(極值存在的必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值，且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有

注（1）駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).例如，函數(shù)z=x2–y2，在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零，即容易看出駐點(diǎn)(0,0)不是函數(shù)的極值點(diǎn).

（2）極值點(diǎn)也可能不是駐點(diǎn)，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面的頂點(diǎn)(0,0,1)，偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn).定理

(極值的充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)，且(x0,y0)是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，即,記，則當(dāng)B2–AC<0時(shí),是函數(shù)的極值點(diǎn),

A<0時(shí),為極大值點(diǎn)，f(x0,y0)為極大值；

A>0時(shí)，為極小值點(diǎn)，f(x0,y0)為極小值.(2)當(dāng)B2–AC>0時(shí)，f(x0,y0)不是極值.(3)當(dāng)B2–AC=0時(shí)，f(x0,y0)可能為極值，也可能不是極值.

綜合以上兩個(gè)定理，對(duì)于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)

求其極值的步驟如下：2.求出二階偏導(dǎo)數(shù)，并對(duì)每一駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)，B，C.1.求方程組的一切實(shí)數(shù)解，得到所有駐點(diǎn).3.對(duì)每一駐點(diǎn)(x0,y0)，定出B2–AC的符號(hào)，按照定理2的結(jié)論判定f(x0,y0)是否為極值，是極大值還是極小值.例：求函數(shù)的極值.的一切實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn)(1,0).在(1,0)點(diǎn)處，有A=2，B=–1，C=2.B2–AC=–3<0，且A>0，由極值的充分條件，得f(1,0)=–1為極小值.解求方程組求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)C(萬(wàn)元)與A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量(百件)與(百件)之間具有如下關(guān)系試問(wèn)A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為多少時(shí)可以使得總成本最低?例：設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B,已知其總成本故:當(dāng)A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為100件和200件時(shí),可使

解

令得方程組而所以,即,又,因此為極小值點(diǎn),

又由于僅有唯一一個(gè)極值點(diǎn),因而它也是最小值點(diǎn).此時(shí)5(萬(wàn)元)解得駐點(diǎn)為總成本最低.最低成本為5萬(wàn)元.

二、條件極值

在求函數(shù)的極值時(shí),有時(shí)其自變量會(huì)受到另一個(gè)方程的制約,我們稱這樣的函數(shù)極值為條件極值,其中稱方程為約束條件.

類似的也可以定義三元、四元及更多元的條件極值,且它們的約束條件可以不止一個(gè),但要注意約束條件的個(gè)數(shù)須小于自變量的個(gè)數(shù).