高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，集合，則.故選：D.2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由題意可知，命題為全稱量詞命題，該命題的否定為：，.故選：B.3.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數的定義域需滿足不等式，解得：且，所以函數的定義域是.故選：C.4.已知某扇形的弧長和面積數值均為，則該扇形的圓心角（正角）為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】設圓心角為，半徑為，則，解得.故選：B.5.函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題可知，函數的定義域為，關于原點對稱，，所以函數為奇函數，所以排除選項BD；又，所以排除選項C.故選：A.6.函數的最小值和最大值分別為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】畫出的圖象如圖：畫出圖象如圖：將兩個圖象畫在一起，取下方圖象，畫出的圖象，如圖：根據圖象可知，函數的最小值和最大值分別為.故選：B.7.若關于的方程有兩相異實根，且，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為方程有兩相異實根，且，則，解得.故選：C.8.已知定義在上的函數滿足，且當時，，則是（）A.奇函數，在上單調遞增 B.奇函數，在上單調遞減C.偶函數，在上單調遞增 D.偶函數，在上單調遞減【答案】A【解析】因為，所以，得，令，則，得，則函數為奇函數，設，且，得，則，則，因為，所以，而，則，得，得，故函數在上單調遞增．故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是第二象限角，且，角、、、的終邊與角的終邊分別關于原點、軸、軸、直線對稱，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A選項，因為是第二象限角，且，則，設角終邊與單位圓（圓心為原點）的交點為，由題意可知，角的終邊與單位圓的交點坐標為，則，A錯；對于B選項，角的終邊與單位圓的焦點坐標為，則，B對；對于C選項，角的終邊與單位圓的交點坐標為，則，C對；對于D選項，角的終邊與單位圓的交點坐標為，則，D錯.故選：BC.10.某機構根據邏輯斯蒂增長模型結合過去15年的數據，對2010~2040年我國新能源汽車的市場滲透率進行了模擬和預測，得到我國新能源汽車的市場滲透率與時間（單位：年，規定表示2010年初）的函數關系為，則下列結論正確的是（）參考數據：.A.的圖象關于點中心對稱B.的圖象關于直線對稱C.2022年初，我國新能源汽車的市場滲透率不足D.預計2030年初，我國新能源汽車的市場滲透率超過【答案】ACD【解析】對于A，，所以的圖象關于點中心對稱，故A正確；對于B，，所以的圖象不關于直線對稱，故B錯誤；對于C，，因為，所以，所以，所以，故C正確；對于D，，因為，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11.2024年國慶假期期間，佛山市安排了精彩紛呈的文旅體活動，其中文化旅游活動備受市民青睞.某學校對120名學生在國慶期間參與佛山祖廟的“樂游祖廟，喜迎國慶”文藝匯演，順德歡樂海岸的“潮玩廣府”嘉年華活動，廣東千古情的“火人狂歡節”活動的情況進行了統計，統計結果如下表所示：則下列說法正確的是（）A.三項活動都沒有參與的人數為15B.三項活動都參與的人數最多為47C.恰好參與一個活動的人數最少為21D.恰好參與兩個活動的人數最多為94【答案】ABD【解析】設三項活動都參與的人數為，只參與佛山祖廟和順德歡樂海岸活動的人數為，只參與佛山祖廟和廣東千古情活動的人數為，只參與順德歡樂海岸和廣東千古情活動的人數為，只參與佛山祖廟活動的人數為，只參與順德歡樂海岸活動的人數為，只參與廣東千古情活動的人數為，對于A，已知至少參與了其中一個活動的人數為105，那么三項活動都沒有參與的人數為，所以選項A正確；對于B，根據已知條件可得：，①，②，③，④將①②③得：，⑤用⑤④可得：，即，因為，即，解得，所以三項活動都參與的人數最多為47，選項B正確；對于C，由④可得，將代入可得：，因為，所以，即恰好參與一個活動的人數最少為11，選項C錯誤；對于D，恰好參與兩個活動的人數為，因為，所以，所以恰好參與兩個活動的人數最多為94，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：__________.【答案】【解析】原式.13.若正數滿足，則的最小值為__________.【答案】25【解析】因為正數滿足，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為25.14.定義在上的函數滿足，當時，，則__________，不等式的解集為__________.【答案】【解析】因為定義在上的函數滿足，當時，，則；當時，由，此時，恒成立；當時，則，則，由，可得，又因為，則，解得，此時，；當且時，且當時，則，則，此時，不等式無解；當時，，則，由可得，由于，可得，解得，此時，；當且時，且當，則，則，此時，不等式無解.綜上所述，不等式解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合或.（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，又因為或，所以.（2）若，當，即時，，滿足；當，即時，，要滿足，只需，解得，又因，所以.綜上可知，實數的取值范圍為.16.已知.（1）求；（2）若是第一象限角，求的值.解：（1），，解得：或.（2），是第一象限角，，，由（1）知：，由得：，.17.已知函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，若函數.（1）求曲線的對稱中心；（2）判斷在區間上的單調性，并用定義證明.解：（1）設，則函數的定義域為，其定義域關于原點對稱，且，所以為奇函數，所以函數的對稱中心為.（2）函數在上單調遞減.證明：，且，則，因為，所以，又，所以，所以，即，所以函數在上單調遞減.18.已知函數.（1）討論函數的零點個數；（2）若有兩個零點有兩個零點，求的取值范圍.解：（1）函數y=fx的零點即方程的根，設，則函數y=fx的零點個數轉化為方程根的個數.，顯然hx在上單調遞減，在上單調遞增，故.所以，當時，y=fx沒有零點；當時，y=fx有1個零點；當時，y=fx有2個零點.（2）由（1）知有兩個零點，則，有兩個零點，則有兩個根，令，則有兩個不同的交點，如圖所示：則，綜合可得.結合（1）即，可知，即.同理可求得，所以，當且僅當即取等號，所以.因此的取值范圍為.19.如圖，有一塊矩形空地，其中米，米，計劃在圖中的矩形內種植某種蔬菜，其中米，米，并過點修建一條筆直的小路（寬度忽略不計），點在線段上（含端點），點在線段上（含端點），設米，米.（1）求的值；（2）求面積的最小值，并求面積取得最小值時的值；（3）在線段上取一點，過點作，，垂足分別為、，求矩形面積最大值.解：（1）因為，所以；同理，由，得，而，所以，即，所以.（2）由（1）可知，即，則，當且僅當時，即當時等號成立.所以，當且僅當時取等號，所以面積的最小值為平方米，面積取得最小值時的值為.（3）由題可知，矩形的面積取決于點的位置，連接并延長交于點，連接并延長交于點，則點在和的內部及其邊界上，顯然，只有當點位于線段和線段上時，矩形的面積才有可能取到最大值.則，即，即.過點作于點，作于點，設.如圖1，當點在線段上時，由相似關系可得，即，所以，此時矩形的面積，又，所以當時，矩形的面積取得最大值，最大值為平方米.如圖2，當點在線段上時，由相似關系可得，即，所以，此時矩形的面積，又，所以當時，矩形的面積取得最大值，最大值為平方米.綜上可知，矩形的面積的最大值為平方米.廣東省佛山市2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，集合，則.故選：D.2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由題意可知，命題為全稱量詞命題，該命題的否定為：，.故選：B.3.已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數的定義域需滿足不等式，解得：且，所以函數的定義域是.故選：C.4.已知某扇形的弧長和面積數值均為，則該扇形的圓心角（正角）為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】設圓心角為，半徑為，則，解得.故選：B.5.函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題可知，函數的定義域為，關于原點對稱，，所以函數為奇函數，所以排除選項BD；又，所以排除選項C.故選：A.6.函數的最小值和最大值分別為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】畫出的圖象如圖：畫出圖象如圖：將兩個圖象畫在一起，取下方圖象，畫出的圖象，如圖：根據圖象可知，函數的最小值和最大值分別為.故選：B.7.若關于的方程有兩相異實根，且，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為方程有兩相異實根，且，則，解得.故選：C.8.已知定義在上的函數滿足，且當時，，則是（）A.奇函數，在上單調遞增 B.奇函數，在上單調遞減C.偶函數，在上單調遞增 D.偶函數，在上單調遞減【答案】A【解析】因為，所以，得，令，則，得，則函數為奇函數，設，且，得，則，則，因為，所以，而，則，得，得，故函數在上單調遞增．故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是第二象限角，且，角、、、的終邊與角的終邊分別關于原點、軸、軸、直線對稱，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A選項，因為是第二象限角，且，則，設角終邊與單位圓（圓心為原點）的交點為，由題意可知，角的終邊與單位圓的交點坐標為，則，A錯；對于B選項，角的終邊與單位圓的焦點坐標為，則，B對；對于C選項，角的終邊與單位圓的交點坐標為，則，C對；對于D選項，角的終邊與單位圓的交點坐標為，則，D錯.故選：BC.10.某機構根據邏輯斯蒂增長模型結合過去15年的數據，對2010~2040年我國新能源汽車的市場滲透率進行了模擬和預測，得到我國新能源汽車的市場滲透率與時間（單位：年，規定表示2010年初）的函數關系為，則下列結論正確的是（）參考數據：.A.的圖象關于點中心對稱B.的圖象關于直線對稱C.2022年初，我國新能源汽車的市場滲透率不足D.預計2030年初，我國新能源汽車的市場滲透率超過【答案】ACD【解析】對于A，，所以的圖象關于點中心對稱，故A正確；對于B，，所以的圖象不關于直線對稱，故B錯誤；對于C，，因為，所以，所以，所以，故C正確；對于D，，因為，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11.2024年國慶假期期間，佛山市安排了精彩紛呈的文旅體活動，其中文化旅游活動備受市民青睞.某學校對120名學生在國慶期間參與佛山祖廟的“樂游祖廟，喜迎國慶”文藝匯演，順德歡樂海岸的“潮玩廣府”嘉年華活動，廣東千古情的“火人狂歡節”活動的情況進行了統計，統計結果如下表所示：則下列說法正確的是（）A.三項活動都沒有參與的人數為15B.三項活動都參與的人數最多為47C.恰好參與一個活動的人數最少為21D.恰好參與兩個活動的人數最多為94【答案】ABD【解析】設三項活動都參與的人數為，只參與佛山祖廟和順德歡樂海岸活動的人數為，只參與佛山祖廟和廣東千古情活動的人數為，只參與順德歡樂海岸和廣東千古情活動的人數為，只參與佛山祖廟活動的人數為，只參與順德歡樂海岸活動的人數為，只參與廣東千古情活動的人數為，對于A，已知至少參與了其中一個活動的人數為105，那么三項活動都沒有參與的人數為，所以選項A正確；對于B，根據已知條件可得：，①，②，③，④將①②③得：，⑤用⑤④可得：，即，因為，即，解得，所以三項活動都參與的人數最多為47，選項B正確；對于C，由④可得，將代入可得：，因為，所以，即恰好參與一個活動的人數最少為11，選項C錯誤；對于D，恰好參與兩個活動的人數為，因為，所以，所以恰好參與兩個活動的人數最多為94，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：__________.【答案】【解析】原式.13.若正數滿足，則的最小值為__________.【答案】25【解析】因為正數滿足，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為25.14.定義在上的函數滿足，當時，，則__________，不等式的解集為__________.【答案】【解析】因為定義在上的函數滿足，當時，，則；當時，由，此時，恒成立；當時，則，則，由，可得，又因為，則，解得，此時，；當且時，且當時，則，則，此時，不等式無解；當時，，則，由可得，由于，可得，解得，此時，；當且時，且當，則，則，此時，不等式無解.綜上所述，不等式解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合或.（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，又因為或，所以.（2）若，當，即時，，滿足；當，即時，，要滿足，只需，解得，又因，所以.綜上可知，實數的取值范圍為.16.已知.（1）求；（2）若是第一象限角，求的值.解：（1），，解得：或.（2），是第一象限角，，，由（1）知：，由得：，.17.已知函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，若函數.（1）求曲線的對稱中心；（2）判斷在區間上的單調性，并用定義證明.解：（1）設，則函數的定義域為，其定義域關于原點對稱，且，所以為奇函數，所以函數的對稱中心為.（2）函數在上單調遞減.證明：，且，則，因為，所以，又，所以，所以，即，所以函數在上單調遞減.18.已知函數.（1）討論函數的零點個數；（2）若有兩個零點有兩個零點，求的取值范圍