高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市、南平市等六地六校2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為服從正態分布，則，又，所以，故選：B.2.設曲線在點P(3，2)處的切線與直線平行，則=（）A.2 B.－2 C. D.【答案】D【解析】對曲線求導，可得，在點P處切線的斜率為，直線方程可化為y＝ax＋1，若與直線平行，則兩條直線的斜率相等，所以，所以選D.3.的展開式中的系數為（）A. B. C.120 D.200【答案】A【解析】展開式的通項公式為，當時，，此時只需乘以第一個因式中的即可，得到；當時，，此時只需乘以第一個因式中的即可，得到；據此可得：的系數為.故選：A.4.已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則（）A.有2個極值點 B.在處取得極小值C.有極大值，沒有極小值 D.在上單調遞減【答案】C【解析】由導函數的圖象可知，當時，，僅時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數只有一個極值大點，無極小值點，所以有極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.5.某醫院需要從4名女醫生和3名男醫生中抽調3人參加社區的健康體檢活動，則至少有1名男醫生參加的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：依題意，從7名醫生中抽調3人的所有可能結果共有（種），至少有1名男醫生參加的事件包含的結果共有（種），所以至少有1名男醫生參加的概率為.方法二：抽調3人全部為女醫生的概率為，則至少有1名男醫生參加的概率為.故選：C．6.楊輝三角形”是古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是三角形數陣，記為圖中第行各個數之和，則的值為（）A.528 B.1020 C.1038 D.1040【答案】D【解析】第一行數字之和

第二行數字之和為

第三行數字之和為

第四行數字之和為

…

第行數字之和為

∴故選D7.設點P是函數圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.故選：B.8.人工智能領域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術，某視頻網站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗“AI”，研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假．該鑒偽技術的準確率是0.96，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；該鑒偽技術的誤報率是0.02，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設A=“視頻是“AI”合成”，設B=“鑒定結果為“AI””，則，由貝葉斯公式得：，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選錯或不選的得0分.9.福建省動植物園舉行花卉展覽，三明某花卉種植園有種蘭花，種三角梅共種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，種精品花卉將全部去展館參展，每種只能去一個展館，每個展館至少有種花卉參展，下列選項正確的是（）A.若展館需要種花卉，有種安排方法B.若“綠水晶”去展館，有種安排方法C.若“綠水晶”不去展館，有種安排方法D.若種三角梅不能去往同一個展館，有種安排方法【答案】AB【解析】對于選項A，若展館需要種花卉，種精品花卉選種安排在展館即可，有種安排方法，所以選項A正確；對于選項B，若“綠水晶”去展館，將剩下種花卉分到展館即可，展館至少有一種，則有種安排方法，所以選項B正確；對于C，若“綠水晶”不去展館，則其必須去展館，將剩下種花卉分到展館即可，則展館至少有一種，則有種安排方法，所以選項C錯誤；對于選項D，若種三角梅不能去往同一個展館，則其分別在兩個展館，有種安排方法，將種蘭花安排在兩個展館，每種蘭花都有種安排方法，則種蘭花共有種安排方法，則有種安排方法，所以選項D錯誤.故選：AB.10.若，則（）A.B.C.D【答案】ACD【解析】將代入得，解得，A正確；由二項式定理可知展開式的通項為，令得，所以，B錯誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD11.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質地均相同）．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結論正確的是（）A.，，是兩兩互斥的事件 B.事件與相互獨立C. D.【答案】ACD【解析】對于A：從甲罐取出一個球，取出球的顏色可能是紅球、白球、黑球，顯然不可能同時是兩個顏色，所以，，是兩兩互斥的事件，故A正確；對于B：因為，，而，所以事件與不相互獨立，故B錯誤；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：因為，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量的分布列如下表：_____________.【答案】【解析】因為，則，所以，故答案為：.13.甲、乙兩隊進行自由式輪滑速度障礙賽決賽，采取三場兩勝制（當一隊贏得兩場比賽時，該隊獲勝，比賽結束），根據以往比賽成績可知，甲隊每場比賽獲勝的概率為．比賽結果沒有平局，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊獲勝的概率為_____________【答案】【解析】甲隊獲勝的事件是比賽兩局獲勝和比賽三局獲勝的事件和，它們互斥，所以甲隊獲勝的概率為.故答案為：14.2024年1月九省聯考的數學試卷出現新結構，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結構數學試題的考試中，某同學三個多選題中第一小題和第二小題都隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，這位同學的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）共有種情況，則除以36的余數是______．【答案】13【解析】這位同學第一小題和第二小題都可能得0分，4分或6分，第三小題可能得0分，2分或3分，如圖，當第三題得0分時，有可能總得分為：，當第三題得2分時，有可能總得分為：，當第三題得3分時，有可能總得分為：，所以這位同學的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：，即，則，.故答案為：13.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的展開式中，其前三項的二項式系數的和等于56.（1）求展開式中所有二項式系數的和；（2）求展開式中的常數項.解：（1）前三項的二項式系數和為，解得或-11（舍去），中，展開式中所有二項式系數的和為；（2）的展開式通項公式為，令得，故.16.已知函數（1）求的單調減區間；（2）若在區間上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．解：（1）由，求導可得,由，可得或，所以函數的單調減區間為，；（2）因為，令，解得或可得下表：則，分別是在區間上的最大值和最小值，所以，解得，從而得函數在上的最小值為.17.有2名男生和3名女生排成一排進行拍照，根據下列不同的要求，求不同的排隊方法總數.（1）其中甲一定要站在最左邊；（2）其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；（3）其中2名男生要相鄰，女生甲、乙不相鄰；解：（1）甲在最左邊，則剩下的4個人全排列即可，共有種方法，（2）其中甲在最左邊時，有種排法，乙在最右邊有，5個人全排列有，甲在最左邊且乙在最右邊時有所以甲不在最左邊，乙不在最右邊的排隊方法一共有；（3）將兩名男生捆綁成一個整體和第三個女生全排列，此時形成3個空，將女生甲乙安排這3個空中，有，兩個男生解綁，有，所以總的排法為18.體育課上，同學們進行投籃測試.規定：每位同學投籃3次，至少投中2次則通過測試，若沒有通過測試，則該同學必須進行30次投籃訓練.已知甲同學每次投中的概率為，每次是否投中相互獨立.（1）求甲同學通過測試的概率；（2）若乙同學每次投中的概率為，每次是否投中相互獨立.經過測試后，甲、乙兩位同學需要進行投籃訓練的投籃次數之和記為X，求X的分布列與數學期望.解：（1）記事件A：甲同學通過測試，則甲同學在3次投籃中，投中2次或3次，則.（2）若乙通過測試，則前兩次投中或者三次投籃中，第三次投中，前兩次有一次投中，所以乙通過測試的概率為，由題意可知，隨機變量的可能取值有0，30，60，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：03060故.19.已知函數，e是自然對數的底數.（1）討論函數的單調性；（2）若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍.解：（1），，若，則恒成立，所以在上單調遞增，若，，得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，綜上可知，時，的增區間是，當時，的減區間是，增區間是；（2）方程，顯然當時，方程不成立，則，，若方程有兩個不等實根，即與有2個交點，，當時，，在區間和單調遞減，并且時，，當時，當時，，單調遞增，時，當時，取得最小值，，如圖，函數的圖象，與有2個交點，則.福建省三明市、南平市等六地六校2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為服從正態分布，則，又，所以，故選：B.2.設曲線在點P(3，2)處的切線與直線平行，則=（）A.2 B.－2 C. D.【答案】D【解析】對曲線求導，可得，在點P處切線的斜率為，直線方程可化為y＝ax＋1，若與直線平行，則兩條直線的斜率相等，所以，所以選D.3.的展開式中的系數為（）A. B. C.120 D.200【答案】A【解析】展開式的通項公式為，當時，，此時只需乘以第一個因式中的即可，得到；當時，，此時只需乘以第一個因式中的即可，得到；據此可得：的系數為.故選：A.4.已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則（）A.有2個極值點 B.在處取得極小值C.有極大值，沒有極小值 D.在上單調遞減【答案】C【解析】由導函數的圖象可知，當時，，僅時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數只有一個極值大點，無極小值點，所以有極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.5.某醫院需要從4名女醫生和3名男醫生中抽調3人參加社區的健康體檢活動，則至少有1名男醫生參加的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：依題意，從7名醫生中抽調3人的所有可能結果共有（種），至少有1名男醫生參加的事件包含的結果共有（種），所以至少有1名男醫生參加的概率為.方法二：抽調3人全部為女醫生的概率為，則至少有1名男醫生參加的概率為.故選：C．6.楊輝三角形”是古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是三角形數陣，記為圖中第行各個數之和，則的值為（）A.528 B.1020 C.1038 D.1040【答案】D【解析】第一行數字之和

第二行數字之和為

第三行數字之和為

第四行數字之和為

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第行數字之和為

∴故選D7.設點P是函數圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴或.故選：B.8.人工智能領域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項深度偽造技術，某視頻網站利用該技術摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團隊決定用AI對抗“AI”，研究了深度鑒偽技術來甄別視頻的真假．該鑒偽技術的準確率是0.96，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；該鑒偽技術的誤報率是0.02，即在該視頻是真實的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性約為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設A=“視頻是“AI”合成”，設B=“鑒定結果為“AI””，則，由貝葉斯公式得：，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選錯或不選的得0分.9.福建省動植物園舉行花卉展覽，三明某花卉種植園有種蘭花，種三角梅共種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，種精品花卉將全部去展館參展，每種只能去一個展館，每個展館至少有種花卉參展，下列選項正確的是（）A.若展館需要種花卉，有種安排方法B.若“綠水晶”去展館，有種安排方法C.若“綠水晶”不去展館，有種安排方法D.若種三角梅不能去往同一個展館，有種安排方法【答案】AB【解析】對于選項A，若展館需要種花卉，種精品花卉選種安排在展館即可，有種安排方法，所以選項A正確；對于選項B，若“綠水晶”去展館，將剩下種花卉分到展館即可，展館至少有一種，則有種安排方法，所以選項B正確；對于C，若“綠水晶”不去展館，則其必須去展館，將剩下種花卉分到展館即可，則展館至少有一種，則有種安排方法，所以選項C錯誤；對于選項D，若種三角梅不能去往同一個展館，則其分別在兩個展館，有種安排方法，將種蘭花安排在兩個展館，每種蘭花都有種安排方法，則種蘭花共有種安排方法，則有種安排方法，所以選項D錯誤.故選：AB.10.若，則（）A.B.C.D【答案】ACD【解析】將代入得，解得，A正確；由二項式定理可知展開式的通項為，令得，所以，B錯誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD11.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質地均相同）．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結論正確的是（）A.，，是兩兩互斥的事件 B.事件與相互獨立C. D.【答案】ACD【解析】對于A：從甲罐取出一個球，取出球的顏色可能是紅球、白球、黑球，顯然不可能同時是兩個顏色，所以，，是兩兩互斥的事件，故A正確；對于B：因為，，而，所以事件與不相互獨立，故B錯誤；對于C：因為，，所以，故C正確；對于D：因為，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機變量的分布列如下表：_____________.【答案】【解析】因為，則，所以，故答案為：.13.甲、乙兩隊進行自由式輪滑速度障礙賽決賽，采取三場兩勝制（當一隊贏得兩場比賽時，該隊獲勝，比賽結束），根據以往比賽成績可知，甲隊每場比賽獲勝的概率為．比賽結果沒有平局，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊獲勝的概率為_____________【答案】【解析】甲隊獲勝的事件是比賽兩局獲勝和比賽三局獲勝的事件和，它們互斥，所以甲隊獲勝的概率為.故答案為：14.2024年1月九省聯考的數學試卷出現新結構，其中多選題計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．已知在某次新結構數學試題的考試中，某同學三個多選題中第一小題和第二小題都隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選項，這位同學的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）共有種情況，則除以36的余數是______．【答案】13【解析】這位同學第一小題和第二小題都可能得0分，4分或6分，第三小題可能得0分，2分或3分，如圖，當第三題得0分時，有可能總得分為：，當第三題得2分時，有可能總得分為：，當第三題得3分時，有可能總得分為：，所以這位同學的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）為：，即，則，.故答案為：13.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的展開式中，其前三項的二項式系數的和等于56.（1）求展開式中所有二項式系數的和；（2）求展開式中的常數項.解：（1）前三項的二項式系數和為，解得或-11（舍去），中，展開式中所有二項式系數的和為；（2）的展開式通項公式為，令得，故.16.已知函數（1）求的單調減區間；（2）若在區間上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．解：（1）由，求導可得,由，可得或，所以函數的單調減區間為，；（2）因為，令，解得或可得下表：則，分別是在區間上的最大值和最小值，所以，解得，從而得函數在上的最