方法技巧專題23期望、方差及正態分布的實際應用解析篇一、期望、方差及正態分布的實際應用知識框架二、期望與方差的實際應用1、1、離散型隨機變量的期望：（1）若離散型隨機變量的概率分布為------------則稱為的數學期望（平均值、均值）簡稱為期望。①期望反映了離散型隨機變量的平均水平；②是一個實數，由的分布列唯一確定；③隨機變量是可變的，可取不同值；④是不變的，它描述取值的平均狀態.（2）期望的性質：①②③若，則2．離散型隨機變量的方差（1）離散型隨機變量的方差：設離散型隨機變量可能取的值為且這些值的概率分別為，則稱……為的方差。①反映隨機變量取值的穩定與波動；②反映隨機變量取值的集中與離散的程度；③是一個實數，由的分布列唯一確定；④越小，取值越集中，越大，取值越分散；⑤的算術平均數叫做隨機變量的標準差，記作.（2）方差的性質：①②③若，則④3、在實際中經常用期望來比較兩個類似事件的水平，當水平相近時，再用方差比較兩個類似事件的穩定程度。1.例題【例1】（產品檢驗問題）已知：甲盒子內有3個正品元件和4個次品元件，乙盒子內有5個正品元件和4個次品元件，現從兩個盒子內各取出2個元件，試求:（Ⅰ）取得的4個元件均為正品的概率；（Ⅱ）取得正品元件個數的數學期望.【解析】（I）從甲盒中取兩個正品的概率為P（A）=從乙盒中取兩個正品的概率為P（B）=∵A與B是獨立事件∴P（A·B）=P（A）·P（B）= （II）的分布列為01234P【例2】（比賽問題）A、B兩隊進行籃球決賽，共五局比賽，先勝三局者奪冠，且比賽結束。根據以往成績，每場中A隊勝的概率為，設各場比賽的勝負相互獨立.（1）求A隊奪冠的概率；（2）設隨機變量ξ表示比賽結束時的場數，求Eξ.【解析】（1）A隊連勝3場的概率為， 打4場勝3場的概率為， 打5場勝3場的概率為 又以上事件是互斥的， ∴A隊獲勝的概率為P=P1+P2+P3=（2），（A隊連勝3場或B隊連勝3場）， ； ；【例3】（射擊，投籃問題）甲、乙兩人玩投籃游戲，規則如下：兩人輪流投籃，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投籃，結束游戲，已知甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為求：（1）乙投籃次數不超過1次的概率；1.3.5（2）記甲、乙兩人投籃次數和為ξ，求ξ的分布列和數學期望.1.3.5【解析】記“甲投籃投中”為事件A，“乙投籃投中”為事件B。解法一“乙投籃次數不超過1次”包括三種情況：一種是甲第1次投籃投中，另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中，再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中，所求的概率是P=P（A+ = 解法二：“乙投籃次數不超過1次”的對立事件是“乙投籃2次”，所以，所求的概率是= （2）甲、乙投籃總次數ξ的取值1，2，3，4，1.3.51.3.5 乙投籃次數總和ξ的分布列為：ξ1234甲、乙投籃總次數ξ的數學期望為【例4】（選題，選課，做題，考試問題）甲乙兩人獨立解某一道數學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92。求：（1）求該題被乙獨立解出的概率。（2）求解出該題的人數ξ的數學期望和方差。【解析】（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.設甲獨立解出此題的概率為P1，乙獨立解出此題的概率為P2.則P（A）=P1=0.6，P（B）=P2P（A+B）=1－P（）=1－(1－P1)(1－P2)=P1+P2－P1+P2=0.92∴0.6+P2－0.6P2=0.92則0.4P2=0.32即P2=0.8.（2）P（ξ=0）=P（）·P（）=0.4×0.2=0.08P(ξ=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48ξ的概率分布為：ξ012P0.080.440.48Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4Dξ=(0－1.4)2·0.08+(1－1.4)2·0.44+(2－1.4)2·0.48=0.1568+0.0704+0.1728=0.4∴解出該題的人數ξ的數學期望為1.4，方差為0.4。【例5】（試驗，游戲，競賽，研究性問題）某家具城進行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費滿1000元，便可以獲得獎券一張，每張獎券中獎的概率為，若中獎，則家具城返還顧客現金1000元，某顧客購買一張價格為3400元的餐桌，得到3張獎券，設該顧客購買餐桌的實際支出為ξ元.（I）求ξ的所有可能取值；（II）求ξ的分布列；（III）求ξ的期望Eξ.【解析】解法一（I）ξ的所有可能取值為3400，2400，1400，400（II）ξ的分布列為：ξ340024001400400（III）解法二設該顧客中獎獎券η張，則（II）（III） 所以η的數學期望Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.52.鞏固提升綜合練習【練習1】（旅游，交通問題）春節期間，小王用私家車送4位朋友到三個旅游景點去游玩，每位朋友在每一個景點下車的概率均為，用表示4位朋友在第三個景點下車的人數，求：（Ⅰ）隨機變量的分布列；（Ⅱ）隨機變量的期望.【解析】解法一：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4， 由等可能性事件的概率公式得 從而的分布列為 01234P（II）由（I）得的期望為 解法二：（I）考察一位朋友是否在第三個景點下車為一次試驗，這是4次獨立重復試驗. 解法三：（II）由對稱性與等可能性，在三個景點任意一個景點下車的人數同分布，故期望值相等。 【練習2】1,3,5（摸球問題）甲盒有標號分別為1、2、3的3個紅球；乙盒有標號分別為1、2…、n（n≥2）的n個黑球，從甲、乙兩盒中各抽取一個小球，抽取的標號恰好分別為1和n的概率為1,3,5（1）求n的值；（2）現從甲、乙兩盒各隨機抽取1個小球，抽得紅球的得分為其標號數；抽得黑球，若標號數為奇數，則得分為1，若標號數為偶數，則得分為零，設被抽取的2個小球得分之和為，求的數學期望E.【解析】（1）由得n=41234123（2）甲盒乙盒1234123是被抽取的2個小球得分之和則有P（=1）=，P（=2）=P（=3）=，P（=4）=1231234P∴E=【練習3】（摸卡片，數字問題）在一個盒子里放有6張卡片，上面標有數字1，2，3，4，5，6，現在從盒子里每次任意取出一張卡片，取兩片.（I）若每次取出后不再放回，求取到的兩張卡片上數字之積大于12的概率；（II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回這兩種取法中，得到的兩張卡片上的最大數字的期望值是否相等？請說明理由.【解析】（I）取到的兩張卡片上數字之積大于12的事件為3，4，5，6四個數中取出兩個，且應除去3，4兩個數字。故所求事件概率.（II）若每次取出后不再放回，則得到的兩張卡片上的數字中最大數字隨機變量ξ，ξ=2，3，4，5，6.若每次取出后再放回，則得到的兩張卡片上的數字中最大數字是隨機變量，η，η=1，2，3，4，5，6.∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回這兩種取法中，得到的兩張卡上的數字中最大數字的期望值不相等.【練習4】（入座問題）編號1，2，3的三位學生隨意入坐編號為1，2，3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的個數是.（1）求隨機變量的概率分布；（2）求隨機變量的數學期望和方差.【解析】0120123P0∴概率分布列為：（Ⅱ）【練習5】（信息問題）如圖，A、B兩點由5條連線并聯，它們在單位時間內能通過的最大信息量依次為2，3，4，3，2，現記從中任取三條線且在單位時間內都通過的最大信息總量為.（Ⅰ）寫出最大信息總量的分布列；（Ⅱ）求最大信息總量的數學期望.【解析】（1）由已知，的取值為7，8，9，10.的概率分布列為 78910P【練習6】（路線問題）如圖所示，質點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進.現在投擲一個質地均勻、每個面上標有一個數字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數字.質點P從A點出發，規則如下：當正方體上底面出現的數字是1，質點P前進一步（如由A到B）；當正方體上底面出現的數字是2，質點P前兩步（如由A到C），當正方體上底面出現的數字是3，質點P前進三步（如由A到D）.在質點P轉一圈之前連續投擲，若超過一圈，則投擲終止.（I）求點P恰好返回到A點的概率；（II）在點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果中，用隨機變量ξ表示點P恰能返回到A點的投擲次數，CDCDAB【解析】（I）投擲一次正方體玩具，上底面每個數字的出現都是等可能的，其概率為 因為只投擲一次不可能返回到A點； 若投擲兩次點P就恰好能返回到A點，則上底面出現的兩個數字應依次為： （1，3）、（3，1）、（2，2）三種結果，其概率為 若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現的三個數字應依次為： （1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三種結果，其概率為 若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現的四個數字應依次為：（1，1，1，1） 其概率為 所以，點P恰好返回到A點的概率為（II）在點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果共有以上問題中的7種， 因為， 所以，Eξ=2·+3·+4·=三、正態分布的實際應用1.例題【例1】假設每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態分布的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為，則的值為（）(參考數據：若，則；；.)A．0.9544B．0.6826C．0.9974D．0.9772【答案】D【解析】由于隨機變量X服從正態分布，故有μ=800，σ=50，則.由正態分布的對稱性，可得.【例2】設隨機變量X~N(1,1)，其正態分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值是（）（注：若X~N(μ,σ2)，則PA．7539 B．7028C．6587 D．6038【解析】由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形的面積為S=1，又由隨機變量服從正態分布X~N1,1所以正態分布密度曲線關于x=1對稱，且σ=1，又由Pμ-σ<X<μ+σ≈0.6826，即所以陰影部分的面積為S1=1-由面積比的幾何概型可得概率為P=S所以落入陰影部分的點的個數的估計值是10000×0.6587=6587，故選C.【例3】在一次考試中某班級50名學生的成績統計如表，規定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優秀.經計算樣本的平均值，標準差.為評判該份試卷質量的好壞，從其中任取一人，記其成績為，并根據以下不等式進行評判：①；②；③.評判規則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷.試判斷該份試卷被評為哪種等級；【解析】，，，因為考生成績滿足兩個不等式，所以該份試卷應被評為合格試卷.【例4】某校高二學生一次數學診斷考試成績（單位：分）服從正態分布，從中抽取一個同學的數學成績，記該同學的成績為事件，記該同學的成績為事件，則在事件發生的條件下事件發生的概率__________．（結果用分數表示）附參考數據：；；．【答案】【解析】由題意可知，，事件為，，，，，由條件概率的公式得，故答案為.【例5】隨機變量服從正態分布，，，則的最小值為__________．【答案】【解析】隨機變量服從正態分布，∴，由，得，又，∴，且，，則．當且僅當，即，時等號成立．∴的最小值為．【例6】從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產品質量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）；（II）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.（i）利用該正態分布，求；（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記表示這100件產品中質量指標值位于區間的產品件數.利用（i）的結果，求.附：若則，．【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】（I）抽取產品的質量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產品的質量指標值位于區間的概率為，依題意知，所以．2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3，6）內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態分布，則，.）A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%【解析】用表示零件的長度，根據正態分布的性質得：.故選B.【練習2】在如圖所示的正方形中隨機投擲個點，則落入陰影部分(曲線C為正態分布的密度曲線)的點的個數的估計值為A．2386B．2718C．3413D．4772附：若X~N(μ，σ2)，則.【解析】由題意可得，，設落入陰影部分的點的個數為n，則P=，則n=3413.故選C.【練習3】每個國家身高正常的標準是不一樣的，不同年齡、不同種族、不同地區身高都是有差異的，我們國家會定期進行0～18歲孩子身高體重全國性調查，然后根據這個調查結果制定出相應的各個年齡段的身高標準.一般測量出一個孩子的身高，對照一下身高體重表，如果在平均值標準差以內的就說明你的孩子身高是正常的，否則說明你的孩子可能身高偏矮或偏高了.根據科學研究0～18歲的孩子的身高服從正態分布.在某城市隨機抽取100名18歲男大學生得到其身高（）的數據.（1）記表示隨機抽取的100名18歲男大學生身高的數據在之內的人數，求及的數學期望.（2）若18歲男大學生身高的數據在之內，則說明孩子的身高是正常的.（i）請用統計學的知識分析該市18歲男大學生身高的情況；（ii）下面是抽取的100名18歲男大學生中20名大學生身高（）的數據：1.651.621.741.821.681.721.751.661.731.671.861.811.741.691.761.771.691.781.631.68經計算得，，其中為抽取的第個學生的身高，.用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計，剔除之外的數據，用剩下的數據估計和的值.（精確到0.01）附：若隨機變量服從正態分布，則，.【答案】（1）概率為，期望為（2）（i）在該市中，18歲男大學生的身高是正常的比例為.（ii）的估計值為1.71，的估計值為0.1.【解析】（1）抽取的名歲男大學生身高的數據在之內的概率為在之外的概率為：，故，（2）（i）由（1）知，歲男大學生的身高是正常的概率為在該市中，歲男大學生的身高是正常的比例為（ii）當，時，區間為，故除去的數據為剩下數據的平均數為：的估計值為又，剔除剩下數據的樣本方差為：其標準差為的估計值為【練習4】為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布．(1)假設生產狀態正常，記表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數，求及的數學期望；(2)一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．(ⅰ)試說明上述監控生產過程方法的合理性；(ⅱ)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9．9510．129．969．9610．019．929．9810．0410．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經計算得QUOTE，QUOTE，其中為抽取的第個零件的尺寸，=1，2，…，16．用樣本平均數作為的估計值QUOTE，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計和(精確到0．01)．附：若隨機變量服從正態分布，則=0．9974，，．【解析】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內的概率為0．9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0．0026，故．因此．的數學期望為．（2）（i）如果生產狀態正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天內抽取的16個零件中，出現尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，發生的概率很小．因此一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監控生產過程的方法是合理的．（ii）由，，得的估計值為，的估計值為，由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產過程進行檢查．剔除之外的數據9．22，剩下數據的平均數為，因此的估計值為10．02．，剔除之外的數據9．22，剩下數據的樣本方差為，因此的估計值為．課后自我檢測1.為了了解某地區高三男生的身體發育狀況,抽查了該地區1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況,抽查結果表明他們的體重X(kg)服從正態分布N(μ,22),且正態分布密度曲線如圖所示,若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況,則這1000名男生中屬于正常情況的人數約為__________.（附：若隨機變量服從正態分布，則，.）【答案】683【解析】由題意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，∴在這1000名男生中不屬于正常情況的人數約是1000×0.683≈683，故答案為683．2.在某校舉行的一次數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績X近似服從正態分布N（70，100）．已知成績在90分以上（含90分）的學生有16名．（1）試問此次參賽的學生總數約為多少人?（2）若該校計劃獎勵競賽成績在80分以上（含80分）的學生，試問此次競賽獲獎勵的學生約為多少人?附：【解析】由題知參賽學生的成績為X，因為，所以，則，（人）．因此，此次參賽學生的總數約為696人．（2）由，（人）．3.某車間在三天內，每天生產10件某產品，其中第一天，第二天分別生產出了1件、2件次品，而質檢部每天要從生產的10件產品中隨意抽取4件進行檢查，若發現有次品，則當天的產品不能通過.（I）求第一天通過檢查的概率；（II）求前兩天全部通過檢查的概率；（III）若廠內對車間生產的產品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分.求該車間在這兩天內得分的數學期望.【解析】（I）∵隨意抽取4件產品檢查是隨機事件，而第一天有9件正品，∴第一天通過檢查的概率為（II）同（I），第二天通過檢查的概率為因第一天，第二天是否通過檢查相互獨立。所以，兩天全部通過檢查的概率為：（II）記得分為ξ，則ξ的值分別為0，1，2，因此，4.兩個排球隊進行比賽采用五局三勝的規則，即先勝三局的隊獲勝，比賽到此也就結束，假設按原定隊員組合，較強隊每局取勝的概率為0.6，若前四局出現2比2的平局情況，較強隊就換人重新組合隊員，則其在決賽局中獲勝的概率為0.7，設比賽結束時的局數為.（Ⅰ）求的概率分布；（Ⅱ）求E.【解析】（Ⅰ）=3，4，5.的概率分布為345P0.28000.37440.3456（Ⅱ）E=3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456=4.0656.5.某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響.已知某學生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用表示該學生選修的課程門數和沒有選修的課程門數的乘積.（Ⅰ）記“函數為上的偶函數”為事件，求事件的概率；（Ⅱ）求的分布列和數學期望.【解析】設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z 依題意得 （Ⅰ）若函數為R上的偶函數，則=0 當=0時，表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選. =0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24 ∴事件A的概率為0.24 （II）依題意知=0.2 則的分布列為02P0.240.76 ∴的數學期望為E=0×0.24+2×0.76=1.526.某小組有7個同學，其中4個同學從來沒有參加過天文研究性學習活動，3個同學曾經參加過天文研究性學習活動.（1）現從該小組中隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，求恰好選到1個曾經參加過天文研究性學習活動的同學的概率；（2）若從該小組隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，則活動結束后，該小組沒有參加過天文研究性學習活動的同學個數是一個隨機變量，求隨機變量的分布列及數學期望E.【解析】（Ⅰ）記“恰好選到12個曾經參加過數學研究性學習活動的同學”為事件A，則其概率為（Ⅱ）隨機變量=2，3，4P（=2）=P（=3）=P（=4）=∴隨機變量的分布列為234P∴E=2×+3×+4×=7.旅游公司為3個旅游團提供4條旅游線路，每個旅游團任選其中一條.（1）求3個旅游團選擇3條不同的線路的概率（2）求恰有2條線路沒有被選擇的概率.（3）求選擇甲線路旅游團數的期望.【解析】（1）3個旅游團選擇3條不同線路的概率為：P1= （2）恰有兩條線路沒有被選擇的概率為：P2= （3）設選擇甲線路旅游團數為ξ，則ξ=0，1，2，3 P（ξ=0）=P（ξ=1）= P（ξ=2）=P（ξ=3）=ξ0123P ∴ξ的分布列為 ∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=8.一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球。（1）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；（2）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數的期望和方差.【解析】解法一“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件A，∵“兩球恰好顏色不同”共2×4+4×2=16種可能，解法二“有放回摸取”可看作獨立重復實驗∵每次摸出一球得白球的概率為∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為（2）設摸得白球的個數為，依題意得9.袋中裝著標有數字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數字，求：（Ⅰ）取出的3個小球上的數字互不相同的概率；（Ⅱ）隨機變量的概率分布和數學期望；【解析】(Ⅰ)“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為A，則PA．=.（Ⅱ）由題意得，有可能的取值為：2，3，4，5.，，所以隨機變量的概率分布為2345因此的數學期望為10.有編號為1，2，3，……n的n個學生，入座編號為1，2，3，……n的n個座位，每個學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為，已知=2時，共有6種做法，（1）求n的值；（2）求隨機變量的概率分布列和數學期望.【解析】（Ⅰ）當時，有種坐法，，即，，或（舍去）．．（Ⅱ）的可能取值是，又，，，，的概率分布列為：P則．11.如圖，A、B兩點之間有6條網線并聯，它們能通過的最大信息量分別為1，1，2，2，3，4.現從中任取三條網線且使每條網線通過最大的信息量.（I）設選取的三條網線由A到B可通過的信息總量為x，當x≥6時，則保證信息暢通.求線路信息暢通的概率；（II）求選取的三條網線可通過信息總量的數學期望.【解析】（I）（II）∴線路通過信息量的數學期望12.把圓周分成四等份，A是其中一個分點，動點P在四個分點上按逆時針方向前進。現在投擲一個質地均勻的正四面體，它的四個面上分別寫有1、2、3、4四個數字。P從A點出發，按照正四面體底面上數字前進幾個分點，轉一周之前連續投擲.（1）求點P恰好返回A點的概率；（2）在點P轉一周恰能返回A點的所有結果中，用隨即變量表示點P能返回A點的投擲次數，求的分數列和期望.【解析】（1）投擲一次正四面體，底面上每個數字的出現都是等可能的，概率為，則：①若投擲一次能返回A點，則底面數字應為4，此時概率為； ②若投擲兩次能返回A點，則底面數字一次為（1，3），（3，1），（2，2）三種結果， 其概率為； ③若投三次，則底面數字一次為（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三種結果， 其概率為； ④若投四次，則底面數字為（1，1，1，1），其概率為； （以上每一種情況1分，共4分） 則能返回A點的概率為：（2）的分布列為：1234所以，期望13.黃岡“一票通”景區旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內可不限次暢游全市19家簽約景區．為了解市民每年旅游消費支出情況單位：百元，相關部門對已游覽某簽約景區的游客進行隨機問卷調查，并把得到的數據列成如表所示的頻數分布表：組別頻數1039040018812求所得樣本的中位數精確到百元；根據樣本數據，可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態分布，若該市總人口為750萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；若年旅游消費支出在百元以上的游客一年內會繼續來該景點游玩現從游客中隨機抽取3人，一年內繼續來該景點游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．參考數據：，；【答案】百元；萬；分布列見解析，．【解析】設樣本的中位數為x，則，解得，所得樣本中位數為百元；，，，旅游費用支出在7500元以上的概率為，，估計有萬市民旅游費用支出在7500元以上；由表格知一年內游客繼續來該景點游玩的概率為，X可能取值為3，4，5，6．，，，，故其分布列為：X3456P．14.近一段時間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價格普遍上漲，生豬供不應求。各大養豬場正面臨巨大挑戰，目前各項針對性政策措施對于生豬整體產能恢復、激發養殖戶積極性的作用正在逐步顯現．現有甲、乙兩個規模一致的大型養豬場，均養有1萬頭豬.根據豬的重量，將其分為三個成長階段如下表．豬生長的三個階段階段幼年期成長期成年期重量（Kg）根據以往經驗，兩個養豬場內豬的體重均近似服從正態分布.由于我國有關部門加強對大型養豬場即將投放市場的成年期的豬監控力度，高度重視其質量保證，為了養出健康的成年活豬，甲、乙兩養豬場引入兩種不同的防控及養殖模式．已知甲、乙兩個養豬場內一頭成年期豬能通過質檢合格的概率分別為，．（1）試估算各養豬場三個階段的豬的數量；（2）已知甲養豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈