專題四三角函數與解三角形4.1三角函數的概念、同角三角函數的基本關系及誘導公式考點三角函數的概念、同角三角函數的基本關系及誘導公式1.(2024全國甲理,8,5分,中)已知cosαcosα-sinα=3,A.23+1 B.23-1 C.32 D.1-8B∵cosαcosα-sinα=3,∴cosα-sinαcosα=33,∴1-tanα=33,∴tanα=1-2.(2022全國甲理,8,5分)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”.如圖,AB是以O為圓心,OA為半徑的圓弧,C是AB的中點,D在AB上,CD⊥AB.“會圓術”給出AB的弧長的近似值s的計算公式:s=AB+CD2OA.當OA=2,∠AOB=60°時,s=(A.11?3答案B連接OC,如圖.∵C是AB的中點,OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三點共線.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=3,CD=2-3,∴s=2+(2?3)223.(2019北京文,8,5分)如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為()A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ答案B本題主要考查扇形面積、三角形面積公式及應用;主要考查學生的推理論證能力和運算求解能力;考查的核心素養是數學運算.由圓的性質易知,當|PA|=|PB|時,陰影部分的面積最大,其面積為△PAB的面積與弓形的面積之和.作PD⊥AB于D點,由∠APB=β,知∠DOB=β(O為圓心).所以|OD|=2cosβ,|PD|=2+2cosβ,|AB|=4sinβ.所以S△PAB=12·|AB|·|PD|=4sinβ(1+cosβ).S弓形=S扇形OAB-S△OAB=12·2β·22-12·4sinβ·2cosβ=4β-4sincosβ.故陰影部分的面積為S△PAB+S弓形=4sinβ+4sinβcosβ+4β-4sinβcosβ=4β+4sinβ.故選B.思路分析本題陰影部分由一個三角形與一個弓形構成,當β確定時,弓形面積是確定的,故三角形面積最大時,陰影部分面積最大.4.(2014課標Ⅰ文,2,5分)若tanα>0,則()A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>0答案C由tanα>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,則A,B錯;由sin2α=2sinαcosα知sin2α>0,C正確;α取π3時,cos2α=2cos2α-1=2×122-1=-12<0,D評析本題考查三角函數值的符號,判定時可運用基本知識、恒等變形及特殊值等多種方法,具有一定的靈活性.5.(2014大綱全國文,2,5分)已知角α的終邊經過點(-4,3),則cosα=()A.45B.35C.-3答案D由三角函數的定義知cosα=?4(?4)6.(2015福建文,6,5分)若sinα=-513,且α為第四象限角,則tanα的值等于A.125B.-125C.5答案D∵sinα=-513,α為第四象限角∴cosα=1?sin2α=1213,∴tanα=7.(2014大綱全國理,3,5分)設a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,則()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,∴b>a.又∵c=tan35°=sin35°cos35°>sin35°=cos8.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=102,則tanA.43B.34C.-3答案C(sinα+2cosα)2=52,展開得3cos2α+4sinαcosα=32,再由二倍角公式得32cos2α+2sin2α=0,故tan2α=sin2αcos2α=-評析本題考查同角三角函數的基本關系式和三角恒等變換,考查轉化與化歸思想,考查學生靈活應用公式的能力和運算求解能力.三角函數求值問題關鍵在于觀察角與角之間的關系和三角函數名之間的關系.9.(2013大綱全國文,2,5分)已知α是第二象限角,sinα=513,則cosA.-1213B.-513C.5答案A∵α是第二象限角,∴cosα<0.∴cosα=-1?sin2α評析本題考查三角函數值在各象限的符號,同角三角函數關系,屬容易題.10.(2013廣東文,4,5分)已知sin5π2+α=15A.-25B.-15C.1答案C∵sin5π2+α=sinπ2+α=cos11.(2023全國乙文，14）若，則________．【答案】【解析】因為，則，又因為，則，且，解得或（舍去），所以.12.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于y軸對稱.若sinα=13,則sinβ=答案1解析本題考查三角函數的誘導公式.由角α與角β的終邊關于y軸對稱,可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sinα=13,∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα=113.(2016四川文,11,5分)sin750°=.

答案1解析sin750°=sin(720°+30°)=sin30°=12解后反思利用誘導公式把大角化為小角.評析本題考查了三角函數的誘導公式.14.(2013課標Ⅱ理,15,5分)設θ為第二象限角,若tanθ+π4=12,則sinθ+cos答案-10解析tanθ=tanθ+π4?π∴sinθ=-13cosθ,將其代入sin2θ+cos2θ=1得109cos2θ=1,∴cos2θ=910,又易知cosθ<0,∴cosθ=-31010,∴sinθ=1010,故sin15.(2023北京,13,5分)已知命題p:若α,β為第一象限角,且α>β,則