專題二函數及其性質2.1函數的概念及表示考點一函數的概念及表示1.(2024新課標Ⅰ,8,5分,中)已知函數f(x)的定義域為R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且當x<3時,f(x)=x,則下列結論中一定正確的是()A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<100008B當x<3時,f(x)=x,因此,f(1)=1,f(2)=2,又f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3,f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5,……,以此類推知f(10)>89,……,f(16)>1597,……,f(20)>10946,因此B正確,D錯誤;取f(3)=1000,可知選項C錯誤;不妨設f(x)=f(x-1)+f(x-2)+λ(λ>0),則f(3)=f(2)+f(1)+λ=3+λ,f(4)=f(3)+f(2)+λ=5+2λ,……,f(10)=89+54λ,令f(10)<100,得89+54λ<100,∴λ<1154,因此當λ<1154時,f(10)<100,選項A錯誤.2.(2024新課標Ⅱ,8,5分,中)設函數f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,則a2+b2的最小值為()A.18 B.14 C.18Cf(x)≥0?x+a≥0與ln(x+b)≥0的解集相同,①或x+a≤0與ln(x+b)≤0的解集相同.②由①得,x≥-a與x≥1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a,由②得,-b<x≤-a與-b<x≤1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a,綜上所述,b=1+a.∴a2+b2=a2+(1+a)2=2a+122+123.(2015湖北文,7,5分)設x∈R,定義符號函數sgnx=1,x>0,A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx答案D由已知可知xsgnx=x,x>0,0,x=0,?x,4.(2014江西理,3,5分)已知函數f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,則a=()A.1B.2C.3D.-1答案A由已知條件可知:f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故選A.評析本題主要考查函數的解析式,正確理解函數的定義是解題關鍵.5.(2017山東理,1,5分)設函數y=4?x2的定義域為A,函數y=ln(1-x)的定義域為B,則A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故選D.6.(2015重慶文,3,5分)函數f(x)=log2(x2+2x-3)的定義域是()A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案D由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故選D.7.(2015湖北文,6,5分)函數f(x)=4?|x|A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案C要使函數f(x)有意義,需滿足4即|x|≤4,(x?3)(8.(2014山東理,3,5分)函數f(x)=1(loA.0,1C.0,12∪(2,+∞)D.0,答案C要使函數f(x)有意義,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<12故f(x)的定義域為0,129.(2016課標Ⅱ文,10,5分)下列函數中,其定義域和值域分別與函數y=10lgx的定義域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1答案D函數y=10lgx的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lgx的值域為R,排除B,故選D.易錯警示利用對數恒等式將函數y=10lgx變為y=x,將其值域認為是R是失分的主要原因.評析本題考查函數的定義域和值域,熟練掌握基本初等函數的圖象和性質是解題的關鍵.10.(2022北京,4,4分)已知函數f(x)=11+2x,則對任意實數x,有(A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=1答案C∵f(x)=11+2x,∴f(-x)=11+2?x=2x2x+1,∴f(x)一題多解:若對任意實數x,使得選項中式子成立,則可任取x值,代入驗證,進行排除.當x=0時,f(0)+f(0)=12+12=1,f(0)-f(0)=0,故A,D選項錯誤.當x=1時,f(-1)-f(1)=11+2?1?11.(2022北京,11,5分)函數f(x)=1x+1?答案(-∞,0)∪(0,1]解析由題意得x≠0,1?x≥0,解得x≤1且x≠0,所以函數f(x)的定義域為(-∞,0)∪(012.(2015課標Ⅱ文,13,5分)已知函數f(x)=ax3-2x的圖象過點(-1,4),則a=.

答案-2解析因為函數f(x)=ax3-2x的圖象過點(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2.13.(2016江蘇,5,5分)函數y=3?2x?x答案[-3,1]解析若函數有意義,則3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.考點二分段函數1.(2015陜西文,4,5分)設f(x)=1?xA.-1B.14C.12答案C∵f(-2)=2-2=14,∴f(f(-2))=f14=1-14=12.(2015山東文,10,5分)設函數f(x)=3x?b,x<1,A.1B.78C.34答案Df56=3×56-b=當52-b≥1,即b≤32時,f52即252?b=4=22,得到52當52-b<1,即b>32時,f52?b即152-4b=4,得到b=78<32綜上,b=12,故選3.(2014江西文,4,5分)已知函數f(x)=a·2x,x≥0,2?xA.14B.1答案A由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=14,故選4.(2022浙江,14,6分)已知函數f(x)=?x2+2,x≤1,x+1x?1,x>1,則ff12=;若當x∈[a,b]時答案3728;3+解析∵f12∴ff1f(x)的大致圖象如圖.∵當x∈[a,b]時,1≤f(x)≤3,∴由圖可得b>1且b+1b-1=3,∴b=2+3∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.一題多解:第二空:∵當x≤1時,y=-x2+2≤2,∴f(x)=3?x+1x-1=3(x>1),故x=2+3令-x2+2=