1.2常用邏輯用語考點1充分條件與必要條件1.(2024全國甲理,9,5分,中)設向量a=(x+1,x),b=(x,2),則()A.x=-3是a⊥b的必要條件B.x=1+3是a∥b的必要條件C.x=0是a⊥b的充分條件D.x=-1+3是a∥b的充分條件9C由a⊥b得a·b=x2+3x=0,解得x=0或x=-3,因此,選項A錯誤,選項C正確;由a∥b得x2-2(x+1)=0,即x2-2x-2=0,解得x=1±3,因此,選項B、D錯誤,故選C.2.(2024新課標Ⅱ,2,5分,易)已知命題p:?x∈R,|x+1|>1;命題q:?x>0,x3=x.則()A.p和q都是真命題B.?p和q都是真命題C.p和?q都是真命題D.?p和?q都是真命題2B由|x+1|>1得x+1>1或x+1<-1,即x>0或x<-2,因此命題p是假命題,?p是真命題;由x3=x可得x(x-1)(x+1)=0,即x=0,-1或1,因此?x=1>0,使得x3=x,命題q是真命題,故選B.3.(2024北京,5,4分,易)已知向量a,b,則“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5B若(a+b)·(a-b)=0,則a2=b2,即|a|=|b|,但|a|=|b|推不出a=-b或a=b,如a=(1,0),b=(0,1),滿足|a|=|b|,但a≠-b,a≠b;而a=-b或a=b可推出|a|=|b|,所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分條件.4.(2023新課標Ⅰ,7,5分)記Sn為數列{an}的前n項和,設甲:{an}為等差數列;乙:Snn為等差數列,則(A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案C若{an}為等差數列,設公差為d,則an=a1+(n-1)d,∴Sn=na1+n(n?1)d2,∴Snn當n≥2時,Sn?1n?1=a1∴Snn-Sn?1n?1=a1+n?12d-a∴Snn是以S1為首項,d若Snn為等差數列,設公差為d',則Snn=S1+(n-1)d'=a1+(n∴Sn=na1+n(n-1)d',當n≥2時,Sn-1=(n-1)a1+(n-1)(n-2)d',兩式作差得,an=a1+2(n-1)d',又n=1時也滿足上式,∴an=a1+2(n-1)d',n∈N*,當n≥2時,an-1=a1+2(n-2)d',∴an-an-1=a1+2(n-1)d'-a1-2(n-2)d'=2d',∴{an}是以a1為首項,2d'為公差的等差數列.綜上,甲是乙的充要條件,故選C.5.(2023北京,8,4分,易)若xy≠0,則“x+y=0”是“yx+xy=-2”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C充分性:yx+xy必要性:由yx+xy=y2+x2xy=-2,得x2+y2+2xy=(x+y)26.（(2023全國甲理,7,5分)設甲:sin2α+sin2β=1,乙:sinα+cosβ=0,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案B∵sin2α+sin2β=1,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α=cos2β,∴sinα=±cosβ,即sinα+cosβ=0或sinα-cosβ=0,所以充分性不成立;當sinα+cosβ=0時,sin2α=cos2β,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以必要性成立.∴甲是乙的必要條件但不是充分條件.故選B.7.(2023天津,2,5分,易)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件答案B由a2=b2得|a|=|b|;由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,∴a=b.a=b?|a|=|b|,而由|a|=|b|不能推出a=b.∴“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件.故選B.8.(2022浙江,4,4分)設x∈R,則“sinx=1”是“cosx=0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A根據sinx=1解得x=π2+2kπ,k∈Z,此時cosx=cosπ2+2kπ=cosπ2=0.根據cosx=0解得x=π2+kπ,k∈Z,此時sinx=sinπ2+kπ=±1.9.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,則“a·c=b·c”是“a=b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B解題指導:利用平面向量的數量積定義分別判斷命題“若a·c=b·c,則a=b”與“若a=b,則a·c=b·c”的真假性即可.解析若c與向量a,b都垂直,則由a·c=b·c不一定能得到a=b;若a=b,則由平面向量的數量積的定義知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分條件.故選B.方法總結:(1)充分條件、必要條件的判斷方法:①定義法:根據“若p,則q”與“若q,則p”的真假性進行判斷;②集合法:根據p,q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷.(2)要判斷一個命題是假命題,只需舉出一個反例即可.但要判斷一個命題是真命題,必須通過嚴格的推理論證.10.(2021北京,3,4分)設函數f(x)的定義域為[0,1],則“函數f(x)在[0,1]上單調遞增”是“函數f(x)在[0,1]上的最大值為f(1)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A若f(x)在[0,1]上單調遞增,則f(x)在[0,1]上的最大值為f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值為f(1),則f(x)未必在[0,1]上單調遞增,如圖.故選A.11.(2022北京,6,4分)設{an}是公差不為0的無窮等差數列,則“{an}為遞增數列”是“存在正整數N0,當n>N0時,an>0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案C設等差數列{an}的公差為d(d≠0),則an=a1+(n-1)d.若{an}為遞增數列,則d>0,由an=a1+(n-1)d可構造函數f(x)=xd+a1-d,令f(x)=0,得x=d?若a1>d,則x<0,取N0=1,即有n>1時,f(n)>f(1)>0成立;若a1<d,則x>0,取N0=d?a1d+1d?a1d表示不超過d?a1d的最大正整數,此時n>N0,必有f(n綜上,存在正整數N0,當n>N0時,an>0,∴充分性成立.易知an是關于n的一次函數,若存在正整數N0,當n>N0時,an>0,則一次函數為增函數,∴d>0,∴必要性成立.故選C.12.(2019天津文,3,5分)設x∈R,則“0<x<5”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B|x-1|<1?-1<x-1<1?0<x<2.當0<x<2時,必有0<x<5;反之,不成立.所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分條件.一題多解因為{x||x-1|<1}={x|0<x<2}?{x|0<x<5},所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分條件.13.(2018天津,理4,文3,5分)設x∈R,則“x?12<12”是“xA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷.由x?12<12得-12<x-1由x3<1得x<1.當0<x<1時能得到x<1一定成立;當x<1時,0<x<1不一定成立.所以“x?12<12”是“x方法總結(1)充分、必要條件的判斷.解決此類問題應分三步:①確定條件是什么,結論是什么;②嘗試從條件推結論,從結論推條件;③確定條件和結論是什么關系.(2)探究某結論成立的充要、充分、必要條件.解答此類題目,可先從結論出發,求出使結論成立的必要條件,然后驗證得到的必要條件是否滿足充分性.14.(2017北京理,6,5分)設m,n為非零向量,則“存在負數λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A由存在負數λ,使得m=λn,可得m、n共線且反向,夾角為180°,則m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,故必要性不成立.故選A.15.(2017天津理,4,5分)設θ∈R,則“θ?π12<π12”是“sinA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A本題考查不等式的解法及充分必要條件的判斷.∵θ?π12<π12?-π12<θ-π12sinθ<12?θ∈2kπ?0,π6?2kπ∴“θ?π12<π12”是“sin16.(2016天津理,5,5分)設{an}是首項為正數的等比數列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數n,a2n-1+a2n<0”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C若對任意的正整數n,a2n-1+a2n<0,則a1+a2<0,又a1>0,所以a2<0,所以q=a2a1<0.若q<0,可取q=-1,a1=1,則a1+a2=1-1=0,不滿足對任意的正整數n,a2n-1+a2n<0.所以“q<0”是“對任意的正整數n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分條件評析本題以等比數列為載體,考查了充分條件、必要條件的判定方法,屬中檔題.17.(2015重慶理,4,5分)“x>1”是“log12(x+2)<0A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案B當x>1時,x+2>3>1,又y=log12x∴log12(x+2)<log121=0,則x>1?log12(x+2)<0;當log12(x+2)<0時,x+2>1,x>-1,則log12(x+2)<0?/x>1.18.(2015天津理,4,5分)設x∈R,則“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A因為|x-2|<1等價于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)?(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要條件,故選A.19.(2015湖南理,2,5分)設A,B是兩個集合,則“A∩B=A”是“A?B”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C若A∩B=A,任取x∈A,則x∈A∩B,∴x∈B,故A?B;若A?B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A?(A∩B),又A∩B?A顯然成立,∴A∩B=A.綜上,“A∩B=A”是“A?B”的充要條件,故選C.20.(2015陜西理,6,5分)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A由sinα=cosα,得cos2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.由cos2α=0,得sinα=±cosα,即必要性不成立.故選A.21.(2014課標Ⅱ文,3,5分)函數f(x)在x=x0處導數存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的極值點,則()A.p是q的充分必要條件B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件C.p是q的必要條件,但不是q的充分條件D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件答案C∵f(x)在x=x0處可導,∴若x=x0是f(x)的極值點,則f'(x0)=0,∴q?p,故p是q的必要條件;反之,以f(x)=x3為例,f'(0)=0,但x=0不是極值點,∴p?/q,故p不是q的充分條件.故選C.22.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案Bln(x+1)<0?0<x+1<1?-1<x<0?x<0;而x<0?/-1<x<0,故選B.23.(2014浙江理,2,5分)已知i是虛數單位,a,b∈R,則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A當a=b=1時,有(1+i)2=2i,即充分性成立.當(a+bi)2=2i時,有a2-b2+2abi=2i,得a2?b2=0,ab=1,解得評析本題考查復數的運算,復數相等的概念,充分條件與必要條件的判定,屬于容易題.24.(2014北京理,5,5分)設{an}是公比為q的等比數列.則“q>1”是“{an}為遞增數列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案D若q>1,則當a1=-1時,an=-qn-1,{an}為遞減數列,所以“q>1”?/“{an}為遞增數列”;若{an}為遞增數列,則當an=-12n時,a1