高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市東坡區2023-2024學年高二下學期6月期末聯合考試數學試題一、單選題1.從中任取兩個不同數字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，則組成不同點的個數為（）A.2 B.4 C.12 D.24【答案】C【解析】從中任取兩個不同數字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，不同的點的個數是種.故選：C2.設在處可導，的值是（）A. B. C. D.不一定存在【答案】C【解析】．故選：C．3.已知n，m為正整數，且，則在下列各式中錯誤的是（）A.； B.； C.； D.【答案】C【解析】對于A，，故正確；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為n，m為正整數，且，所以令，則，，此時，故錯誤；對于D，，故正確；故選：C4.已知函數，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函數的圖象，如圖所示.由圖可知曲線上各點與坐標原點的連線的斜率隨著的增大而減小.由，得，即.故選：C.5.在二項式的展開式中，含項的二項式系數為（）A.5 B. C.10 D.【答案】A【解析】由題設，，∴當時，.∴含項的二項式系數.故選：A.6.已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），則下面四個圖象中，的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題給函數圖象，可得當時，，則，則單調遞增；當時，，則，則單調遞減；當時，，則，則單調遞減；當時，，則，則單調遞增；則單調遞增區間為，；單調遞減區間為故僅選項C符合要求.故選：C7.某產品的銷售收入（萬元）是產量x（千臺）的函數,且函數解析式,生產成本（萬元）是產量x（千臺）的函數，且函數解析式，要使利潤最大，則該產品應生產（）A.6千臺 B.7千臺 C.8千臺 D.9千臺【答案】B【解析】該產品的的利潤則由得；由得則當時，取得最大值.即要使利潤最大，則該產品應生產7千臺.故選：B8.2020年4月22日是第51個世界地球日，今年的活動主題是“珍愛地球，人與自然和諧共生”．某校4名大學生到三個社區做宣傳，每個社區至少分配一人，每人只能去一個社區宣傳，若大學生甲不去A社區，則不同的安排方案共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】A【解析】根據題意，首先分配甲，甲不去社區，則對甲有種分配方法;對于剩下的三人，分兩種情況討論：①其中有一人與甲在同一個社區，則三名學生分配到三個社區，每個社區一人，有種情況;②沒有人與甲在同一個社區，則三人中有兩人一組，另外一人單獨一組，兩組分配到除甲以外的另外兩個地方，有種情況;所以若甲不去社區，不同的安排方案有種.故選：A.二、多選題9.設函數，則（）A.在上單調遞增B.當時，取得極小值C.當只有一個零點時，的取值范圍是D.當時，有三個零點【答案】AD【解析】，，令,解得：或，當，，時，，則在(0,+∞)，上單調遞增，當時，，則在遞減，故正確，B錯誤，畫出函數的大致圖像，如圖示：且結合極大值，當只有一個零點時，的取值范圍是；當時，有三個零點．故C錯誤，D正確；故選：AD10.若，則（）A.可以被整除B.可以被整除C.被27除的余數為6D.的個位數為6【答案】AB【解析】，可以被整除，故A正確；，可以被整除，故B正確；被27除的余數為5，故C錯誤；，個位數為，故D錯誤.故選：AB11.已知，且，其中e為自然對數的底數，則下列選項中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】構造函數，，當時，，時，，時，，在處取最大值，，，函數圖像如下：，，A正確；B錯誤；，，，C正確，D錯誤；故選：AC.三、填空題12.已知，若，則_________．【答案】4【解析】因為，令，可得，即，解得.故答案為：4.13.已知函數，，若使不等式成立，的取值范圍是_________．【答案】．【解析】因為，使不等式成立，則，即，則問題轉化為．設，由，令，得．當在區間內變化時，，隨的變化情況如下表：＋0－單調遞增極大值單調遞減由上表可知，當時，函數有極大值，即最大值為，所以．故的取值范圍是．故答案為：14.若函數在上存在最小值，則實數的取值可以是______.【答案】-2（答案不唯一）【解析】因為，所以，令得，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當，有極小值，因為函數在上存在最小值，又，所以，解得，故答案為：內任一值均可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（注：要寫出算式，結果用數字表示）解：（1）將個不同的小球分為三組，每組的小球數量分別為、、或、、，然后再將這三組小球放入三個盒子中，因此，不同的放法種數為種；（2）每個小球有種方法，由分步乘法計數原理可知，將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，不同的放法種數為種；（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數為種；（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，等價于將個相同的小球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數為種.16.已知(1+3x2)n的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992.求：（1）展開式中二項式系數最大的項；（2）展開式中系數最大的項．解：（1）令x=1，則展開式中各項系數和為，又∵展開式中二項式系數和為，，即n=5，展開式共6項，二項式系數最大的項為第三、四兩項，∴，；（2）展開式，，設展開式中第r+1項系數最大，則，即，解得，因此r=4，即展開式中第5項系數最大，.17.某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為，且，假設該容器的建造費用僅與其表面積有關，已知圓柱形部分每平方米的建造費用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費用為（）萬元，該容器的總建造費用為萬元.（1）寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；（2）求該容器的總建造費用最少時的的值.解：（1）設容器的容積為，由題意，知.又，故.由于，解得，所以，其定義域為.（2）由（1）得，.由于，所以.當時，.令，則，所以.①當，即時，若，則；若，則；若，則.所以是該函數的極小值點，也是最小值點.②當，即時，若，則（僅當時，），所以函數單調遞減.所以是該函數的最小值點.綜上所述，當時，總建造費用最少時；當時，總建造費用最少時.18.已知函數．（1）求在點處的切線方程；（2）求證：；（3）若函數無零點，求實數a的取值范圍．解：（1）因為，所以，所以，所以在點處的切線的斜率為，故在點處的切線方程為，即.（2）依題意知，函數定義域為，，令，則，解得；令，則，解得或；所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.當時，取得最大值為，所以.（3）依題意得，，當時，，在定義域上無零點；滿足題意.當時，，所以，令，得；令，得；所以在上單調遞增，在上單調遞減.當時，取得最大值為，因為無零點,所以，解得；當時，因為，所以，即，所以在定義域上無零點；滿足題意.綜上所述，實數a的取值范圍19.已知函數．（注：是自然對數的底數）．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，函數在區間內有唯一的極值點．①求實數的取值范圍；②求證：在區間內有唯一的零點，且．解：（1）當時，，，切線的斜率，又，所以切點為，所以，切線方程為（2）①函數，，（ⅰ）當時，當時，，，，則在上單調遞增，沒有極值點，不合題意，舍去；（ⅱ）當時，設，則在上恒成立，所以在上遞增，即在上遞增，又，，所以在上有唯一零點，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以函數在區間內有唯一極值點，符合題意，綜上，的取值范圍是．②由①知，當時，，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；所以時，，則，又因為，所以在上有唯一零點，即在上有唯一零點．因為，由①知，所以，則，設，，則，，，所以在為單調遞增，又，所以，又時，，所以．所以．由前面討論知，，在單調遞增，所以．四川省眉山市東坡區2023-2024學年高二下學期6月期末聯合考試數學試題一、單選題1.從中任取兩個不同數字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，則組成不同點的個數為（）A.2 B.4 C.12 D.24【答案】C【解析】從中任取兩個不同數字組成平面直角坐標系中一個點的坐標，不同的點的個數是種.故選：C2.設在處可導，的值是（）A. B. C. D.不一定存在【答案】C【解析】．故選：C．3.已知n，m為正整數，且，則在下列各式中錯誤的是（）A.； B.； C.； D.【答案】C【解析】對于A，，故正確；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為n，m為正整數，且，所以令，則，，此時，故錯誤；對于D，，故正確；故選：C4.已知函數，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】作出函數的圖象，如圖所示.由圖可知曲線上各點與坐標原點的連線的斜率隨著的增大而減小.由，得，即.故選：C.5.在二項式的展開式中，含項的二項式系數為（）A.5 B. C.10 D.【答案】A【解析】由題設，，∴當時，.∴含項的二項式系數.故選：A.6.已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），則下面四個圖象中，的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題給函數圖象，可得當時，，則，則單調遞增；當時，，則，則單調遞減；當時，，則，則單調遞減；當時，，則，則單調遞增；則單調遞增區間為，；單調遞減區間為故僅選項C符合要求.故選：C7.某產品的銷售收入（萬元）是產量x（千臺）的函數,且函數解析式,生產成本（萬元）是產量x（千臺）的函數，且函數解析式，要使利潤最大，則該產品應生產（）A.6千臺 B.7千臺 C.8千臺 D.9千臺【答案】B【解析】該產品的的利潤則由得；由得則當時，取得最大值.即要使利潤最大，則該產品應生產7千臺.故選：B8.2020年4月22日是第51個世界地球日，今年的活動主題是“珍愛地球，人與自然和諧共生”．某校4名大學生到三個社區做宣傳，每個社區至少分配一人，每人只能去一個社區宣傳，若大學生甲不去A社區，則不同的安排方案共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】A【解析】根據題意，首先分配甲，甲不去社區，則對甲有種分配方法;對于剩下的三人，分兩種情況討論：①其中有一人與甲在同一個社區，則三名學生分配到三個社區，每個社區一人，有種情況;②沒有人與甲在同一個社區，則三人中有兩人一組，另外一人單獨一組，兩組分配到除甲以外的另外兩個地方，有種情況;所以若甲不去社區，不同的安排方案有種.故選：A.二、多選題9.設函數，則（）A.在上單調遞增B.當時，取得極小值C.當只有一個零點時，的取值范圍是D.當時，有三個零點【答案】AD【解析】，，令,解得：或，當，，時，，則在(0,+∞)，上單調遞增，當時，，則在遞減，故正確，B錯誤，畫出函數的大致圖像，如圖示：且結合極大值，當只有一個零點時，的取值范圍是；當時，有三個零點．故C錯誤，D正確；故選：AD10.若，則（）A.可以被整除B.可以被整除C.被27除的余數為6D.的個位數為6【答案】AB【解析】，可以被整除，故A正確；，可以被整除，故B正確；被27除的余數為5，故C錯誤；，個位數為，故D錯誤.故選：AB11.已知，且，其中e為自然對數的底數，則下列選項中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】構造函數，，當時，，時，，時，，在處取最大值，，，函數圖像如下：，，A正確；B錯誤；，，，C正確，D錯誤；故選：AC.三、填空題12.已知，若，則_________．【答案】4【解析】因為，令，可得，即，解得.故答案為：4.13.已知函數，，若使不等式成立，的取值范圍是_________．【答案】．【解析】因為，使不等式成立，則，即，則問題轉化為．設，由，令，得．當在區間內變化時，，隨的變化情況如下表：＋0－單調遞增極大值單調遞減由上表可知，當時，函數有極大值，即最大值為，所以．故的取值范圍是．故答案為：14.若函數在上存在最小值，則實數的取值可以是______.【答案】-2（答案不唯一）【解析】因為，所以，令得，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當，有極小值，因為函數在上存在最小值，又，所以，解得，故答案為：內任一值均可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）將個不同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（2）將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，共有多少種不同的放法?（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，共有多少種不同的放法?（注：要寫出算式，結果用數字表示）解：（1）將個不同的小球分為三組，每組的小球數量分別為、、或、、，然后再將這三組小球放入三個盒子中，因此，不同的放法種數為種；（2）每個小球有種方法，由分步乘法計數原理可知，將個不同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，不同的放法種數為種；（3）將個相同的小球放入個不同的盒子中，沒有空盒子，只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數為種；（4）將個相同的小球放入個不同的盒子中，盒子可空，等價于將個相同的小球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，只需在個相同的小球中間所形成的個空位中插入塊板即可，所以，不同的放法種數為種.16.已知(1+3x2)n的展開式中，各項系數和比它的二項式系數和大992.求：（1）展開式中二項式系數最大的項；（2）展開式中系數最大的項．解：（1）令x=1，則展開式中各項系數和為，又∵展開式中二項式系數和為，，即n=5，展開式共6項，二項式系數最大的項為第三、四兩項，∴，；（2）展開式，，設展開式中第r+1項系數最大，則，即，解得，因此r=4，即展開式中第5項系數最大，.17.某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為，且，假設該容器的建造費用僅與其表面積有關，已知圓柱形部分每平方米的建造費用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費用為（）萬元，該容器的總建造費用為萬元.（1）寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；（2）求該容器的總建造費用最少時的的值.解：（1）設容器的容積為，由題意，知.又，故.由于，解得，所以，其定義域為.（2）由（1）得，.由于，所以.當時，.令，則，所以.①當，即時，若，則；若，則；若，則.所以是該函數的極小值點，也是最