高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，（）A. B.0 C.1 D.3【答案】A【解析】因?yàn)椋裕瑒t.故選：A2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，設(shè)，則服從正態(tài)分布（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以均值,方差，又因?yàn)椋噪S機(jī)變量均值為，方差為，所以隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.故選：C.3.已知是等比數(shù)列，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又，解得.故選：C.4.小明準(zhǔn)備下周六去市或市（二者選其一）看演唱會(huì)，去A市的概率為，去市的概率為，若天氣預(yù)報(bào)下周六A市下雨的概率為，市下雨的概率為，則小明下周六看演唱會(huì)遇到雨天的概率為（）A.0.45 B.0.24 C.0.23 D.0.21【答案】C【解析】依題意小明下周六看演唱會(huì)遇到雨天的概率.故選：C5.如圖所示，在三棱錐中，，，，點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋裕郑矗裕虼?故選：A.6.已知數(shù)列an滿(mǎn)足，則an前100項(xiàng)和為（）A.2475 B.2500 C.2525 D.5050【答案】A【解析】由，可得，，所以，令，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，由于，所以an的前100項(xiàng)和為2475故選：A7.已知，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與交于A，兩點(diǎn)，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】依題意可得A，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，連接、，又，則四邊形為矩形，所以，則，所以，即，即，又，解得，所以.故選：D8.平面幾何中有定理:已知四邊形的對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn),且，過(guò)點(diǎn)分別作邊，，，的垂線(xiàn)，垂足分別為，，，，則，，，在同一個(gè)圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線(xiàn)，，的方程分別為，，，點(diǎn)，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得，由得，由得，因?yàn)椋瑢?duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，所以，因?yàn)椋运谥本€(xiàn)方程為，與聯(lián)立方程組解得，因?yàn)椋运谥本€(xiàn)方程為，與聯(lián)立方程組解得，因?yàn)椋跃€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，聯(lián)立，解得，所以，又，所以圓的方程為.故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，前項(xiàng)和為，若，則的值可能為（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】ABD【解析】等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公比為，由，解得或或，當(dāng)時(shí)，由，得，因此；當(dāng)時(shí)，由，得，因此；當(dāng)時(shí)，由，得，因此，ABD可能，C不可能.故選：ABD10.下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（）A.對(duì)于回歸方程，變量每增加1個(gè)單位，則平均減少個(gè)單位B.兩個(gè)變量，的相關(guān)系數(shù)越小，，之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱C.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合效果越好D.用最小二乘法求得一組成對(duì)數(shù)據(jù)的回歸方程，若增加一個(gè)新的樣本點(diǎn)，則得到的新回歸方程可能不變【答案】ACD【解析】對(duì)于A：對(duì)于回歸方程，變量每增加1個(gè)單位，則平均減少個(gè)單位，故A正確；對(duì)于B：越接近于，則，之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近于，則，之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明波動(dòng)越小，即模型的擬合精度越高，故C正確；對(duì)于D：若增加的樣本點(diǎn)恰好為原回歸直線(xiàn)的樣本中心點(diǎn)時(shí)，則增加該樣本點(diǎn)后，回歸方程不會(huì)發(fā)生改變，故D正確.故選：ACD11.若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.0 B. C. D.1【答案】AB【解析】關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，令，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有實(shí)數(shù)解，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，要使不等式有實(shí)數(shù)解，則，即，結(jié)合選項(xiàng)可知只有A、B符合題意.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】因?yàn)椋郑裕?故答案為：13.某果農(nóng)計(jì)劃在A，B，C，D這4個(gè)地塊上種植2種不同的果樹(shù)，每個(gè)地塊只種植一種果樹(shù)，有蘋(píng)果、梨、桃子、杏4種果樹(shù)可供選擇，則不同的種植方案數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】先選兩種果樹(shù)有種方案，然后每塊地有2種選擇，所以不同的種植方案有種植方案.故答案為：84.14.已知數(shù)列an滿(mǎn)足，且，，若，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和最小時(shí)，______.【答案】5或7【解析】由，可得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以，則，由，解得，所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和最小時(shí)，或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的圖象在處的切線(xiàn)方程；（2）若圖象上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率都大于a，求a的取值范圍.解：（1），則，又，所以切線(xiàn)方程為，即.（2）設(shè)圖象上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,fx1，x則，整理得，令，則單調(diào)遞增，恒成立，即，所以的取值范圍為.16.如圖，在三棱柱中，，，兩兩垂直，，，，D為的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.（1）求證：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.解：（1）依題意可得A0,0,0，B1,0,0，，，，，，則，，所以，所以；（2）因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.17.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為原點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在上，，且的面積為.（1）求的方程；（2）若，是上與不重合兩動(dòng)點(diǎn)，且，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).解：（1）由題可得，由，可得的橫坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)，則，所以，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為（2）由(1)可得：，，顯然直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，所以，聯(lián)立方程，可得：，所以，即，，，因?yàn)椋裕瑒t，化簡(jiǎn)得：，則，所以，解得：，或，當(dāng)時(shí)，即，且，所以，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，即，且，所以，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)為，即點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意，舍去；綜上：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)為18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，又，當(dāng)時(shí)，f'x>0恒成立，所以在0,+當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f'所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上可得，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若時(shí)，，定義域?yàn)?,+∞，又，因?yàn)椋瑸榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，，所以，解得，所以，令，則，令，則，因?yàn)椋裕栽?,+∞上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為.19.若數(shù)列滿(mǎn)足，且存在正整數(shù)，，使得，，則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列，若，都是數(shù)列，記.（1）各寫(xiě)出等比數(shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式，使得數(shù)列是數(shù)列；（不要求寫(xiě)出過(guò)程）（2）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，若數(shù)列是數(shù)列，且前項(xiàng)的和為100，求，及相應(yīng)的的值；（3）若，，都是數(shù)列，求證：，，中至少有1個(gè)是偶數(shù).解：（1）令，，則，滿(mǎn)足是數(shù)列；（2）因?yàn)閿?shù)列是數(shù)列，所以，若，則，不符合題意；若，，即，，又，所以的前項(xiàng)依次為，，，，，，所以是周期為的數(shù)列，則的前項(xiàng)和為，所以的前項(xiàng)和為，又，所以或；若，，即，，又，所以的前項(xiàng)依次為，，，，，，所以是周期為的數(shù)列，則的前項(xiàng)和為，所以的前項(xiàng)和為，所以；若，，即，，又，所以的前項(xiàng)依次為，，，，，，所以是周期為的數(shù)列，則的前項(xiàng)和為，所以的前項(xiàng)和為，又，所以或；綜上可得，當(dāng)，時(shí)或；當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)或.（3）因?yàn)椋际菙?shù)列，若，，均為或均為時(shí)；若，，是一個(gè)、兩個(gè)時(shí)，，，是一個(gè)、兩個(gè)；若，，是一個(gè)、兩個(gè)時(shí)，，，是一個(gè)、兩個(gè)；即對(duì)任意的正整數(shù)，，，中要么沒(méi)有，要么有兩個(gè)，所以為偶數(shù)，故，，中至少有個(gè)是偶數(shù).河南省焦作市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，（）A. B.0 C.1 D.3【答案】A【解析】因?yàn)椋裕瑒t.故選：A2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，設(shè)，則服從正態(tài)分布（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以均值,方差，又因?yàn)椋噪S機(jī)變量均值為，方差為，所以隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.故選：C.3.已知是等比數(shù)列，且，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，又，解得.故選：C.4.小明準(zhǔn)備下周六去市或市（二者選其一）看演唱會(huì)，去A市的概率為，去市的概率為，若天氣預(yù)報(bào)下周六A市下雨的概率為，市下雨的概率為，則小明下周六看演唱會(huì)遇到雨天的概率為（）A.0.45 B.0.24 C.0.23 D.0.21【答案】C【解析】依題意小明下周六看演唱會(huì)遇到雨天的概率.故選：C5.如圖所示，在三棱錐中，，，，點(diǎn)M，N滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋裕郑矗裕虼?故選：A.6.已知數(shù)列an滿(mǎn)足，則an前100項(xiàng)和為（）A.2475 B.2500 C.2525 D.5050【答案】A【解析】由，可得，，所以，令，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，由于，所以an的前100項(xiàng)和為2475故選：A7.已知，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與交于A，兩點(diǎn)，且，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】依題意可得A，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，連接、，又，則四邊形為矩形，所以，則，所以，即，即，又，解得，所以.故選：D8.平面幾何中有定理:已知四邊形的對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn),且，過(guò)點(diǎn)分別作邊，，，的垂線(xiàn)，垂足分別為，，，，則，，，在同一個(gè)圓上，記該圓為圓.若在此定理中，直線(xiàn)，，的方程分別為，，，點(diǎn)，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得，由得，由得，因?yàn)椋瑢?duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，所以，因?yàn)椋运谥本€(xiàn)方程為，與聯(lián)立方程組解得，因?yàn)椋运谥本€(xiàn)方程為，與聯(lián)立方程組解得，因?yàn)椋跃€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，聯(lián)立，解得，所以，又，所以圓的方程為.故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，前項(xiàng)和為，若，則的值可能為（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】ABD【解析】等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公比為，由，解得或或，當(dāng)時(shí)，由，得，因此；當(dāng)時(shí)，由，得，因此；當(dāng)時(shí)，由，得，因此，ABD可能，C不可能.故選：ABD10.下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（）A.對(duì)于回歸方程，變量每增加1個(gè)單位，則平均減少個(gè)單位B.兩個(gè)變量，的相關(guān)系數(shù)越小，，之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱C.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合效果越好D.用最小二乘法求得一組成對(duì)數(shù)據(jù)的回歸方程，若增加一個(gè)新的樣本點(diǎn)，則得到的新回歸方程可能不變【答案】ACD【解析】對(duì)于A：對(duì)于回歸方程，變量每增加1個(gè)單位，則平均減少個(gè)單位，故A正確；對(duì)于B：越接近于，則，之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近于，則，之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越弱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明波動(dòng)越小，即模型的擬合精度越高，故C正確；對(duì)于D：若增加的樣本點(diǎn)恰好為原回歸直線(xiàn)的樣本中心點(diǎn)時(shí)，則增加該樣本點(diǎn)后，回歸方程不會(huì)發(fā)生改變，故D正確.故選：ACD11.若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.0 B. C. D.1【答案】AB【解析】關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，令，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有實(shí)數(shù)解，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，要使不等式有實(shí)數(shù)解，則，即，結(jié)合選項(xiàng)可知只有A、B符合題意.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】因?yàn)椋郑裕?故答案為：13.某果農(nóng)計(jì)劃在A，B，C，D這4個(gè)地塊上種植2種不同的果樹(shù)，每個(gè)地塊只種植一種果樹(shù)，有蘋(píng)果、梨、桃子、杏4種果樹(shù)可供選擇，則不同的種植方案數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】先選兩種果樹(shù)有種方案，然后每塊地有2種選擇，所以不同的種植方案有種植方案.故答案為：84.14.已知數(shù)列an滿(mǎn)足，且，，若，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和最小時(shí)，______.【答案】5或7【解析】由，可得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以，則，由，解得，所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和最小時(shí)，或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的圖象在處的切線(xiàn)方程；（2）若圖象上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率都大于a，求a的取值范圍.解：（1），則，又，所以切線(xiàn)方程為，即.（2）設(shè)圖象上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,fx1，x則，整理得，令，則單調(diào)遞增，恒成立，即，所以的取值范圍為.16.如圖，在三棱柱中，，，兩兩垂直，，，，D為的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.（1）求證：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.解：（1）依題意可得A0,0,0，B1,0,0，，，，，，則，，所以，所以；（2）因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.17.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，為原點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在上，，且的面積為.（1）求的方程；（2）若，是上與不重合兩動(dòng)點(diǎn)，且，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).解：（1）由題可得，由，可得的橫坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)，則，所以，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為（2）由(1)可得：，，顯然直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，所以，聯(lián)立方程，可得：，所以，即，，，因?yàn)椋裕瑒t，化簡(jiǎn)得：，則，所以，解得：，或，當(dāng)時(shí)，即，且，所以，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，即，且，所以，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)為，即點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意，舍去；綜上：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)為18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若,函數(shù)