6按照熱力學的定義，熱是一種傳遞中的能量。傳遞中的能量不外乎是處于無序熱和有序狀態的功。實際的傳遞過程常常發生在能量系統處于不平對于一個不可壓縮的熱力學系統，溫度的高低就反映了系統能量狀態的高低和單位質量系統內熱能（或稱熱力學能，簡稱內能）或焓的多少。熱力學第二定律告訴我們，能量總是自發地從高能級狀態向低能級狀態傳遞和遷移。因此，熱的傳遞和遷移就會發生在熱系統然界的物體和系統，當將其視為一個熱力學系統時，他們常常是處于不平衡的能量狀態之一個物體的加熱過程可以視為一個熱力學過程，熱力學可以根據能量一系統最終達到的平衡溫度，以及初始狀態和最終狀態之間的能量變化，而傳熱學則是基于物質傳遞熱量的機理，研究該物體在達到平衡以前的任何時刻、任意位置的溫度變從以上的分析可知，傳熱學是研究熱量傳遞規律的科學。它分析各種具體是如何進行的，探求工程及自然現象中熱量傳遞過程的物理本質，發現各種熱現象的傳輸機理，建立能量輸運過程的數學模型，分析計算傳熱系統的溫度和熱流水平，揭示熱量傳遞的具體規律。在一些較為復雜的場合，則通過計算機模擬加熱爐、熔化爐的熱力設計；汽車與船用熱力發動機的工作過程和設計；機械加工中的熱變形與熱應力的控制和預測；激光成型過程中的傳熱問題；機械電子器件中的熱設計；材干燥和冷卻問題；環境工程中的傳熱傳質及流體流動問題；航空和航天技術中的傳熱與流動問題等，都必須用傳熱學的理論去分析，用傳熱學的計算方法去處理。因此，學習傳熱學，掌握熱量傳遞過程的基本理論和研究方法，提高分析和處理傳熱問題的能力必然是工傳熱學要分析和處理的具體問題很多，但歸納起來有兩個大類型。一類是確定在任意時刻物體系統內的溫度分布，從而了解系統的特性以便于進行溫度和熱流的調整與控制及其進行其它的計算，如物體熱應力、熱變形計算。另一類是計算和傳熱；為了減少熱設備散熱，節約能源，必須削弱傳熱。因此，在給定條件下計算溫度分7Q移的情況下，熱量會從物體的高溫部分傳到低溫部分；此外，不同溫度的物體互相接觸時，熱量也會在相互沒有物質轉移的情況下，從高溫物體傳遞到低溫物體。這樣一種熱量傳遞的方式被稱為熱傳導或簡稱為導熱（從Qt2Ax0Ax0在熱傳導問題的研究中，畢歐（Boit）在對平板導通過垂直于平板方向上的熱流量正比于平板兩側的式中，Q為單位時間沿x方向傳導的熱量，稱為熱流量，單位為W；A為垂直于x方向的導熱面積，單位為m2；t1?t2為大平板兩表面之間的溫差，單位為℃（或Kλ為相應的單位是W/(m.oC)。上式亦可表示為如下形式，式中，?t/?n稱為溫度梯度，負號表示熱流密度的方向與溫度梯度的方向相反。式（1-3）2熱對流與對流換熱流體中溫度不同的各部分流體之間，由于發生相對運動而把熱量由一處帶到另熱現象稱為熱對流，這是一種借助于流體宏觀位移而實現的熱量傳遞過程。實際上流體在進行熱對流的同時熱量的傳導過程也在同時發生。因此，發生在流動介質中的熱量傳遞是熱傳導與熱對流的綜合過程。工程上還經常遇到流體與溫度不同的固體壁面接觸時的熱量交換的情況，這種熱量的傳遞過程稱為對流換熱。由于單一的熱對w8式中，tw是物體表面的溫度；t∞是流體的溫度；u∞u∞3熱輻射物質的微觀粒子（分子、原子和電子等）的運動會以光的形式向外輻射能量，我們稱之為電磁輻射。電磁輻射的波長范圍很廣，從長達數百米的無線電波到小于10-14米的宇宙射線。這些射線不僅產生的原因各不相同，而且性質也各異，由此圍繞輻射過程也就構成了廣泛的科學和技術領域。這里我們僅僅對由物質的熱運動（即無序運動）而產生的電磁輻射，以及因這些電磁輻射投射到物體上而引起的熱效應感興趣。我們把這一部分電磁輻射稱為熱輻射。凡是溫度高于0[K]的物體都有向外發射熱射線的能力。物體的溫度越高，一個理想的輻射和吸收能量的物體被稱為黑體。黑體向周圍空間發射出去的式中，Q為黑體發射的輻射能；A為物體的輻射表面積，T為絕對溫度，K；σ0為斯蒂芬-式（1-5）是斯蒂芬-玻爾茲曼(Stefen-Boltzmann)定律的一種形式，又稱為輻射四次方定律，是計算熱輻射的基礎。實際物體發射的輻射能可以用輻射四次方定律的經驗Q=εAσ0T4，自然界中的所有物體都在不斷的向周圍空間發射輻射能，與此同時，又在不斷地吸收來自周圍空間其它物體的輻射能，兩者之間的差額就是物體之間的輻射換熱量。物體表面之間以輻射方式進行的A1T1QQA2T29熱交換過程我們稱之為輻射換熱。對于兩個相距很近的黑體表面，由于一個表面發射工業生產中所遇到的許多實際熱交換過程常常是熱介質將熱量先傳給換熱表換熱表面的導熱再傳給冷介質。這種經由熱流體通過固體壁面把熱量傳給冷流體的數，W/(m2.oC)，是一個表征傳熱過程強烈程度的物理溫煙氣和灼熱爐料的熱量，通過爐襯和爐外殼傳到爐外空氣，這個過程就屬于一個典型的傳熱過程。設工業爐爐內的煙氣溫度為tf1，爐外的空氣溫度為tf2，傳熱溫差任何一種物理量都有它的量綱及其計量單位。由于工程技術中要測量的物理量很當選用某幾種量綱作為基本量綱，并且選擇了基本量綱的單位時，就有了相應的一些導出中相應的單位值?？梢姡瑑烧叩臄抵祵儆谕籔111μ111υα111c111QW111q111λ11αk112夏季在溫度為20oC的室內，穿單衣感到舒適，而冬季在同樣溫度的室3冬天,在太陽下曬過的棉被,晚上睡覺時蓋上1-7宇宙空間可近視看作溫度為0[K]的真空空間。一航天器在太空中飛行，其外表面平均溫度為1-8有兩理想的黑體表面，其相對位置使得由溫度為800oC表面輻射出的能量全部到達溫度維持在（1）標準煤的發熱值為7000kcal/kg2）0oC干空氣的導熱系數為0.02Kcal/(m.h.從本章開始將討論三種熱量傳遞方式的基本規律。分析傳熱問題基本上是遵循經典力學的研究方法，即針對物理現象建立物理模型，而后從基本定律導的理論分析方法。采用這種理論方法，我們就能夠達到預測傳熱系統的溫度分熱傳導問題是傳熱學中最易于采用上述方法處理的熱傳遞方式。因此，在這一章中我們能夠針對熱傳導系統利用能量守恒定律和傅立葉定律建立起相應問題的關鍵之一是得到所討論對象的溫度場，由溫度場進而可以得到某一點的溫度場是個數量場，可以用一個數量函數來表示。一般說，溫度場是空間t=f(x,y,z,τ)(2-1)依照溫度分布是否隨時間而變，可將溫度場分為穩態溫度場和非穩態溫度場。穩態溫度場指穩態情況下的溫度場，這時物體中各點溫度不隨時間改變，t=f(x,y,z)非穩態溫度場是指變動工作條件下的溫度場，這時物體中各點溫度分布隨時間改變。非穩態溫度場中的導熱稱為非穩態導熱，其溫度對時間的偏導數不x同一瞬間溫度場中溫度相同的點連成的線或面稱為等溫線或等溫面。在三維情況下可以畫出物體中的等溫面，而等溫面上的任何一條線都是等溫線。在二維情況下等溫面則變為等溫曲線。x由于同一時刻物體中任一點不可能具有兩個溫度值，因此不同的等溫線或等溫面不可能相交。等溫線要么形成一個封閉的曲線，要么終止溫度的變化率沿不同的方向一般是不同的，如圖2-1所示。溫度沿某一的變化率在數學上可以用該方向上溫度對坐標的偏在各個不同方向的溫度變化率中，有一個方向的變化率是最大的，這個方向是等溫線或等溫面的法線方向。在數學上用矢量—梯度來表示這個方向的變溫度梯度是矢量,其方向為沿等溫面的法線指 其中分別為溫度對x,y,z方向的偏導數；i,j,k分別為x,y,z方▽(2-5)gradt=▽t由第一章可知，當物體內部存在溫度梯度時，能量就會通過熱傳導從溫度高的區域傳遞到溫度低的區域。熱流密度定義為單位時間通過單位面積的熱流度變化率成正比。熱流密度也是矢量，其方向指向溫度降低的方向，因而和溫由于熱流密度方向與等溫線的法線方向總是處在同一條直線上，故熱流線和等溫線是相互正交的。應該指出，如上形式的傅里葉定律只適用于各向同性材料，這時，不同方向上的導熱系數是相同的。而對各向異性材料，導熱系數隨選定的方向不同而不同。各向異性材料中的傅里葉定律導熱系數（即熱導率）是出現在傅里葉定律中的比例常數，它表示物質導絕大多數材料的導熱系數都是根據上式平板的熱流量與平板兩側溫度和平板厚度之Φt1t2δx若通過實驗測出了流過平板的熱流量、平板兩側溫度和平板厚度，則材料從微觀角度看，氣體導熱、固體導熱和液體導熱在機理上是不同的。按照熱力學的觀點，溫度是物體微觀粒子平均動能大小的標志，溫度愈高，微觀粒子的平均動能愈大。當物體內部或相互接觸的物體表面之間存在溫差時，高溫處的微觀粒子就會通過運動（位移、振動）或碰撞將熱量傳向低溫處。例如氣體中分子、原子的不規則熱運動或碰撞；金屬中自由電子的運動；非金屬中晶格的振動等等。所以，氣體導熱是分子不規則熱運動時相互碰撞的結果。固體導熱可分為導電固體和非導電固體兩種情況。對導電固體，自由電子在晶格之間像氣體分子那樣運動而傳遞能量。對于非導電固體，能量的傳遞依賴于晶格結構的振動，即原子、分子在平衡位置附近的振動。液體的導熱機理在定性上類似于氣體，但比氣體的情況要復雜得多，這時分子的距離更近，分子力場對碰撞引起的能量傳遞有強烈的影響。也有的觀點認為液體導熱的機理類似于非導熱系數是物質的固有特性之一。影響導熱系數因素主要有物質的種類， 物質所處的溫度和壓力，與材料的幾何形狀沒有關系。在—般工程應用的壓力4]，工程上常用材料在特定溫度下的熱導系數見書后附錄。特殊材料或者特殊一般說來，金屬材料的導熱系數比非金屬的導熱系數要大得多。導電性能的導熱系數大于其合金的導熱系數。這主要是由于合金中的雜質(或其它金屬)破壞了晶格的結構,并且阻礙自由電子的運動；例如，純銅在20℃溫度下的導例如同樣是在溫度為0℃條件下,冰的導為0.551W/(m.K),而水蒸氣圖2-3所示是一些物質的導材料的導熱系數對溫度的依變關式中λ0為材料在0℃下的導導熱系數小于某一界定值的材料稱為保溫材料或絕熱材料或時導熱系數小于0.12W/(m由前面的分析可知，若知道了溫度梯度，就可以由傅里葉定律求出熱流密度。故獲得溫度場是求解導熱問題的關鍵。導熱微分方程是用數學方法描述導熱溫度場的一般性規律的方程，很多問題都可以通過求解微分方程而得到有效將熱力學基本定律—能量守恒定律和導熱基本定律—傅里葉定律應用于微元控制體，可建立導熱微分方程。為了使分析簡化,內熱源強度（即單位時間、單位.體積的生成熱）記作Φ,單位為參考圖2-4所示的微元平行outyz(2-13)y+dyz+dz(2-14) 這是導熱微分方程的一般形式。等號左邊是單位時間內微元體熱力學能的增量，通常稱為非穩態項；右邊的前三項是擴散項，是由導熱引起，最后一項a值可由較大的λ值或較小的ρc值得到。λ越大，單位溫度梯度導入的熱量就▽(2-23)式中,▽2是拉普拉斯算子,在直角坐標系中z)比較方便,如圖2-5所示。采用和直角坐標系相同的方法, zt(r,?,z)xyxx?r?zrrθyy??上面導出的導熱微分方程是描寫物體的溫度隨空間坐標及時間變化的一般性關系式，它是在一定的假設條件下根據微元體在導熱過程中的能量守恒和傅了導熱微分方程之外,還必須說明導熱過程的具體特點,即給出導熱微分方程的單值性條件或定解條件，使導熱微分方程具有唯一解。如必須給出所討論對象的幾何形狀和尺寸，物性參數等條件。更重要的是，定解條件必須給出時間條件和邊界條件。導熱微分方程與定解條件一起構成了具體導熱過程的數學描時間條件用來說明導熱過程進行的時間上的特點,例如是穩態導熱還是非穩態導熱。對于非穩態導熱過程，必須給出過程開始時物體內部的溫度分布規T?τ=0=f(x,y,z)(2-30)邊界條件用來說明導熱物體邊界上的熱狀態以及與周圍環境之間的相互作用,例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及物體通過邊界與周圍環境之間的熱tw=f(x,y,z,τ)(2-31)tw=f(x,y,z,τ)(2-32)應該等于從邊界面傳給周圍流體的熱流密度，于是由傅里葉定律和牛頓冷卻公該式建立了物體內部溫度在邊界處的變化率與邊界處表面對流傳熱 從第三類邊界條件表達式可以看出,在一定的情況下,第三類邊界條件將邊界處除了對流換熱還存在與周圍環境之間的輻射換熱,則由物體邊界面的熱界面和周圍環境溫度的四次方有關，此外，還與物體邊界面與周圍環境的輻射特性有關，所以上式是溫度的復雜函數。這種對流換熱與輻射換熱疊加的復合換熱邊界條件是非線性的邊界條件。本書主要討論具有線性邊界條件的導熱問綜上所述，對一個具體導熱過程完整的數學描述，應該包括導熱微分方程和定解條件兩個方面。在建立數學模型的過程中，應該根據導熱過程的特點，進行合理的簡化，力求能夠比較真實地描述所研究的導熱問題。對數學模型進行求解,就可以得到物體的溫度場,進而根據傅里葉定律就可以確定相應的熱數值解法和實驗方法，這也是求解所有傳熱學問題的三種基本方法。本章主要現在討論第一類邊界條件下通過大平壁的導熱問題。當平壁的邊長比厚度大很多時，平壁的導熱可以近似地作為一維穩態導熱處理。已知平平壁的溫度分布和通過平壁的熱流密度。假設導t1δx2c21由此可知，平壁中的溫度分布是線性的，溫度梯度為常數，表明熱流密度2)只要任意知道三個就可以求出第四個。由此可設計穩態法測量導熱系數的實驗。在穩態情況下采用平壁法測量導熱系數時，對于已知截面積A和厚度δ的平壁，需量這一溫差Δt和通過平壁的熱流量Φ,由式(2-38)可得出材料的導熱系數為： 在日常生活與工程上,經常遇到由幾層不同材料組成的多層平壁,例如,房用于隔熱的夾氣層或保溫層以及普通磚砌的外墻構成,大型鍋爐還外包一層鋼板。當這種多層平壁的表面溫度均勻不變時，其導熱也是一維穩態導熱。有了熱阻概念，就可以很方便地計算多層平壁的導熱，每一層可當作一個熱阻，若t1t2t3t1t2t3t4t1上面的討論假定導熱系數是常數。若導熱系數是溫度的線性函數，即2)/2] 上面在分析多層平壁的導熱時，都假設層與層之間接觸非常緊密，相互接觸的表面具有相同的溫度。實際上，無論固體表面看上去多么光滑，都不是一個理想的平整表面，總存在一定的粗糙度。實際的兩個固體表面之間不可能完全接觸，只能是局部的、甚至存在點接觸，如圖2-由于氣體的熱導率遠遠小于固體,就會對兩個固體間的導熱過程產生附加熱阻Rc，稱之為接觸熱阻。由于接觸熱阻的存在，使導熱過程中兩個接觸表面之間就愈大。對于高熱流密度場合，接觸熱阻的影響不容忽視，例如大功率可控硅元件，熱流密阻產生較大的溫差，影響可控硅元件的散熱，(1)相互接觸的物體表面的粗糙度：粗糙(2)相互接觸的物體表面的硬度：在其它條件相同的情況下，兩個都比較堅硬的表面之間接觸面積較小，因此接觸熱阻較大，而兩個硬度較小或者一個(3)相互接觸的物體表面之間的壓力：顯然，加大壓力會使兩個物體直接在工程上，為了減小接觸熱阻，除了盡可能拋光接觸表面、加大接觸壓力之外，有時在接觸表面之間加一層熱導率數大、硬度又很小的純銅箔或銀箔，由于接觸熱阻的影響因素非常復雜，至今仍無統一的規律可循，只能通過溫度t1=500℃,外壁溫度t2=50℃,求爐墻單位面積、單位時間的熱損失。W/(m.K)。如果測得冬季室內外玻璃表面溫度分別為15℃和5℃,試求玻璃窗的散熱損失，現在討論第一類邊界條件下通過圓筒壁的導熱問題。當圓筒的長度比半徑大很多時，圓筒壁的導熱也可以近似地作為沿半徑方向一維穩態導熱處理。參圓筒壁的熱流密度。采用圓柱坐標系，假設導熱系數λ為常數，由式(2-27)，穩 11lnr2由于不同半徑處圓筒有不同的截面積，從而通過圓筒壁的熱流密度在不同λW/(m.K)，管內壁面溫度為tw1=300℃,保溫層外壁面溫度為tw3=50℃。試求單位管長的散定律直接積分也可以得到相同的結一維問題的一個重要特點是熱流量x1x2x1x2x 或是所考慮溫度區間導熱系數的平均值。故最終得通過這一變截面物體的熱流量前面討論的都是無內熱源的一維穩態導熱問題。在工程應用中，也經常遇到有內熱源的導熱問題，如電流通過導體時的發熱、化工過程中的放熱和吸熱反應、反應堆中燃料元件的核反應熱等等。在有內熱源時，即使是一維穩態導熱，熱流量沿傳熱方向也是不斷變化的，微分方程中必hfhf.Φδδδxo將x=0的邊界條件代入上式可得c1=0。再將c1=由結果可知，具有均勻內熱源的平壁溫度分布為拋物線，上面我們分析的是第三類邊界條件下的結果，當h→∞時，tf→tw，這時第三類邊界條件變為第一類邊界條件。在式(2-54)中令h .w(2-58).12(2-62)w-t∞) 如第一章所述，傳熱工程包含串聯著的三個環節常遇到其中一個對流環節熱阻較大，強化這個環節的加整個傳熱過程的傳熱量非常重要。由牛頓冷卻公式肋片是依附于基礎表面上的擴展表面。肋片能夠強化傳熱有兩個原因，一是擴展表面增加了傳熱面積，二是擴展表面的存在破壞了對流邊界層，增加了子整體軋制或纏繞、嵌套金屬薄片并經加工制成，加工的方法有焊接、浸鍍或肋片導熱和平壁及圓筒壁的導熱有很大的區別，其基本特征是在肋片伸展的方向上有表面的對流換熱及輻射換熱，因而熱流量沿傳遞方向不斷變化。另外，肋片表面的所傳遞的熱量都來自（或進入）肋片根部，即肋片與基礎表面的相交面。我們分析肋片導熱的目的是要得到肋片的溫度分布和通過肋片的熱 x+dxs(2-64)0另一邊界條件取決于肋片端部x=H處的條件，有如下三種可能：相比之下，第三情況假定肋片端部絕熱的結果最實用，得出的結果相對簡單。由于肋片端部面積較小，這一假定所帶來的誤差不大。先由邊界條件確定2emH?c2e?mH現在來計算肋片表面的傳熱量，從肋片的結構可知，由肋片表面散入外界 為了表征肋片散熱的有效程度，經常要用到肋效率的概念。肋效率ηf定義ηf= 在上面的分析中假設肋端面的散熱量為零，這對于工程中采用的大多數薄而高的肋片來說，用上述公式進行計算已足夠精確。如果必須考慮肋端面的散想肋高H′=H+δ/2代替實際肋高H。 故鋼板中心溫度為：t=22.39+20端點鑲嵌在套管的端部，如圖2-18所示。套管長度為200℃,套管根部的溫度t0=50℃,套管外表面與空氣之間對流換熱的表面傳熱系數為h=40W/(m2.[解]由于熱電偶是鑲嵌在套管的端部，所以熱電偶指示不等于空氣的溫度，測溫誤差就是套管端部的過余溫度θHt∞熱系數。由于cosh(x)是增函數，mH越大，則測溫誤差越小。因此，要減小測溫誤前面一節我們分析了簡單的一維穩態導熱問題，對于多維穩態導熱問題，分析解法要困難得多，只有對少數幾何形狀、邊界條件簡單情況，才能獲得分析解，得出溫度分布和熱流密度等。對于多維導熱問題，有三種可能的求解方法，即分析解法、數值解法和形狀因子法。當無法得出分析解時，可采用數值解法，借助計算機求得問題的解。第三種方法是形狀因子法。本節我們先簡單介紹二維穩態導熱問題的分析解，然后介紹求解多維穩態導熱的形狀因子法。 yt=f(x)ybt1bt11t11ax1msin(πx/a)θ(x,y)=X(x)Y(y)(2-77) yt2ybt1bt1x這些熱流量的計算式有個共同的特點，即兩個等溫面間導熱熱流量可以表2)S=A/δ對二維或三維導熱問題，理論分析表明形狀因子仍然適用。形狀因子和熱對許多常見的工程問題，已通過分析解或數值解得出了其形狀因子，匯總成表。表2-1給出了幾種幾何條件下的形狀因半無限大物體表面與水平埋管表半無限大物體表面與垂直埋管表管道表面與偏心熱絕緣層表面之無限大物體中兩圓管表面之間的 面和絕熱層外表面的溫度相同，試問兩管每米管長30℃。為了使墻的散熱不超過1830W/m2，計劃給墻加一保溫層，所使用材料的導熱系數為2-2在如圖所示的平板導熱系數測定裝置中，試t2t22-3厚度為50mm的銅板，一個側面溫度為為0.166W/(m.K)）和60mm厚的纖維玻璃（導+βt2)。對以這種材料做成的大平壁，在第一類邊界側面覆蓋有相同的保溫層，保溫層兩外側分別和冷熱流體進行對流換熱。若冷熱流體的溫差為60℃,系統的總熱阻為0.008為32W/(m.K)，已知管道的內外壁溫度分別為64和42℃,求單位管長的散熱損失。為250℃,外壁覆蓋有兩層保溫層，內保溫層厚45mm，導熱系數為0.25W/m.K，外保溫層0.12W/m.K。若保溫層外側流體溫度為20℃,表面傳熱系數為15W/(m2.K)，求單位管長的溫度為20℃,表面傳熱系數為20W/(m2.K)，求單位管長的散熱損失。10-3m3/m。試分析如何敷設這兩種材料才能達到上述要求。假設敷設這兩種材料2-16一鋁制空心球，內徑為40mm，外徑為80mm，內外壁溫度分別為100℃,外壁[9]SchneiderPJ.Conduction;In:RohsenowWM,et1非穩態導熱過程及其特點今有一無限大平板，突然放入加熱爐中加熱，平板受爐內煙氣環境的加熱作用，其溫度就會從平板表面向平板中心隨時間逐漸升高，其內能也逐漸增加，同時伴隨著熱隨著時間τ的增加平板溫度開始變化，并向板中心發展，而度拉平，非穩態導熱過程結束。圖中溫度分布曲線是用相同的Δτ來描繪的?？傊诜欠€態導熱過程中物體內的溫度和熱流都是在不斷的變化，而且都是一個不斷地從非穩2加熱或冷卻過程的兩個重要階段tαxx0體整個的溫度分布。只有物體中心的溫度開始變化之后(如圖中τ>τ2之后)布t=t0的影響才會消失，其后的溫度分布就是一條光滑連續的曲線。據此，我們可以把3邊界條件對導熱系統溫度分布的影響在整個過程中都一直在起作用。因此，分析一下非穩態導熱過程的邊界條件是十分重要照傳熱關系式作一個近似的分析，就可得出如下結論。曲線（a）表示平板外環境的換熱熱阻1α遠大于平板內的導熱熱阻δλ,即1α>>δλ。從曲線上看，物體內部的溫度幾乎是均勻的，這也就說物體的溫度場僅僅是時間的函數，而與空間坐標無關。我們稱這樣的非穩態導熱系統為集總參數系統（一個等溫系統或物當于平板內的導熱熱阻δλ,小于平板內的導熱熱阻δλ,即1α<<δλ。從曲線上看，物體內部溫度變化比較大，而環境與物體邊界幾乎無溫差，此時可用認為t∞=么，邊界條件就變成了第一類邊界條件，即給定把導熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個無因)0xx1無限大平板加熱（冷卻）過程分析及線算圖00tpt0xxx0上面定義的無因次時間Fo我們稱之為傅里葉準則非穩態導熱的計算問題。由海斯勒(Heisler)制成的線算圖為一套三圖，能求解一維導熱溫度場和熱流場。具體做法是將無因次溫度改為3-3次厚度的函數。再定義無因次熱量,它也是畢歐數），（a）對于由時間求溫度的步驟為，計算Bi數、Fo數和，從圖3例3-1一塊初始溫度to＝250℃、厚度2l＝5cm，導熱系數λ=215W/（m.℃),熱擴散率α=8.4×10-5m2/s，密度ρ=2700kg/m2，比熱容cp=900J/（kg℃)的鋁板，將其突然置入30℃的冷水中冷卻。若表明總換熱系數α=350W/（m2.℃),試求5分鐘后板中心的溫度以J/m2J/m2]2無限長圓柱體和球體的加熱（冷卻）過程分析及線算圖Bi=αr0λ,Fo=aτ/r02(注意特征尺寸r0與大平板δ t∞∞p0r0r））.中液體溫度為38℃。若軸表明的總換熱系數為α=170W/（m2.℃),,試計算軸心溫度達到115℃所需那么軸心溫度達115°C時的時間為又由從圖3－9中查出即解得軸表面溫度tw=91.9[℃]由熱平衡從而得到溫度變化率t0rr一節中我們將就幾種幾何結構簡單的物體的多維非穩態導熱問題在分析的基礎上采用一應用上面討論的海斯勒線算圖可以求塊或者長度不比半徑大多少的短圓柱，能利用上面的一維非穩態導熱線算圖來進行求解呢？下面用一個無限長矩形柱為例y21如果假定θ(x,y,τ)=θx(x,維非穩態導熱問題的解可以用兩個導熱方向相互垂直的一維非穩態導熱問題解的乘積來下標p1和p2分別表示兩個坐標方向上大平板01012yzxyxxRr0rxr0的一面置于爐子底面上。長桿表明與高溫流體的總換熱系數為114W/（m2.℃),根據工藝要求，要加熱到580℃以上才能消除應力，試說明加熱1小時后能否滿足工藝要求？桿的λ=35W/（m.℃),α=∞=1020℃,換熱系數α=233W/（m2.℃)。鋼圓柱的初溫to∞=1020℃,換熱系數α=233W/（m2.℃)。鋼圓柱的初溫to＝20℃,tλ=170W/（m.℃),ρ=7800kg/m3，c＝712J/（kg.℃)。α查圖得于在第一節中已經指出，當物體系統的外熱阻遠大于它的內熱阻(即1/α.>>δ/λ)時，相對的概念，是由系統的內、外熱阻的相對1集總系統的能量平衡方程和溫度分布關系為：內熱能隨時間的變化率ΔΕ=通過表面與外界交換的熱流量Qc，于是熱平衡方程τ=0，t=t0.A02時間常數注意公式3-16，不難看出具有時間的量綱，即因次，稱為系統的時間常數，記為τs，也稱弛豫時間。它反映了系統處于一定的環境中所表現出來的傳熱動態特征，與其 表明物體與環境之間時，表明物體與環境之3集總參數系統的判定01s前面已經指出環境與系統之間的外熱阻遠大于系統的內熱阻時系統可視為集總參數系內部溫差小于5%，近似認為是一個集總參數系統。如果以此為標準如何去判定具有長度的因次，稱為集總參數系統的特征尺寸，記為L對于直徑為2r的長圓柱體VA＝r02,按那么對于其它形狀的任何物體，其修正系數應在1→1/34熱流量計算由系統的熱平衡，任一時刻系統所傳遞的熱流量為將溫度分布對時間或分離變量得積分得到或以及例3-10厚度為2mm的鋁板，初始溫度為200℃,突然將它置于20℃的環境中冷卻。冷卻時表面的水銀泡維持18℃。護士將體溫計插入病人口中，水銀泡表面的當量換熱系數α=100W/（m2.℃)。如果測溫溫差要求不超過0.2℃,求體溫計插入病人口中后，至少要多少時間才能將體溫計從體溫為40℃的病人口中取出。水銀泡的當量物性值為：ρ=8000kg/m3，c＝430J/（kg.℃)。系統的溫度分布為,代入已知數據有：中，5分鐘后紫銅棒溫度降到34℃,試計算此時空氣和紫銅棒之間的換熱系數。已知紫銅棒的物性,兩邊取對數得解出f。2什么叫非穩態導熱的正規狀況階段或充分發展階段?這一階段在物理數學處理上有些什5什么是非穩態導熱問題的乘積解法，6什么是"半無限大"的物體?半無限大物體的非穩態導熱存7本章的討論都是對物性為常數的情形作出的，對物性是溫度函數的情形，你認9在用熱電偶測定氣流的非穩態溫度場時，怎樣才能改善熱依次為170×10-6m2/s、103×10-6m2/s、12.9×10-流體與各表面間的表面傳熱系數均可視為無限大。已知板B中心點的過余溫度下降到初值的一半需要20min，問A板達到同樣溫度工況需多少時間?3-5一截面尺寸為l0cm×5cm的長鋼棒(18-20Cr/8-12Ni)，初始溫度為20℃,然后長邊的一側突然中，氣流與兩端面間的表面傳熱系數均為50W/(m2·K)。圓柱體導熱系數λ=2OW/(m·K)，熱擴散率3-7有一航天器，重返大氣層時殼體表面溫度為l000℃,隨即落入溫度為5℃的海洋中。設海水與內。為了加速升溫過程，每塊瓷磚被分散地扔在墻旁。設此時瓷磚兩面與室內環境的換熱系數為3-9汽輪機在啟動一段時間后，如果蒸汽速度保持勻速上升，則汽缸壁3-10一塊厚300mm的板狀鋼坯(含碳近似為O.5%)的初溫為20℃,送入溫度為l200℃的爐子里單側后平板中間截面上的溫度，并與海斯勒圖相比較。又，如取級數的前四項來計2問塑料棒應在加熱爐內加熱到多高溫度(℃)才能滿足在緒論中已經指出，對流換熱是發生在流體和與之接觸的固體壁面之間的熱量傳遞過程，是屬于發生在流體中的熱量傳遞過程，有著廣泛的工程應用領本章簡述對流換熱過程的基本原理，介紹確定表面傳熱系數h首先，將質量守恒、動量守恒和能量守恒的基本定律與斯托克斯粘性定律和傅里葉熱傳導定律相結合，并應用于流體系統，導出支配流體速度場和溫度場的控制方程，即對流換熱微分方程組。其次，運用相似理論及量綱分析方法對換熱過程的參數進行歸類處理，將物性量，幾何量和過程量按物理過程的特征組合成無量綱數，以減少所研究問題的變量數目，給求解對流換熱問題帶來較大的方便；并介紹通過方程的無量綱化和實驗研究而得到常用準則及準則關系式的方法。再次，引入邊界層的概念，對完全的對流換熱微分方程組進行簡對流換熱是發生在流體和與之接觸的固體壁面之間的熱量傳遞過程，是宏觀的熱對流與微觀的熱傳導的綜合傳熱過程。由于涉及流體的運動使熱量的傳遞過程變得較為復雜，分析處理較為困難。因此，在對流換熱過程的研究和應用上，實驗和數值分析的處理方法是常常采用的。下面我們以簡單的對流換熱流溫度t∞流過一個溫度為tw的固體壁面的流動換熱問題。這里選取流體沿壁面流動的方向為x坐標、垂直壁面方向為y坐標。由于固體壁面對流體分子的吸附作用，使得壁面上的流體是處于不流動或T∞yy0xTwx狀態，因而使流體速度從壁面上的零速度值逐步變化到來流的速度值。同時，），由于對流換熱是發生在流體和固體界面上的熱交換過程，流體的流動和固體壁面的幾何形狀以及相互接觸的方式都會不同程度影響對流熱交換的效果，系統性，以及更便于把握對流換熱過程的實質，我們按不同的方式將對流換熱按流體在換熱中是否發生相變或存在多相的情況可分為單相流體對流換熱對于實際的對流換熱過程的，按照上述的分類，總是可以將其歸入相應的可以為層流亦可為紊流，也可以有相變發生，使之從單相流動變為多相流動；再如，豎直的熱平板在空氣中冷卻過程是屬于外部自然對流換熱（或稱大空間），相流體換熱；但是如果是在飽和水中則會發生沸騰換熱，這就是帶有相變的多 在緒論中提到對流換熱的熱流密度可以按照牛頓冷卻公式來計算，即qcw∞)，式中的h稱表面傳熱系數(亦稱對流換熱系數)，其單位是W/(m2.K)。采用這樣的書寫形式是為了使熱流的方向與流體溫度的降落方向析一下這個公式，就不難看出該式只不過是定義了一個表面傳熱系數而已，并不能直接去解決對流換熱問題。但是，利用這個定義的直接好處是，把研究復雜對流換熱問題集中到研究和確定表面傳熱系數上，使復雜問題從形式上得到簡化；同時，由于表面傳熱系數是表示單位時間單位換熱面積在單位溫度差下的換熱量，因而可以用來衡量各種對流換熱過程換熱性能的差異，這也就是表面已經提到，壁面上的流體分子層由于受到固體壁面的吸附是處于不滑移的狀態，其流速應為零，那么通過它的熱流量只能依靠導熱的方式傳遞。由傅里葉流體層傳導的熱流量最終是以對流換熱的方式傳遞到流體中去的，因而有w公式，也確定了表面傳熱系數與流體溫度場之間的關系。它清晰地告訴我們：要求解一個對流換熱問題，獲得該問題的表面傳熱系數或交換的熱流量，就必須首先獲得流場的溫度分布，即溫度場，然后確定壁面上的溫度梯度，最后計算出在參考溫差下的表面傳熱系數。因此，對流換熱問題猶如導熱問題一樣，尋找流體系統的溫度場的支配方程，并力圖求解方程而獲得溫度場是處理對流換熱問題的主要工作。由于流體系統中流體的運動影響著流場的溫度分布，因程也必須找出，并加以求解。不幸的是，對于較為復雜的對流換熱問題，在建立了流場方程之后，分析求解幾乎是不可能的。此時，實驗求解和數值求解是常常被采用的。盡管如此，實驗關系式的形式及準則的確定還是建立在場方程下面我們將針對一個對流換熱過程的流場從質量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律出發結合傅里葉(Fourier)導熱定律和斯托克斯(Stokes)粘性定律對流換熱過程是流體中的熱量傳遞過程，涉及流體運動造成的熱量的攜帶密切相關。要確立溫度場和速度場就必須找出支配方程組，它們應該是，從質量守恒定律導出的連續性方程、從動量守恒定律導出的動量微分方程和從能量守恒定律導出的能量微分方程。從一般意義上講，推導這些方程應該盡量少的限制性條件，但是為了突出方程推導的物理實質而又不失一般性，這里選取二=微元體質量隨時間的變化率ρ(υ+dy)dx.1yyx 從y方向進入微元體的質量流量為ρυdx.1，流出質則為流體的運動應服從動量守恒定律，對于我們所研究的二維不可壓縮流場，微元體dxdy.1的動量平衡關系應為：微元體內動量隨時間的改變量=和y兩個方向上的動量分量。由圖4-3可見，從x方向進入微元體質量流量在x方向上的動量為ρudy.1.u，而從x方向流出微元體的質量流量在x方向上的動量則為同時注意到，從y方向進入元體的質量流量在x方向上的動量為把進入微元體的動量流量減去離開元體的動量流量，結果就是x方向上的動量yudyudxυx同理，導出y方向上的動量改變量體積力是由于重力場、電場或磁場作用于微元體上的結果。為了分析上的便利和簡明，設定單位體積流體的體積力為F，那么相應在x和y方向上的分量分別為Fx和Fy。于是作用于微元體上的體積力在x方向為：而在y方向為：Fydxdy.1表面力是作用于微元體表面上的力。通常用作用于單位表面積上的力來表示，稱之為應力。由于力作用的表面和作用力本身均為矢量，那么應力應該是一個二階張量。在物理空間中面矢量和力矢量各自有三個相互獨立的分量（和 ydy ydyx式中τij,i=1,2,3;j=1,2,3為應力張量，下標i表示作用面的方向,下標j則表示作用力的方向。通常將作用力和作用面方向一致的應力分量稱為正應力，而不一方向一致τxy為作用于x表面上的y方向上的切應力；而τyx為作用于y表面上的x方向上的切應力。作用在x方向上表面力的凈值為而作用在y方向上表面力的凈值為由于流體粘性的作用，在應力的作用下流體的微元可以發在x方向上為在y方向上為在y方向上在x方向上在y方向上 這就是二維不可壓縮常物性流體的動量微分方程，它是流場速度分布的支配方程。通過與連續性方程聯立，在給定的初、邊值條件下可以求出流場的速度分布和壓力分布。由于動量方程產生于微元體的動量守恒，因而方程各項的物理意義是十分明確的。方程的左邊表征流場的慣性力（亦為動量的當地改變在x方向上在y方向上式中記號表示流場的全導數或稱真導數，表示了在流場中物理量隨時間的真實改變的速率。設流場中某物理量φ,則三維形式的全微分為意義上理解，表示物理量隨時間的當地變化率，而則表示因流體運動而造成的物理量隨時間的變化率。如果是一個穩態系統則有 ；如果是一個固體系統則有上面我們基于質量守恒、動量守恒和能量守恒的原可壓縮流體二維層流流動與換熱的連續性方程、動量方對于給定的流場在相應的邊值條件下，聯立求解連續性方程和動量方程可十分令人遺憾的是，對于大多數對流換熱問題，尤其是流體流動狀態從層流轉變為紊流之后的換熱問題，采用直接求解微分方程的分析辦法幾乎是不可能的。因此，對流換熱問題的求解往往是一件較為復雜的工作。通常求解對流主要針對一些簡單問題，如二維的邊界層層流流動流動換熱等，都可以通過數學分析的辦法來求解。具體是對于紊流換熱問題、有相變的換熱問題，或者幾何結構復驗求解幾乎是唯一的途徑。雖然，數值分析方法得到發展，過實驗來加以驗證。因此，本教材將主要討論對流換熱過程越來越成為一種主要的求解方法，其結果的可信度越來越高要是將對流換熱方程組在離散的控制體中變為代數方程組，計算機程序，通過計算機求出離散的溫度分布，用于表示計 分布。由于對流換熱過程的數值分析較為復雜，作為由于對流換熱是復雜的熱量交換過程，所涉及的變量參數比較多，常常給分析求解和實驗研究帶來困難。為此，人們常采用相似原則對換熱過程的參數進行歸類處理，將物性量，幾何量和過程量按物理過程的特征組合成無量綱的數，它們常被稱為無量綱準則。這樣做的結果不僅減少了所研究問題的變量數目，而且給求解對流換熱問題（包括分析求解、實驗求解及數值求解）帶來了對于數學模型已經確立的對流換熱過程，過程的相似分通常的做法是，首先選取對流換熱過程中有關變量的特征值組合。從方程中不難看出，u∞t∞ypouppou0x無量綱準則的函數形式?，F在，我們以流體流過平板的對流體平行流過平板的對流換熱過程如圖4-6所示，來流速度為u∞,來流溫度t∞,平板長度L,平板溫度tw，流體流過平板的壓力降為Δp。對于二維不可壓縮流體的穩定流動，如果流體物性為常數，且忽略體積力壁面幾何因素等都應分別相似，即要求在對應瞬間、對應點比例。但由于各影響因素彼此不是孤立的，它們之間存在著程組所規定的關系，故各相似倍數之間也必定有特定的制約w變量的特征值，于是該換熱過程的無量綱變量為：U=u/u∞,V=υ/u∞, 從上式中不難看出，方程中的系數均由變量的其所在項的物理特征，如表征流場的慣性力；表征流場的粘性力； 表征流場的熱對流能量；表征流場的熱傳導能量。把上式變成無 在無量綱方程中出現了幾個無量綱的準則，下面將對Eu=Δp/(ρu,定義為歐拉(Euler)數,它反映了流場壓力降與其動壓頭之間的相對關系，體現了在流動過程中動量損失率的相對大小。這也和流場阻力系利用雷諾數可以判別一個給定流場的穩定性，隨著慣性力的對減小，雷諾數就會增大，而大到一定程度流場就會失去穩反映了給定流場的熱對流能力與其熱傳導能的無量綱變量將其無量綱化，得到式中Nu=hLiλ,稱為努謝爾特（Nusselt）數，它反映了給定流場的換熱此外，還可以定義斯坦頓數它是一種修正的努謝爾特數，其物理意義可視為流體實際的換熱熱流密度與可傳遞之最大熱在運用相似理論時，應該注意，只有屬于同一類型的可能性，也才能談相似問題。所謂同類現象，就是指用相同件是：凡同類現象、單值性條件相似、同名已定特征數相等與非穩態導熱分析中的畢渥數Bi形式上LfsLs表示邊界上的無量綱溫度梯度，但前者在流體側而后者在固示。顯然，這兩個準則的物理意義也是各不相同，而畢渥速度分布，U=fu(Re,Eu,P,X,Y),V=fv(Re,Eu,P,X,Y)；壓力分布，P＝fp(Eu,X,Y),Eu=fe(Re);溫度分布，Θ=fθ(Re,Pr,U,V,X,Y)。分析上面的函數關系，不難得到溫度分布的最終表達式，Θ= fθ(Re,Pr,X,Y,)，對其求Y的偏導數，并令Y＝0而得出，f(Re,Pr,X)=?Nux。如果取從0到X之間的Nux的平均值，應有從上式不難看出，在計算幾何形狀相似的流其平均的換熱性能，就可以歸結為確定幾個準則之間的某種Θum而使實驗研究的變量數目顯著減少，這對減少實驗工作量是至關重要的。尤其是通過實驗所獲得的這種準則關系式只要通過實驗獲得了相應的準則關系式，就能對這樣一類作為特征流速，相應的無量綱準則為Nu=hd/λ,Re=umd/ν對應的準則關系式然后進行無量綱化的工作，這些特征參數是流場的代表特征尺寸，它反映了流場的幾何特征，對于不同的流場特征尺寸的選擇是不同的。如，對于流體平行流過平板選擇沿流動方向上的長度尺寸；對于管內流體流動選擇垂直于流動方向的管內直徑；對于流體繞流圓柱體流動選擇流動特征流速，它反映了流體流場的流動特征，是可以參照的特征參數，且易于確定。不同的流場其流動特征不同，所選擇的特征流速是不同的。如，流體流過平板，來流速度被選擇為特征流速；流體管內流動，管子截面上的平均流定性溫度，無量綱準則中的物性量是溫度的函數，確定物性量數值的溫度稱為定性溫度。對于不同的流場定性溫度的選擇是不同的，這得根據確定該溫度是否方便以及能否給換熱計算帶來較好的準確性來選取。一般的做法是，外部流動常選擇來流流體溫度和固體壁面溫度的算術平均值，稱為膜溫度；內部），由于對流換熱問題的復雜性，實驗研究是解決換熱問題的主要方法。在工程上大量使用的對流換熱準則關系式都是通過實驗獲得的。這里對實驗研究的我們從無量綱微分方程組推出了一般化的準則關系式Nux=f(Re,Pr)。但這是一個原則性的式子，要得到某種類型的對流換熱問題在給定范圍內的具體如何測量實驗數據?以及如何整理實驗數據而得出準則關系式？下面就以流體圖中。為了得出該換熱問題的準則關系式，必須測量的物理量有：流體來流速能夠從熱平衡關系式求出表面傳熱系數，即由Q=I.V=h(tw?t∞)LB得到w 系數值。所以在某一實驗工況下測量上述物理量，并h2?u∞2h3?u∞3LN∞NhN∞NNu1LNuN=hNLλ?Re1=u∞1L/νλ?Re2=u∞2L/νλ?Re3=u∞3L/νLλ?ReN=u∞NLν但是，這給擬合準則關系式帶來較大的方便。對此式兩邊取對數有，式中yi=lgNui,xi=lgRei。α如果考慮物性對換熱的影響，換熱準則關系式可寫成Nu=cRenPrm的形式。此時，可在得出Nu=c1Ren關系式的基礎上用實驗找到Nu/Ren（即c1）這里再次強調，無量綱準則中的特征流速和特征尺寸的選用應按照換熱過程的類型來決定，其原則是，能代表流場特征，且易于通過實驗獲取。這里特f述原則。對于幾何結構比較復雜的對流換熱過程，特征尺寸無法從已知的幾何尺度中選取，通常的做法是采用當量尺寸。如異型管槽內的流動換熱，其當量f直徑定義為de=4f/P，式中f為流體的有時，在確定特征流速時也同樣會遇到困難，如自的對流換熱以及異形管道中的對流換熱等。這此外，無量綱準則中的物性量的取值溫度，也就是定性溫度，這里采用了 )i2.不同的換熱類型定性溫度的選取也是不同的，這都會在換熱，我們是在某種流體中進行的實驗，所得到的準則關系式可以用于同類型不同溫度的同種流體，或者其它流體；亦可用于同類型不同長度、不同流速的平板。值得注意的是，實驗是在一定的范圍內進行的，相應的雷諾數和普朗特顯然，應有Num=Nup，即得40℃時的Prm=0.699，133℃時的Prp=0.685。兩者其實相差不大，近似相等，可認為模型和中是很難做到的。這時，我們只要做到主要的相似準則數相等，而？？123456789Nu1234567892.2lgNulgNu3.53.73.94.14.34.5這里采用作圖法。在圖中先標上實驗數據點，如圖4-12所示C則可按照C=Nu/Re0.60來計算。在直線上取若干個點，如點1，可得C3=100.0/250000.6=0.230。最后求它們當流體流過固體壁面時，由于被壁面吸附的流體分子層是處于不滑移的狀 態，因而在流體粘性力的作用下，近壁流體流速在垂直于壁面的方向上會從壁即該方向上的速度梯度，與流體的粘性力和速度的大小密切相關。普朗特通過觀察發現，對于低粘度的流體，如水和空氣等，在以較大的流速流過固體壁面時，在壁面上流體速度發生顯著變化的流體層是非常薄的。因而他把在垂直于壁面的方向上流體流速發生顯著變化的流體薄層定義為速度邊界層或流動邊界層，而把邊界層外流體速度變化比較小的流體流場視為勢流流動區域。引入邊界層的概念之后，流體流過固體壁面的流場就人為地分成兩個不同的區域，其一是邊界層流動區，這里流體的粘性力與流體的慣性力共同作用，引起流體速度發生顯著變化；其二是勢流區，這里流體粘性力的作用非常微弱，可視為無y我們說邊界層是壁面上方流速發生顯著變化的薄層，但其邊緣所在的位置卻是模糊的。在實際分析邊界層問題時，人們通常約定當速度變化達到u/u∞=0.99時的空間位置為速度邊界層的外邊緣。那么，從這個人為確定的邊和水這樣的低粘性流體，其熱擴散系數也很小，在壁面上當壁面與流體之間的溫差達到壁面與來流流體之間的溫差的0.99倍，即那么Y的數量級定義為Δ（一個小量在設定主流方向上的無量綱速度按照邊界層假設，在邊界層中慣性力與粘性所說的雷諾數足夠大是一致的。將雷諾數的數量級代入式(采用同樣的比較方法處理Y方向上的動量方程而變化，僅僅是X的函數。于是邊界層的動量微分方程就由兩個變為一個，即 微分方程組經過在邊界層中簡化后，由于動量方程和能量方程分別略去了主流方向上的動量擴散項和熱量擴散項，從而構成上游影響下游而下游不影響上游的物理特征。這就使得動量方程和能量方程變成了拋物型的非線上利用伯努利方程變成的形式。于是方程組在給定的邊值條件下可w∞解出溫度場后可求得流體外掠平板的層流流動問題的局部表面傳熱系數hx的Nux=0.332Re1/2Pr1/3(4-18)形式，且邊界條件的形式也一樣，故與兩者的分布完全相同。年完成了一套對能量、動量積分方程的解法，所得的結果稱邊界層積分方程一般可由兩種方法獲得：其一是將動恒定律應用于控制體；其二是對邊界層微分方程直接進行積分 將式(b)代入式(a）左邊，則式(a)左式中τw為x處的局部壁面切應力。個微元都成立，只需對整個邊界層的控制容積守恒方程成立；(2)速度分布、溫度分布的函數形式需作出假設，函數形式一般為多次多項式u(x,y)=a0+a1y+a2y2+a3y3，根據下述邊界條件：可求得其中系數a0~a3，速度分布式就變為速度邊界層厚度δ=4.64xRe1/2從式(4-22)不難發現，要使邊界層的厚度夠大。由此也就知道，當速度很小、粘性很大時，或在平制作用也逐步減弱，從而使邊界層內的流動變得紊亂。此時，本來處于層流流從層流過渡到紊流的x值稱為臨界值，記為xc，諾數，即Rec=u∞xc/ν。實驗研究的數據表明，流體平行流過平板的臨界雷諾yuux0xxc /δ,代入式(4-19)，整理可得如果對流換熱過程從平板前沿x=0處開始，則解得溫度邊界層的厚度為狀態下的熱邊界層。按照普朗特的假設，在紊流狀態下速局部Nusselt數Nux=0.332Re/2Pr1/3(4-27)τw