PAGEPAGE8第1講隨機抽樣[考綱解讀]1.理解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡潔隨機抽樣方法從總體中抽取樣本．2.了解分層抽樣與系統抽樣的意義，能利用分層抽樣與系統抽樣解決實際問題．(重點)[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講內容為高考中的冷考點．預料2024年高考對本考點將會考查以實際應用為背景命題考查分層抽樣或系統抽樣，同時也可能與統計相結合命題．試題以客觀題的形式呈現，難度不大，以中、低檔題目為主.1．簡潔隨機抽樣(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個eq\o(□,\s\up1(01))不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都eq\o(□,\s\up1(02))相等，就把這種抽樣方法叫做簡潔隨機抽樣．(2)最常用的簡潔隨機抽樣的方法：eq\o(□,\s\up1(03))抽簽法和eq\o(□,\s\up1(04))隨機數表法．2．系統抽樣(1)定義：當總體中的個體數目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后依據事先定出的規則，從每一部分抽取一個個體得到所須要的樣本，這種抽樣方法叫做系統抽樣．(2)系統抽樣的操作步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．①先將總體的N個個體編號；②確定eq\o(□,\s\up1(01))分段間隔k，對編號進行分段，當eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數時，取k＝eq\f(N,n)；當eq\f(N,n)不是整數時，可隨機地從總體中剔除余數x，取k＝eq\f(N－x,n)；③在第1段用eq\o(□,\s\up1(02))簡潔隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)；④依據肯定的規則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號eq\o(□,\s\up1(03))l＋k，再加k得到第3個個體編號eq\o(□,\s\up1(04))l＋2k，依次進行下去，直到獲得整個樣本．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成eq\o(□,\s\up1(01))互不交叉的層，然后依據肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)應用范圍：當總體是由eq\o(□,\s\up1(02))差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．注：三種抽樣方法的比較1．概念辨析(1)簡潔隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關．()(2)系統抽樣在起始部分抽樣時采納簡潔隨機抽樣．()(3)分層抽樣是將每層各抽取相同的個體數構成樣本，分層抽樣為保證各個個體等可能入樣，必需進行每層等可能抽樣．()(4)要從1002個學生中用系統抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，須要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公允．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小題熱身(1)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析，在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體B．個體C．樣本容量D．從總體中抽取的一個樣本答案A解析從5000名居民某天的閱讀時間中抽取200名居民的閱讀時間，樣本容量是200，抽取的200名居民的閱讀時間是一個樣本，每名居民的閱讀時間就是一個個體，5000名居民的閱讀時間的全體是總體．(2)為了解1000名學生的學習狀況，采納系統抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()A．50B．40C．25D．20答案C解析由已知得，分段的間隔為eq\f(1000,40)＝25.(3)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡潔隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3答案D解析因為實行簡潔隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率相等．故選D.(4)(2024·全國卷Ⅲ)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司打算進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣，則最合適的抽樣方法是________．答案分層抽樣解析由于從不同年齡段客戶中抽取，故采納分層抽樣．題型eq\a\vs4\al(一)簡潔隨機抽樣1．下列抽樣檢驗中，適合用抽簽法的是()A．從某廠生產的5000件產品中抽取600件進行質量檢驗B．從某廠生產的兩箱(每箱18件)產品中抽取6件進行質量檢驗C．從甲、乙兩廠生產的兩箱(每箱18件)產品中抽取6件進行質量檢驗D．從某廠生產的5000件產品中抽取10件進行質量檢驗答案B解析A，D中總體的個體數較多，不相宜用抽簽法，C中，一般甲、乙兩廠的產品質量有區分，也不相宜用抽簽法．故選B.2．(2024·河北模擬)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字起先由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為()A．08B．07C．02D．01答案D解析選出的5個個體的編號依次是08,02,14,07,01.故選D.3．利用簡潔隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本．若其次次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,14) D.eq\f(10,27)答案C解析依據題意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).1．簡潔隨機抽樣的特點(1)抽取的個體數較少．(2)是逐個抽?。?3)是不放回抽?。?4)是等可能抽取．只有四個特點都滿意的抽樣才是簡潔隨機抽樣．2．抽簽法與隨機數法的適用狀況(1)抽簽法適用于總體中個體數較少的狀況，隨機數法適用于總體中個體數較多的狀況．(2)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否便利；二是號簽是否易攪勻．1．下面的抽樣方法是簡潔隨機抽樣的為()A．在某年明信片銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，稱其重量是否合格C．某學校分別從行政人員、老師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的看法D．用抽簽方法從10件產品中選取3件進行質量檢驗答案D解析A，B是系統抽樣，C是分層抽樣，D是簡潔隨機抽樣．2．某班對期中考試成果進行分析，利用隨機數法從全班64名同學中抽取7人進行分析，先將64名同學按01,02,03，…，64進行編號，然后從所給隨機數表第1行第8列的數起先向右讀，則選出的7名同學的編號為________．6301637859'1695556719'98105071751286735807'44395238793321123429'7864560782'52420744381551001342'9966027954答案55,56,05,07,17,51,28解析從隨機數表第1行第8列的數字8起先向右讀，選出的7名同學的編號為55,56,05,07,17,51,28.題型eq\a\vs4\al(二)系統抽樣(2024·徐州模擬)從編號為0,1,2，…，79的80件產品中，采納系統抽樣的方法抽取容量為5的一個樣本，若編號為42的產品在樣本中，則該樣本中產品的最小編號為()A．8B．10C．12D．16答案B解析從80件產品中用系統抽樣的方法抽取5件，則可將這80件產品分成5組，每組16件，每組抽取1件，而編號為42的產品在第3組，所以第1組所抽取產品的編號為42－16×2＝10.故選B.條件探究1把舉例說明中條件“若編號為42的產品在樣本中”改為“已知編號為10，a,42，b,74號在樣本中”，求a＋b.解由舉例說明中解析易知編號構成首項為10，公差為16的等差數列，易求得a＝26，b＝58，故a＋b＝84.條件探究2把舉例說明中條件“若編號為42的產品在樣本中”改為“抽到產品的編號之和為185”，則抽到的最小編號是多少？解利用等差數列前n項和公式S5＝5a1＋eq\f(5×5－1,2)×16＝185，得a1＝5.系統抽樣的留意點(1)系統抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大．(2)若不變更抽樣規則，則所抽取的號碼構成一個等差數列，其首項為第一組所抽取的號碼，公差為樣本間隔．故問題可轉化為等差數列問題解決．(3)抽樣規則變更，應留意每組抽取一個個體這一特性不變．(4)假如總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機地從總體中剔除余數，然后再按系統抽樣的方法抽樣，其中起始編號的確定應用簡潔隨機抽樣的方法．1．(2024·湖北黃岡中學模擬)某校為了解1000名高一新生的身體生長狀況，用系統抽樣法(按等距的規則)抽取40名同學進行檢查，將學生從1～1000進行編號，現已知第18組抽取的號碼為443，則第一組用簡潔隨機抽樣抽取的號碼為()A．16B．17C．18D．19答案C解析∵從1000名學生中抽取一個容量為40的樣本，∴系統抽樣的分段間隔為eq\f(1000,40)＝25.設第一組隨機抽取一個號碼為x，則第18組的抽取編號為x＋17×25＝443，∴x＝18.2．某校高三年級共有30個班，學校心理詢問室為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到30，現用系統抽樣的方法抽取5個班進行調查，若抽到的編號之和為75，則抽到的最小的編號為________．答案3解析系統抽樣的抽取間隔為eq\f(30,5)＝6.設抽到的最小編號為x，則x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.題型eq\a\vs4\al(三)分層抽樣角度1求總體容量1．2016年1月1日我國全面二孩政策實施后，某中學的一個學生社團組織了一項關于生育二孩意愿的調查活動．已知該中學所在的城鎮符合二孩政策的已婚女性中，30歲以下的約2400人，30歲至40歲的約3600人，40歲以上的約6000人．為了解不同年齡層的女性對生育二孩的意愿是否存在顯著差異，該社團用分層抽樣的方法從中抽取了一個容量為N的樣本進行調查，已知從30歲至40歲的女性中抽取的人數為60，則N＝________.答案200解析由題意可得eq\f(3600,2400＋3600＋6000)＝eq\f(60,N)，故N＝200.角度2求每層中的樣本數量2．(2024·吉林通化模擬)分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后依據肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數量的個體，組成一個樣本的抽樣方法．在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢，欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要依據各人帶錢多少的比例進行交稅，問三人各應付多少稅？則下列說法錯誤的是()A．甲應付51eq\f(41,109)錢B．乙應付32eq\f(24,109)錢C．丙應付16eq\f(56,109)錢D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少答案B解析依題意由分層抽樣可知，100÷(560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，則甲應付：eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(錢)；乙應付：eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(錢)；丙應付：eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(錢)．分層抽樣問題類型及解題思路(1)求某層應抽個體數量：按該層所占總體的比例計算．(2)已知某層個體數量，求總體容量或反之：依據分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．(3)分層抽樣的計算應依據抽樣比構造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數量,各層個體數量)”．提示：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必需滿意抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個個體(其中i是層數，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個體的個數，N是總體容量)．1．(2024·南昌模擬)某校為了解學生學習的狀況，采納分層抽樣的方法從高一1000人，高二1200人，高三n人中，抽取81人進行問卷調查，已知高二被抽取的人數為30，那么n＝()A．860B．720C．1020D．1040答案D解析由已知條件得，抽樣比為