PAGEPAGE1專題2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用1.（2024·陜西銅川一中期中）某品牌電視新品投放市場后第一個月銷售100臺，其次個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷售y(單位：臺)與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100【答案】C【解析】依據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗證即可，故選C.2．（2024·河北唐山一中月考）某家具的標(biāo)價為132元，若降價以九折出售(即實(shí)惠10%)，仍可獲利10%(相對于進(jìn)價)，則該家具的進(jìn)價是()A．118元 B．105元C．106元 D．108元【答案】D【解析】設(shè)進(jìn)價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故選D.3．（2024·山西朔州一中期末）設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品A的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)建產(chǎn)值t萬元(t為正常數(shù))．公司確定從原有員工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品B的生產(chǎn)．分流后，接著從事產(chǎn)品A生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)建產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了1.2x%.若要保證產(chǎn)品A的年產(chǎn)值不削減，則最多能分流的人數(shù)是()A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【解析】由題意，分流前每年創(chuàng)建的產(chǎn)值為100t(萬元)，分流x人后，每年創(chuàng)建的產(chǎn)值為(100－x)(1＋1.2x%)t，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<100，x∈N*，,（100－x）（1＋1.2x%）t≥100t，))解得0<x≤eq\f(50,3).因為x∈N*，所以x的最大值為16.4．（2024·黑龍江雞西一中期中）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫狀況，繪制了一年中各月平均最高氣溫柔平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是()A．各月的平均最低氣溫都在0℃以上B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D．平均最高氣溫高于20℃的月份有5個【答案】D【解析】由圖形可得各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確；七月的平均溫差約為10℃，而一月的平均溫差約為5℃，故B正確；三月和十一月的平均最高氣溫都在10℃左右，基本相同，C正確；平均最高氣溫高于20℃的月份只有2個，D錯誤．5．（2024·吉林長春一中期末）我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同要求．音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計算：η＝10lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強(qiáng)度)，則70dB的聲音的聲波強(qiáng)度I1是60dB的聲音的聲波強(qiáng)度I2的()A.eq\f(7,6)倍 B．10eq\f(7,6)倍C．10倍 D．lneq\f(7,6)倍【答案】C【解析】由η＝10lgeq\f(I,I0)得I＝I010eq\s\up6(\f(η,10))，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以eq\f(I1,I2)＝10，所以70dB的聲音的聲波強(qiáng)度I1是60dB的聲音的聲波強(qiáng)度I2的10倍．6．（2024·遼寧錦州一中期中）某公司為了發(fā)展業(yè)務(wù)制定了一個激勵銷售人員的嘉獎方案，在銷售額x為8萬元時，嘉獎1萬元．銷售額x為64萬元時，嘉獎4萬元．若公司擬定的嘉獎模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元嘉獎，則他的銷售額應(yīng)為________萬元．【答案】1024【解析】依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2.))所以y＝2log4x－2，令2log4x－2＝8，得x＝45＝1024.7．（2024·湖北黃石一中月考）“好酒也怕巷子深”，很多聞名品牌是通過廣告宣揚(yáng)進(jìn)入消費(fèi)者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿意關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為________(用常數(shù)a表示)．【答案】eq\f(1,4)a2【解析】令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)a2.所以當(dāng)t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值．8．（2024·湖南婁底一中期中）高校畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，該門面須要裝修費(fèi)為20000元，每天須要房租、水電等費(fèi)用100元，受經(jīng)營信譽(yù)度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則總利潤最大時，該門面經(jīng)營的天數(shù)是________．【答案】300【解析】由題意，總利潤y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－100x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))當(dāng)0≤x≤400時，y＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，所以當(dāng)x＝300時，ymax＝25000；當(dāng)x>400時，y＝60000－100x<20000.綜上，當(dāng)x＝300天時，總利潤最大．9．（2024·云南曲靖一中月考）已知某服裝廠生產(chǎn)某種品牌的衣服，銷售量q(x)(單位：百件)關(guān)于每件衣服的利潤x(單位：元)的函數(shù)解析式為q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1260,x＋1)，0<x≤20，,90－3\r(5)\r(x)，20<x≤180，))求該服裝廠所獲得的最大效益是多少元？【解析】設(shè)該服裝廠所獲效益為f(x)元，則f(x)＝100xq(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(126000x,x＋1)，0<x≤20，,100x（90－3\r(5)\r(x)），20<x≤180.))當(dāng)0<x≤20時，f(x)＝eq\f(126000x,x＋1)＝126000－eq\f(126000,x＋1)，f(x)在區(qū)間(0，20]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝20時，f(x)有最大值120000.當(dāng)20<x≤180時，f(x)＝9000x－300eq\r(5)·xeq\r(x)，則f′(x)＝9000－450eq\r(5)·eq\r(x)，令f′(x)＝0，得x＝80.當(dāng)20<x<80時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)80≤x≤180時，f′(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝80時，f(x)有極大值，也是最大值240000.由于120000<240000.故該服裝廠所獲得的最大效益是240000元．10．（2024·四川綿陽一中期末）一片森林原來面積為a，支配每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為愛護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？【解析】(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2).解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,10)).(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年．11．（2024·江蘇啟東中學(xué)模擬）某位股民購進(jìn)某只股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)驗了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)驗了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這只股票的盈虧狀況(不考慮其他費(fèi)用)為()A．略有盈利B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損D．無法推斷盈虧狀況【答案】B【解析】設(shè)該股民購進(jìn)這只股票的價格為a元，則經(jīng)驗n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n元，經(jīng)驗n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故該股民這只股票略有虧損．12．（2024·福建雙十中學(xué)模擬）某食品的保鮮時間y(單位：小時)與貯存溫度x(單位：℃)滿意函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是________．【答案】24【解析】由已知條件，得192＝eb，又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2，所以e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,192)))eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\f(1,2)，設(shè)該食品在33℃的保鮮時間是t小時，則t＝e33k＋b＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝24.13.（2024·湖北黃岡中學(xué)模擬）某地區(qū)要建立一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形ABCD，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅實(shí)性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米．要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x的取值范圍為________．【答案】[3,4]【解析】依據(jù)題意知，9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×eq\f(x,2)＝BC＋x，h＝eq\f(\r(3),2)x，所以9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(2BC＋x)eq\f(\r(3),2)x，得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)＞0，))得2≤x＜6.所以y＝BC＋2x＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)(2≤x＜6)，由y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≤10.5，解得3≤x≤4.因為[3,4]?[2,6)，所以腰長x的取值范圍為[3,4]．14．（2024·陜西西安中學(xué)模擬）某企業(yè)去年年底給全部的800名員工共發(fā)放2000萬元年終獎，該企業(yè)支配從今年起，10年內(nèi)每年發(fā)放的年終獎都比上一年增加60萬元，企業(yè)員工每年凈增a人(a∈N*)．(1)若a＝10，在支配時間內(nèi)，該企業(yè)的人均年終獎是否會超過3萬元？(2)為使人均年終獎年年有增長，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過多少人？【解析】(1)設(shè)從今年起的第x年(今年為第1年)該企業(yè)人均發(fā)放年終獎為y萬元．則y＝eq\f(2000＋60x,800＋ax)(a∈N*，1≤x≤10)．假設(shè)該企業(yè)的人均年終獎會超過3萬元，又a＝10，則eq\f(2000＋60x,800＋10x)>3，解得x>eq\f(40,3)>10.所以10年內(nèi)該企業(yè)的人均年終獎不會超過3萬元．(2)設(shè)1≤x1<x2≤10，則f(x2)－f(x1)＝eq\f(2000＋60x2,800＋ax2)－eq\f(2000＋60x1,800＋ax1)＝eq\f(（60×800－2000a）（x2－x1）,（800＋ax2）（800＋ax1）)>0，所以60×800－2000a>0，得a<24.所以為使人均年終獎年年有增長，該企業(yè)每年員工的凈增量不能超過23人．15．（2024·四川雅安中學(xué)模擬）某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機(jī)器人的總成本p(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,600)x2＋x＋150))萬元．(1)若使每臺機(jī)器人的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺？(2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機(jī)器人，須要支配m人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀，經(jīng)試驗知，每臺機(jī)器人的日平均分揀量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m(60－m)，1≤m≤30，,480，m＞30))(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可削減百分之幾？【解析】(1)由總成本p(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,600)x2＋x＋150))萬元，可得每臺機(jī)器人的平均成本y＝eq\f(p(x),x)＝eq\f(\f(1,600)x2＋x＋150,x)＝eq\f(1,600)x＋eq\f(150,x)＋1≥2eq\r(\f(1,600)x·\f(150,x))＋1＝2.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,600)x＝eq\f(150,x)，即x＝300時，上式等號成立．∴若使每臺機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)買300臺．(2)引進(jìn)機(jī)器人后，每臺機(jī)器人的日平均分揀量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m(60－m)，1≤m≤30，,480，m＞30))當(dāng)1≤m≤30時，300臺機(jī)器人的日平均分揀量為160m(60－m)＝－160m2＋9600m，∴當(dāng)m＝30時，日平均分揀量有最大值144000件．當(dāng)m＞30時，日平均分揀量為480×300＝144000(件)．∴300臺機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為144000件．若傳統(tǒng)人工分揀144000件，則須要人數(shù)為eq\f(144000