§2.2

函數的單調性與最值第二章

函數概念與基本初等函數Ⅰ基礎知識

自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.函數的單調性(1)單調函數的定義知識梳理

增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2定義當x1<x2時，都有

，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1<x2時，都有

，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數f(x1)>f(x2)f(x1)<f(x2)(2)單調區間的定義如果函數y＝f(x)在區間D上是

或

，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，

叫做y＝f(x)的單調區間.增函數減函數區間D圖象描述自左向右看圖象是______自左向右看圖象是______下降的上升的2.函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有

；(2)存在x0∈I，使得________(3)對于任意的x∈I，都有

；(4)存在x0∈I，使得________結論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M【知識拓展】(3)在區間D上，兩個增函數的和仍是增函數，兩個減函數的和仍是減函數.(4)函數f(g(x))的單調性與函數y＝f(u)和u＝g(x)的單調性的關系是“同增異減”.題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若定義在R上的函數f(x)，有f(－1)<f(3)，則函數f(x)在R上為增函數.(

)(2)函數y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數，則函數的單調遞增區間是[1，＋∞).(

)(3)函數y＝

的單調遞減區間是(－∞，0)∪(0，＋∞). (

)(4)閉區間上的單調函數，其最值一定在區間端點取到. (

)基礎自測××√×1234567題組二教材改編2.[P39B組T1]函數f(x)＝x2－2x的單調遞增區間是____________________.3.[P31例4]函數y＝

在[2,3]上的最大值是___.4.[P44A組T9]若函數f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函數，則實數m的取值范圍是__________.[1，＋∞)(或(1，＋∞))2(－∞，2]1234567解析由題意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，∴m≤2.題組三易錯自糾5.函數y＝

的單調遞減區間為_________.(2，＋∞)12345676.若函數f(x)＝|2x＋a|的單調增區間是[3，＋∞)，則a的值為____.－6

幾何畫板展示12345670當x＜1時，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，當且僅當x＝0時，取等號，題型分類深度剖析命題點1給出具體解析式的函數的單調性典例

(1)(2017·全國Ⅱ)函數f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區間是A.(－∞，－2) B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)題型一確定函數的單調性(區間)多維探究解析由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.設t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數.要求函數f(x)的單調遞增區間，即求函數t＝x2－2x－8的單調遞增區間.∵函數t＝x2－2x－8的單調遞增區間為(4，＋∞)，∴函數f(x)的單調遞增區間為(4，＋∞).故選D.√(2)函數y＝－x2＋2|x|＋3的單調遞減區間是_________________.解析由題意知，當x≥0時，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；當x<0時，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函數的圖象如圖.由圖象可知，函數y＝－x2＋2|x|＋3的單調遞減區間為[－1,0]，[1，＋∞).[－1,0]，[1，＋∞)命題點2解析式含參數的函數的單調性典例判斷并證明函數f(x)＝ax2＋

(其中1＜a＜3)在[1,2]上的單調性.證明：設1≤x1＜x2≤2，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，又因為1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，從而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故當a∈(1,3)時，f(x)在[1,2]上單調遞增.如何用導數法求解本例？引申探究∵1≤x≤2，∴1≤x3≤8，又1＜a＜3，∴2ax3－1＞0，∴f′(x)＞0，確定函數單調性的方法：(1)定義法和導數法，證明函數單調性只能用定義法和導數法.(2)復合函數法，復合函數單調性的規律是“同增異減”.(3)圖象法，圖象不連續的單調區間不能用“∪”連接.思維升華跟蹤訓練

(1)函數

的單調遞增區間為√(2)函數y＝－(x－3)|x|的單調遞增區間是______.解析y＝－(x－3)|x|題型二函數的最值自主演練1.(2017·浙江)若函數f(x)＝x2＋ax＋b在區間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－mA.與a有關，且與b有關

B.與a有關，但與b無關C.與a無關，且與b無關

D.與a無關，但與b有關√解析方法一設x1，x2分別是函數f(x)在[0,1]上的最小值點與最大值點，顯然此值與a有關，與b無關.故選B.方法二由題意可知，函數f(x)的二次項系數為固定值，則二次函數圖象的形狀一定.隨著b的變動，相當于圖象上下移動，若b增大k個單位，則最大值與最小值分別變為M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故與b無關.隨著a的變動，相當于圖象左右移動，則M－m的值在變化，故與a有關，故選B.√解析f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，由對任意的x∈[t，t＋2](t＞0)都有|f(x)|≤1＋a，可得－1－a≤f(x)≤1＋a恒成立，∴－1－a≤f(x)min＝f(t)＝log2t＋at＋b，

①1＋a≥f(x)max＝f(t＋2)＝log2(t＋2)＋a(t＋2)＋b，即－1－a≤－log2(t＋2)－a(t＋2)－b，

②①＋②可得－2－2a≤log2t＋at＋b－log2(t＋2)－a(t＋2)－b，3求函數最值的五種常用方法及其思路(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值.(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導數法：先求導，然后求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值.(5)換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的方法求最值.思維升華命題點1比較大小典例已知函數f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設a＝f

，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為A.c>a>b

B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c題型三函數單調性的應用多維探究√命題點2解函數不等式典例若f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調增函數，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，則當f(x)＋f(x－8)≤2時，x的取值范圍是A.(8，＋∞) B.(8,9] C.[8,9]

D.(0,8)√解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因為f(x)是定義在(0，＋∞)上的單調增函數，命題點3求參數范圍典例

(1)(2017·鄭州模擬)函數y＝

在(－1，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是A.a＝－3 B.a＜3C.a≤－3 D.a≥－3√∴a的取值范圍是a≤－3.√函數單調性應用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小.比較函數值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單調性解決.(2)解不等式.在求解與抽象函數有關的不等式時，往往是利用函數的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解.此時應特別注意函數的定義域.(3)利用單調性求參數.①視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數；②需注意若函數在區間[a，b]上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的；③分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值.思維升華所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數.

幾何畫板展示(2)(2017·珠海模擬)定義在R上的奇函數y＝f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f

＝0，則不等式

的解集為_________________.f(x)在(－∞，0)上也單調遞增.∴

或

課時作業1.(2018屆臺州路橋中學檢測)如果函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區間(－∞，4]上單調遞減，那么實數a的取值范圍是A.a≤－3 B.a≥－3C.a≤5 D.a≥5基礎保分練12345678910111213141516√解析由題意得，函數f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的對稱軸為x＝1－a，所以二次函數的單調遞減區間為(－∞，1－a]，又函數在區間(－∞，4]上單調遞減，所以1－a≥4，所以a≤－3.√解析由－x2＋x＋6＞0，得－2＜x＜3，故函數的定義域為(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，則y＝

，易知其為減函數，由復合函數的單調性法則可知本題等價于求函數t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的單調遞減區間.利用二次函數的性質可得t＝－x2＋x＋6在定義域(－2,3)上的單調遞減區間為

，故選A.123456789101112131415163.已知函數f(x)＝

則“c＝－1”是“函數f(x)在R上遞增”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516解析若函數f(x)在R上遞增，則需log21≥c＋1，即c≤－1.由于c＝－1，即c≤－1，但c≤－1不能得出c＝－1，所以“c＝－1”是“函數f(x)在R上遞增”的充分不必要條件.√4.(2017·衢州質檢)已知f(x)是(0，＋∞)上的增函數，若f(f(x)－lnx)＝1，則f(e)等于A.2 B.1 C.0 D.e12345678910111213141516√解析由題意得f(x)－lnx為常數，設為a，則f(a)－lna＝a，又f(a)＝1，∴1－lna＝a，∴a＝1，因此f(e)＝lne＋1＝2.5.(2017·天津)已知奇函數f(x)在R上是增函數.若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，則a，b，c的大小關系為A.a<b<c

B.b<a<c C.c<b<a

D.c<a<b解析∵f(x)在R上是奇函數，√又f(x)在R上是增函數，且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8，∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c.故選C.123456789101112131415166.(2017·浙江鎮海中學競賽)若函數f(x)＝

(a＞0，且a≠1)的值域為[3，＋∞)，則實數a的取值范圍為A.(1,3] B.(1,3) C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)12345678910111213141516解析當x≤3時，函數f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的值域為[3，＋∞)，當x＞3時，2＋logax≥3，即x＞3時，logax≥1＝logaa，a＞1，且x＞3時x≥a恒成立.∴1＜a≤3，∴實數a的取值范圍是(1,3].√[3，＋∞)解析設t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函數的定義域為(－∞，－1]∪[3，＋∞).因為函數t＝x2－2x－3的圖象的對稱軸為x＝1，所以函數t在(－∞，－1]上單調遞減，在[3，＋∞)上單調遞增.所以函數f(x)的單調遞增區間為[3，＋∞).1234567891011121314151612345678910111213141516[0,1)函數g(x)的圖象如圖所示，其單調遞減區間為[0,1).12345678910111213141516[1，＋∞)∵函數f(x)在區間(－2，＋∞)上是增函數，1234567891011121314151610.定義新運算

：當a≥b時，a

b＝a；當a<b時，a

b＝b2，則函數f(x)＝(1

x)x－(2

x)，x∈[－2,2]的最大值為____.6解析由已知得，當－2≤x≤1時，f(x)＝x－2，當1<x≤2時，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定義域內都為增函數，∴f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.11.已知f(x)＝

(x≠a).(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)上單調遞增；證明設x1＜x2＜－2，12345678910111213141516因為(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上單調遞增.(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，求a的取值范圍.解設1＜x1＜x2，12345678910111213141516因為a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.綜上所述，0＜a≤1.12.函數f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在區間[0,2]上有最小值3，求a的值.1234567891011121314151612345678910111213141516∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2.12345678910111213141516f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18.技能提升練1234567891011121314151613.已知函數f(x)＝x2－2ax＋a在區間(－∞，1)上有最小值，則函數g(x)＝

在區間(1，＋∞)上一定A.有最小值

B.有最大值C.是減函數

D.是增函數√12345678910111213141516(－∞，－2)12345678910111213141516解析二次函數y1＝x2－4x＋3的對稱軸是x＝2，∴該函數在(－∞，0]上單調遞減，∴x2－4x＋3≥3，同樣可知函數y